171:
547:
401:
81:
618:
409:
263:
745:
166:{\displaystyle \mathbf {r} _{u}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},\quad \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}
558:
729:
709:
23:
give the expansion of the derivative of the unit normal vector to a surface in terms of the first derivatives of the
542:{\displaystyle \mathbf {n} _{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}}
396:{\displaystyle \mathbf {n} _{u}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}}
694:
231:
of this surface, respectively. The
Weingarten equation gives the first derivative of the unit normal vector
228:
224:
27:
of a point on the surface. These formulas were established in 1861 by the German mathematician
725:
705:
672:
28:
24:
44:
675:
717:
196:
739:
648:
J. Weingarten (1861). "Ueber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flächen".
680:
631:
are the components of the surface's second fundamental form (shape tensor).
613:{\displaystyle \partial _{a}\mathbf {n} =K_{a}^{~b}\mathbf {r} _{b}}
552:
This can be expressed compactly in index notation as
561:
412:
266:
84:
612:
541:
395:
165:
650:Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
8:
47:that is parametrized by the position vector
35:Statement in classical differential geometry
702:Lectures on Classical Differential Geometry
604:
599:
589:
584:
572:
566:
560:
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7:
704:, Dover Publications, p. 108,
563:
154:
144:
113:
103:
75:) be a point on the surface. Then
43:be a surface in three-dimensional
14:
746:Differential geometry of surfaces
176:are two tangent vectors at point
16:Equations used in vector calculus
695:Weingarten derivational formulas
600:
573:
529:
472:
415:
383:
326:
269:
239:in terms of the tangent vectors
148:
128:
107:
87:
125:
1:
223:) be the coefficients of the
724:, Dover Publications, 1991,
691:Encyclopedia of Mathematics
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700:Struik, Dirk J. (1988),
229:second fundamental forms
676:"Weingarten Equations"
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167:
722:Differential Geometry
615:
544:
398:
168:
559:
410:
264:
82:
21:Weingarten equations
597:
673:Weisstein, Eric W.
610:
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393:
163:
592:
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29:Julius Weingarten
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18:
665:References
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681:MathWorld
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199:and let (
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740:Category
211:) and (
59:). Let
728:
708:
624:where
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635:Notes
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726:ISBN
706:ISBN
248:and
227:and
183:Let
39:Let
19:The
742::
720:,
693:,
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71:,
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