34:
22:
5193:
3565:
4987:
3218:
2352:
3397:
3765:
1621:
1725:
4128:
3084:
849:
5188:{\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )){\Bigr )}\right)\right|_{\epsilon =0}=\gamma (t)\left.{\frac {d\Theta ^{t}(\epsilon )}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}.}
4032:
5469:
4284:
2173:
2051:
3051:
3306:
3925:
4980:
2658:
1846:
3645:
5340:
4208:
1508:
2591:
4797:
1963:
1634:
3611:
4038:
299:
For example, the virtual displacements of the system consisting of a single particle on a two-dimensional surface fill up the entire tangent plane, assuming there are no additional constraints.
4533:
3560:{\displaystyle M=\{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\in \mathbb {R} ^{3\,N}\mid \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3};\ \mathbf {r} _{i}\neq \mathbf {r} _{j}\ {\text{if}}\ i\neq j\},}
1254:
5272:
2965:
2451:
405:
683:
522:
3367:
2526:
1307:
443:
4642:
4430:
2827:
1374:
903:
2897:
1147:
951:
4466:
2741:
2113:
1030:
4566:
1903:
571:
265:
193:
5373:
4839:
4604:
4215:
3831:
2703:
2489:
2412:
3802:
3077:
2862:
994:
5366:
4897:
1205:
111:
3638:
342:
626:
233:
294:
2168:
4336:
2920:
1446:
1054:
320:
139:
4697:
3227:
365:
2374:
1498:
3838:
3932:
1399:
3390:
1426:
162:
3332:
2133:
470:
676:
3213:{\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ){\Bigr )}\right)\right|_{\epsilon =0}}
1968:
2970:
4901:
2596:
2347:{\displaystyle \delta \gamma (t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {d}{dq_{i}}}{\Biggl |}_{\gamma (t)}.}
1732:
5545:
5276:
4135:
2533:
4702:
5570:
1908:
3760:{\displaystyle T_{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}M=T_{\mathbf {r} _{1}}S\oplus \ldots \oplus T_{\mathbf {r} _{N}}S,}
1616:{\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.{\frac {d\Gamma (t,\epsilon )}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\in T_{\gamma (t)}M.}
5606:
3572:
473:
200:
5601:
4478:
4473:
953:
are here for illustration only. In practice, for each individual system, an individual set of constraints is required.
4297:
rotating around a fixed point with no additional constraints has 3 degrees of freedom. The configuration space here is
1209:
5200:
2925:
2416:
5591:
33:
21:
370:
1720:{\displaystyle \delta \gamma (t)=\Gamma _{*}^{t}\left(\left.{\frac {d}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\right).}
479:
4339:
3337:
2493:
1259:
410:
5479:
4123:{\displaystyle \delta \gamma (t)=\delta \mathbf {r} _{1}(t)\oplus \ldots \oplus \delta \mathbf {r} _{N}(t),}
4609:
4349:
2746:
1315:
856:
2867:
1059:
907:
4435:
2708:
2067:
999:
4538:
4469:
1851:
5510:
527:
238:
166:
5533:
4802:
4571:
3807:
2679:
2456:
2379:
3772:
3056:
2832:
964:
71:
5345:
4844:
1152:
844:{\displaystyle P(M)=\{\gamma \in C^{\infty }(,M)\mid \gamma (t_{0})=q_{0},\ \gamma (t_{1})=q_{1}\}.}
93:
3616:
75:
325:
5596:
575:
206:
270:
2138:
5566:
5541:
5529:
4343:
4300:
2902:
1431:
1039:
305:
124:
4647:
4027:{\displaystyle \delta \gamma (t)\in T_{(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t))}M,}
347:
2359:
1451:
5565:. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing.
629:
5464:{\displaystyle \delta \gamma (t)=\gamma (t)\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathrm {SO} (3).}
4279:{\displaystyle \delta \gamma =(\delta \mathbf {r} _{1},\ldots ,\delta \mathbf {r} _{N}).}
1378:
3372:
1408:
144:
5506:
3317:
2118:
1501:
1402:
455:
196:
635:
5585:
5484:
2046:{\displaystyle \textstyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl |}_{\epsilon =0}\in T_{0}.}
3046:{\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ),}
141:
of the system without violating the system's constraints. For every time instant
1626:
3301:{\displaystyle \delta \gamma (t)=\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathbb {R} ^{3}.}
4294:
64:. The components of virtual displacement are related by a constraint equation.
3920:{\displaystyle \gamma (t)=(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t)).}
4975:{\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )).}
2653:{\displaystyle \delta {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta \gamma .}
1841:{\displaystyle \Gamma _{*}^{t}:T_{0}\to T_{\Gamma (t,0)}M=T_{\gamma (t)}M}
5335:{\displaystyle \Theta ^{t}(\epsilon )=\epsilon \sigma (t)+o(\epsilon )}
4203:{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t)\in T_{\mathbf {r} _{i}(t)}S.}
79:
5518:. Department of Mathematics, Stony Brook University, Stony Brook, NY.
5501:
5499:
2586:{\displaystyle \textstyle \gamma ,{\frac {d\gamma }{dt}}\in P(M),}
4792:{\displaystyle \Theta ^{t}\in C^{\infty }(,{\mathfrak {so}}(3))}
302:
If, however, the constraints require that all the trajectories
1958:{\displaystyle \Gamma ^{t}(\epsilon )=\Gamma (t,\epsilon ),}
5128:
5011:
3108:
1677:
1532:
60:
confined to a curve. The resultant non-constraint force is
4468:
to refer to the three-dimensional linear space of all
2537:
1972:
5376:
5348:
5279:
5203:
4990:
4904:
4847:
4805:
4705:
4650:
4612:
4574:
4541:
4481:
4438:
4352:
4303:
4218:
4138:
4041:
3935:
3841:
3810:
3775:
3648:
3619:
3575:
3400:
3375:
3340:
3334:
particles moving freely on a two-dimensional surface
3320:
3230:
3087:
3059:
2973:
2928:
2905:
2870:
2835:
2749:
2711:
2705:
has 3 degrees of freedom. The configuration space is
2682:
2599:
2536:
2496:
2459:
2419:
2382:
2362:
2176:
2141:
2121:
2070:
1971:
1911:
1854:
1735:
1637:
1511:
1454:
1434:
1411:
1381:
1318:
1262:
1212:
1155:
1062:
1042:
1002:
967:
910:
859:
686:
638:
578:
530:
482:
458:
413:
373:
350:
328:
308:
273:
241:
209:
169:
147:
127:
96:
3606:{\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}
3392:degree of freedom. The configuration space here is
121:) deviate very slightly from the actual trajectory
5463:
5360:
5334:
5266:
5187:
4974:
4891:
4833:
4791:
4691:
4636:
4598:
4560:
4528:{\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3)\to SO(3)}
4527:
4460:
4424:
4330:
4278:
4202:
4122:
4026:
3919:
3825:
3796:
3759:
3632:
3605:
3559:
3384:
3361:
3326:
3300:
3212:
3071:
3045:
2959:
2914:
2891:
2856:
2821:
2735:
2697:
2652:
2585:
2520:
2483:
2445:
2406:
2368:
2346:
2162:
2127:
2107:
2045:
1957:
1897:
1840:
1719:
1615:
1492:
1440:
1420:
1393:
1368:
1301:
1248:
1199:
1141:
1048:
1024:
988:
945:
897:
843:
670:
620:
565:
516:
464:
437:
399:
359:
336:
314:
288:
259:
227:
187:
156:
133:
105:
5085:
5035:
3184:
3132:
2321:
2276:
1991:
1249:{\displaystyle \Gamma (\cdot ,\epsilon )\in P(M)}
113:shows how the mechanical system's trajectory can
5267:{\displaystyle \sigma :\to {\mathfrak {so}}(3),}
2960:{\displaystyle \sigma \in T_{0}\mathbb {R} ^{3}}
2446:{\displaystyle \gamma (\tau )={\text{const}},}
2115:are the coordinates in an arbitrary chart on
8:
5540:(3rd ed.). Addison-Wesley. p. 16.
3551:
3407:
2085:
2071:
835:
702:
400:{\displaystyle \gamma (\tau )=\mathbf {q} ,}
517:{\displaystyle t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} }
296:can "go" without breaking the constraints.
3804:may be described using the radius vectors
5441:
5426:
5375:
5347:
5284:
5278:
5243:
5242:
5230:
5217:
5202:
5170:
5140:
5130:
5099:
5084:
5083:
5065:
5034:
5033:
5018:
4989:
4951:
4903:
4877:
4864:
4846:
4810:
4804:
4768:
4767:
4755:
4742:
4723:
4710:
4704:
4677:
4664:
4649:
4611:
4573:
4546:
4540:
4489:
4488:
4480:
4440:
4439:
4437:
4401:
4388:
4372:
4351:
4302:
4264:
4259:
4240:
4235:
4217:
4177:
4172:
4170:
4148:
4143:
4137:
4102:
4097:
4069:
4064:
4040:
3998:
3993:
3968:
3963:
3958:
3934:
3896:
3891:
3866:
3861:
3840:
3817:
3812:
3809:
3774:
3743:
3738:
3736:
3712:
3707:
3705:
3684:
3679:
3663:
3658:
3653:
3647:
3624:
3618:
3597:
3593:
3592:
3582:
3577:
3574:
3534:
3525:
3520:
3510:
3505:
3492:
3488:
3487:
3477:
3472:
3462:
3458:
3454:
3453:
3440:
3435:
3419:
3414:
3399:
3374:
3362:{\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}
3353:
3349:
3348:
3339:
3319:
3289:
3285:
3284:
3268:
3229:
3198:
3183:
3182:
3131:
3130:
3115:
3086:
3058:
2972:
2951:
2947:
2946:
2939:
2927:
2904:
2869:
2834:
2798:
2785:
2769:
2748:
2724:
2720:
2719:
2710:
2689:
2685:
2684:
2681:
2626:
2603:
2598:
2544:
2535:
2495:
2458:
2435:
2418:
2381:
2361:
2326:
2320:
2319:
2309:
2296:
2281:
2275:
2274:
2229:
2216:
2210:
2199:
2175:
2140:
2120:
2099:
2088:
2078:
2069:
2015:
1996:
1990:
1989:
1973:
1970:
1916:
1910:
1859:
1853:
1820:
1789:
1758:
1745:
1740:
1734:
1698:
1679:
1665:
1660:
1636:
1592:
1573:
1534:
1510:
1481:
1468:
1453:
1433:
1410:
1380:
1348:
1335:
1317:
1261:
1211:
1185:
1172:
1154:
1124:
1111:
1089:
1076:
1061:
1041:
1007:
1001:
966:
937:
921:
909:
886:
870:
858:
829:
813:
791:
775:
744:
731:
715:
685:
659:
646:
637:
609:
596:
583:
577:
548:
535:
529:
510:
509:
500:
487:
481:
457:
412:
389:
372:
349:
329:
327:
307:
272:
240:
208:
168:
146:
126:
95:
2521:{\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}
1302:{\displaystyle \Gamma (t,0)=\gamma (t).}
438:{\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}
5561:Torby, Bruce (1984). "Energy Methods".
5509:(2017). "Part 1. Classical Mechanics".
5495:
4289:Rigid body rotating around fixed point
4637:{\displaystyle \Gamma (t,\epsilon ),}
4425:{\displaystyle P(M)=C^{\infty }(,M).}
2822:{\displaystyle P(M)=C^{\infty }(,M).}
1369:{\displaystyle \delta \gamma :\to TM}
898:{\displaystyle \gamma (t_{0})=q_{0},}
7:
2892:{\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )}
1142:{\displaystyle \Gamma :\times \to M}
946:{\displaystyle \gamma (t_{1})=q_{1}}
5247:
5244:
4772:
4769:
4493:
4490:
4461:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
4444:
4441:
4342:of dimension 3 (otherwise known as
2736:{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3},}
2676:A single particle freely moving in
2108:{\displaystyle \{q_{i}\}_{i=1}^{n}}
1025:{\displaystyle \epsilon _{0}>0,}
5445:
5442:
5281:
5137:
5062:
4948:
4905:
4807:
4724:
4707:
4613:
4561:{\displaystyle \epsilon _{0}>0}
4373:
3833:of each individual particle, i.e.
2974:
2871:
2770:
2238:
1934:
1913:
1898:{\displaystyle \Gamma ^{t}:\to M,}
1856:
1790:
1737:
1657:
1540:
1435:
1263:
1213:
1063:
716:
584:
14:
566:{\displaystyle q_{0},q_{1}\in M,}
260:{\displaystyle \delta \gamma (t)}
188:{\displaystyle \delta \gamma (t)}
4834:{\displaystyle \Theta ^{t}(0)=0}
4599:{\displaystyle \gamma \in P(M),}
4472:three-dimensional matrices. The
4260:
4236:
4173:
4144:
4098:
4065:
3994:
3964:
3892:
3862:
3826:{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
3813:
3739:
3708:
3680:
3659:
3578:
3521:
3506:
3473:
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4432:We use the standard notation
4210:Some authors express this as
3929:This implies that, for every
3633:{\displaystyle i^{\text{th}}}
322:pass through the given point
267:show the directions in which
4535:guarantees the existence of
3613:is the radius vector of the
337:{\displaystyle \mathbf {q} }
3640:particle. It follows that
3311:Free particles on a surface
621:{\displaystyle C^{\infty }}
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5623:
4568:such that, for every path
2356:If, for some time instant
2062:Coordinate representation.
476:of the mechanical system,
289:{\displaystyle \gamma (t)}
5197:Since, for some function
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4340:special orthogonal group
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5536:; Safko, J. L. (2001).
4699:there is a unique path
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134:{\displaystyle \gamma }
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