533:
403:
264:
608:. However, in 1993 the Williamson conjecture was shown to be false via an exhaustive computer search by Dragomir Ĺ˝. ĂokoviÄ, who showed that Williamson matrices do not exist in order
794:
890:
183:
632:
756:
606:
563:
583:
395:
375:
355:
335:
311:
287:
156:
136:
116:
96:
66:
46:
585:
and that the structure of
Williamson matrices could provide a route to proving the Hadamard conjecture that Hadamard matrices exist for all orders
926:
883:
528:{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B&C&D\\-B&A&-D&C\\-C&D&A&-B\\-D&-C&B&A\end{bmatrix}}}
314:
1032:
876:
800:
1027:
690:
1001:
21:
936:
981:
653:
191:
921:
996:
956:
951:
911:
991:
76:
17:
976:
971:
966:
986:
961:
916:
837:
Holzmann, W. H.; Kharaghani, H.; Tayfeh-Rezaie, B. (2008). "Williamson matrices up to order 59".
707:
761:
946:
931:
846:
809:
699:
662:
73:
69:
858:
823:
719:
674:
165:
854:
819:
715:
670:
611:
539:
290:
738:
588:
545:
941:
651:
Williamson, John (1944). "Hadamard's determinant theorem and the sum of four squares".
568:
380:
360:
340:
320:
296:
272:
141:
121:
101:
81:
51:
31:
1021:
814:
734:
688:
Golomb, Solomon W.; Baumert, Leonard D. (1963). "The Search for
Hadamard Matrices".
666:
900:
850:
565:. It was once considered likely that Williamson matrices exist for all orders
634:. In 2008, the counterexamples 47, 53, and 59 were additionally discovered.
868:
711:
703:
872:
412:
764:
741:
614:
591:
571:
548:
406:
383:
363:
343:
323:
299:
275:
194:
168:
144:
124:
104:
84:
54:
34:
788:
750:
626:
600:
577:
557:
527:
389:
369:
349:
329:
305:
281:
258:
177:
150:
130:
110:
90:
60:
40:
16:In combinatorial mathematics, specifically in
884:
8:
259:{\displaystyle A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}=4nI}
891:
877:
869:
813:
763:
740:
613:
590:
570:
547:
407:
405:
382:
362:
342:
322:
298:
274:
238:
225:
212:
199:
193:
167:
143:
123:
103:
83:
53:
33:
643:
28:is that Williamson matrices of order
7:
185:and they satisfy the relationship
14:
48:exist for all positive integers
839:Designs, Codes and Cryptography
735:"Williamson matrices of order
1:
733:ĂokoviÄ, Dragomir Ĺ˝. (1993).
691:American Mathematical Monthly
667:10.1215/S0012-7094-44-01108-7
397:are Williamson matrices then
815:10.1016/0012-365X(93)90495-F
22:combinatorial matrix theory
18:combinatorial design theory
1049:
789:{\displaystyle n=33,35,39}
907:
851:10.1007/s10623-007-9163-5
654:Duke Mathematical Journal
790:
752:
628:
602:
579:
559:
529:
391:
371:
351:
331:
307:
283:
260:
179:
152:
132:
112:
92:
62:
42:
1033:Disproved conjectures
927:Euler's sum of powers
791:
753:
629:
603:
580:
560:
530:
392:
372:
352:
332:
308:
284:
261:
180:
178:{\displaystyle \pm 1}
162:if their entries are
153:
133:
113:
93:
63:
43:
26:Williamson conjecture
1028:Combinatorial design
801:Discrete Mathematics
762:
739:
627:{\displaystyle n=35}
612:
589:
569:
546:
404:
381:
361:
341:
321:
297:
273:
192:
166:
142:
122:
102:
82:
52:
32:
160:Williamson matrices
917:Chinese hypothesis
786:
751:{\displaystyle 4n}
748:
624:
601:{\displaystyle 4n}
598:
575:
558:{\displaystyle 4n}
555:
525:
519:
387:
367:
347:
327:
303:
279:
256:
175:
148:
128:
108:
88:
58:
38:
1015:
1014:
578:{\displaystyle n}
390:{\displaystyle D}
370:{\displaystyle C}
350:{\displaystyle B}
330:{\displaystyle A}
306:{\displaystyle n}
282:{\displaystyle I}
151:{\displaystyle D}
131:{\displaystyle C}
111:{\displaystyle B}
91:{\displaystyle A}
61:{\displaystyle n}
41:{\displaystyle n}
1040:
967:Ono's inequality
893:
886:
879:
870:
863:
862:
834:
828:
827:
817:
795:
793:
792:
787:
757:
755:
754:
749:
730:
724:
723:
685:
679:
678:
648:
633:
631:
630:
625:
607:
605:
604:
599:
584:
582:
581:
576:
564:
562:
561:
556:
534:
532:
531:
526:
524:
523:
396:
394:
393:
388:
376:
374:
373:
368:
356:
354:
353:
348:
336:
334:
333:
328:
312:
310:
309:
304:
288:
286:
285:
280:
265:
263:
262:
257:
243:
242:
230:
229:
217:
216:
204:
203:
184:
182:
181:
176:
157:
155:
154:
149:
137:
135:
134:
129:
117:
115:
114:
109:
97:
95:
94:
89:
67:
65:
64:
59:
47:
45:
44:
39:
1048:
1047:
1043:
1042:
1041:
1039:
1038:
1037:
1018:
1017:
1016:
1011:
903:
897:
867:
866:
836:
835:
831:
760:
759:
737:
736:
732:
731:
727:
704:10.2307/2312777
687:
686:
682:
650:
649:
645:
640:
610:
609:
587:
586:
567:
566:
544:
543:
540:Hadamard matrix
518:
517:
512:
507:
499:
490:
489:
481:
476:
471:
462:
461:
456:
448:
443:
434:
433:
428:
423:
418:
408:
402:
401:
379:
378:
359:
358:
339:
338:
319:
318:
317:showed that if
315:John Williamson
295:
294:
291:identity matrix
271:
270:
234:
221:
208:
195:
190:
189:
164:
163:
140:
139:
120:
119:
100:
99:
80:
79:
50:
49:
30:
29:
12:
11:
5:
1046:
1044:
1036:
1035:
1030:
1020:
1019:
1013:
1012:
1010:
1009:
1004:
999:
994:
989:
984:
979:
974:
969:
964:
959:
954:
949:
944:
942:Hauptvermutung
939:
934:
929:
924:
919:
914:
908:
905:
904:
898:
896:
895:
888:
881:
873:
865:
864:
845:(3): 343â352.
829:
808:(1): 267â271.
785:
782:
779:
776:
773:
770:
767:
747:
744:
725:
680:
642:
641:
639:
636:
623:
620:
617:
597:
594:
574:
554:
551:
536:
535:
522:
516:
513:
511:
508:
506:
503:
500:
498:
495:
492:
491:
488:
485:
482:
480:
477:
475:
472:
470:
467:
464:
463:
460:
457:
455:
452:
449:
447:
444:
442:
439:
436:
435:
432:
429:
427:
424:
422:
419:
417:
414:
413:
411:
386:
366:
346:
326:
302:
278:
267:
266:
255:
252:
249:
246:
241:
237:
233:
228:
224:
220:
215:
211:
207:
202:
198:
174:
171:
147:
127:
107:
87:
57:
37:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1045:
1034:
1031:
1029:
1026:
1025:
1023:
1008:
1005:
1003:
1000:
998:
995:
993:
990:
988:
985:
983:
980:
978:
975:
973:
970:
968:
965:
963:
960:
958:
955:
953:
950:
948:
945:
943:
940:
938:
935:
933:
930:
928:
925:
923:
920:
918:
915:
913:
910:
909:
906:
902:
894:
889:
887:
882:
880:
875:
874:
871:
860:
856:
852:
848:
844:
840:
833:
830:
825:
821:
816:
811:
807:
803:
802:
797:
783:
780:
777:
774:
771:
768:
765:
745:
742:
729:
726:
721:
717:
713:
709:
705:
701:
697:
693:
692:
684:
681:
676:
672:
668:
664:
660:
656:
655:
647:
644:
637:
635:
621:
618:
615:
595:
592:
572:
552:
549:
541:
520:
514:
509:
504:
501:
496:
493:
486:
483:
478:
473:
468:
465:
458:
453:
450:
445:
440:
437:
430:
425:
420:
415:
409:
400:
399:
398:
384:
364:
344:
324:
316:
300:
292:
276:
253:
250:
247:
244:
239:
235:
231:
226:
222:
218:
213:
209:
205:
200:
196:
188:
187:
186:
172:
169:
161:
158:are known as
145:
125:
105:
85:
78:
75:
71:
55:
35:
27:
23:
19:
1006:
937:Hedetniemi's
842:
838:
832:
805:
799:
728:
698:(1): 12â17.
695:
689:
683:
661:(1): 65â81.
658:
652:
646:
537:
268:
159:
25:
15:
997:Von Neumann
901:conjectures
1022:Categories
1007:Williamson
1002:WeylâBerry
982:SchoenâYau
899:Disproved
638:References
542:of order
502:−
494:−
484:−
466:−
451:−
438:−
293:of order
170:±
74:circulant
70:symmetric
977:Ragsdale
957:Keller's
952:Kalman's
912:Borsuk's
77:matrices
987:Seifert
962:Mertens
859:2372843
824:1217635
720:0146195
712:2312777
675:0009590
289:is the
68:. Four
992:Tait's
947:Hirsch
922:Connes
857:
822:
718:
710:
673:
538:is an
269:where
972:PĂłlya
932:Ganea
708:JSTOR
758:for
72:and
24:the
20:and
847:doi
810:doi
806:115
700:doi
663:doi
313:.
1024::
855:MR
853:.
843:46
841:.
820:MR
818:.
804:.
798:.
784:39
778:35
772:33
716:MR
714:.
706:.
696:70
694:.
671:MR
669:.
659:11
657:.
622:35
377:,
357:,
337:,
138:,
118:,
98:,
892:e
885:t
878:v
861:.
849::
826:.
812::
796:"
781:,
775:,
769:=
766:n
746:n
743:4
722:.
702::
677:.
665::
619:=
616:n
596:n
593:4
573:n
553:n
550:4
521:]
515:A
510:B
505:C
497:D
487:B
479:A
474:D
469:C
459:C
454:D
446:A
441:B
431:D
426:C
421:B
416:A
410:[
385:D
365:C
345:B
325:A
301:n
277:I
254:I
251:n
248:4
245:=
240:2
236:D
232:+
227:2
223:C
219:+
214:2
210:B
206:+
201:2
197:A
173:1
146:D
126:C
106:B
86:A
56:n
36:n
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
