2826:
2532:
2149:
2821:{\displaystyle (c_{V,W}\otimes \mathrm {id} _{U})(\mathrm {id} _{V}\otimes c_{U,W})(c_{U,V}\otimes \mathrm {id} _{W})=(\mathrm {id} _{W}\otimes c_{U,V})(c_{U,W}\otimes \mathrm {id} _{V})(\mathrm {id} _{U}\otimes c_{V,W}):U\otimes V\otimes W\to W\otimes V\otimes U.}
1531:
656:
485:
2505:
1999:
2372:
1726:
1818:
752:
895:
197:
2280:
1393:
537:
1206:
1879:
1144:
1028:
2915:
1581:
286:
936:
811:
149:
350:
2192:
319:
1242:
2858:
523:
240:
1285:
1984:
1612:
1354:
1312:
849:
1945:
339:
73:
682:
1386:
1060:
2383:
1909:
2144:{\displaystyle h\otimes v\subset \times X\;\;\leftrightarrow \;\;t_{i}\otimes v\in kG\otimes _{kCent(g)}X\qquad {\text{with uniquely}}\;\;h=t_{i}gt_{i}^{-1}}
2290:
1623:
2988:
1748:
2980:
3025:
687:
854:
162:
2228:
1526:{\displaystyle V={\mathcal {O}}_{}^{\chi }={\mathcal {O}}_{}^{X}\qquad V=\bigoplus _{h\in }V_{h}=\bigoplus _{h\in }X}
651:{\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} )\Delta (h)=h_{(1)}\otimes h_{(2)}\otimes h_{(3)}\in H\otimes H\otimes H}
1315:
1149:
25:
1829:
1100:
984:
2879:
1544:
480:{\displaystyle \delta (h{\boldsymbol {.}}v)=h_{(1)}v_{(-1)}S(h_{(3)})\otimes h_{(2)}{\boldsymbol {.}}v_{(0)}}
253:
3020:
900:
775:
120:
3015:
2953:
1584:
2158:
302:
1218:
156:
29:
2958:
2839:
490:
212:
49:
2943:
1257:
84:
1950:
1590:
1320:
1290:
2984:
2834:
819:
1922:
324:
58:
2994:
2972:
2500:{\displaystyle c_{V,W}^{-1}(w\otimes v):=v_{(0)}\otimes S^{-1}(v_{(-1)}){\boldsymbol {.}}w.}
661:
1359:
1038:
2998:
1252:
1893:
1247:
finite-dimensional, irreducible/simple Yetter–Drinfeld modules over a (nonabelian) group
2934:
Andruskiewitsch, N.; Grana, M. (1999). "Braided Hopf algebras over non abelian groups".
3009:
957:
96:
33:
17:
950:
531:
76:
2979:. Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 82. Providence, RI:
2367:{\displaystyle c(v\otimes w):=v_{(-1)}{\boldsymbol {.}}w\otimes v_{(0)},}
247:
2948:
2872:
above. The category of Yetter–Drinfeld modules over a Hopf algebra
1987:
1721:{\displaystyle Ind_{Cent(g)}^{G}(\chi )=kG\otimes _{kCent(g)}X}
2902:
2899:
2845:
1551:
1434:
1406:
772:
is a Yetter–Drinfeld module with the trivial left coaction
2860:
consisting of Yetter–Drinfeld modules over a Hopf algebra
1732:(this can be proven easily not to depend on the choice of
1314:(character of) an irreducible group representation of the
1919:-action by choice of a specific set of representatives
2868:. It is a braided monoidal category with the braiding
1813:{\displaystyle t\otimes v\in kG\otimes _{kCent(g)}X=V}
2882:
2842:
2535:
2386:
2293:
2231:
2161:
2002:
1953:
1925:
1896:
1832:
1751:
1626:
1593:
1547:
1396:
1362:
1323:
1293:
1260:
1221:
1152:
1103:
1041:
987:
903:
857:
822:
778:
690:
664:
540:
493:
353:
327:
305:
256:
215:
165:
123:
61:
938:, is a Yetter–Drinfeld module for all Hopf algebras
1079:is not abelian, then Yetter–Drinfeld modules over
2909:
2852:
2820:
2499:
2366:
2274:
2186:
2143:
1978:
1939:
1903:
1873:
1812:
1720:
1606:
1575:
1525:
1380:
1348:
1306:
1279:
1236:
1200:
1138:
1054:
1022:
930:
889:
843:
805:
747:{\displaystyle \delta (v)=v_{(-1)}\otimes v_{(0)}}
746:
676:
650:
517:
479:
333:
313:
280:
234:
191:
143:
67:
890:{\displaystyle h{\boldsymbol {.}}v=\epsilon (h)v}
192:{\displaystyle {\boldsymbol {.}}:H\otimes V\to V}
2275:{\displaystyle c_{V,W}:V\otimes W\to W\otimes V}
2511:Further, for any three Yetter–Drinfeld modules
8:
838:
832:
2209:be a Hopf algebra with invertible antipode
1201:{\displaystyle g.V_{h}\subset V_{ghg^{-1}}}
2103:
2102:
2036:
2035:
2031:
2030:
1975:
1936:
1900:
1874:{\displaystyle t\otimes v\in V_{tgt^{-1}}}
1745:-graduation (comodule) assign any element
1603:
1345:
1303:
1276:
1233:
1139:{\displaystyle V=\bigoplus _{g\in G}V_{g}}
1023:{\displaystyle V=\bigoplus _{g\in G}V_{g}}
768:-module over a cocommutative Hopf algebra
228:
2957:
2947:
2910:{\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}
2898:
2897:
2891:
2886:
2884:
2881:
2844:
2843:
2841:
2764:
2751:
2743:
2730:
2722:
2706:
2684:
2671:
2663:
2647:
2639:
2623:
2601:
2588:
2580:
2567:
2559:
2543:
2534:
2486:
2468:
2452:
2433:
2402:
2391:
2385:
2349:
2334:
2319:
2292:
2236:
2230:
2178:
2160:
2155:(this notation emphasizes the graduation
2132:
2127:
2114:
2097:
2066:
2041:
2001:
1952:
1930:
1924:
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1860:
1849:
1831:
1774:
1750:
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1660:
1637:
1625:
1592:
1576:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{}^{\chi }}
1567:
1556:
1550:
1549:
1546:
1502:
1489:
1467:
1450:
1439:
1433:
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1405:
1404:
1395:
1361:
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1228:
1220:
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1176:
1163:
1151:
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1040:
1014:
998:
986:
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856:
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732:
710:
689:
663:
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550:
539:
492:
465:
456:
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422:
397:
381:
363:
352:
326:
306:
304:
255:
214:
166:
164:
133:
122:
60:
2977:Hopf algebras and their actions on rings
2926:
281:{\displaystyle \delta :V\to H\otimes V}
2876:with bijective antipode is denoted by
1990:. From this approach, one often writes
36:which satisfy some additional axioms.
931:{\displaystyle \delta (v)=1\otimes v}
806:{\displaystyle \delta (v)=1\otimes v}
144:{\displaystyle (V,{\boldsymbol {.}})}
7:
2864:with bijective antipode is called a
963:, then Yetter–Drinfeld modules over
2194:, rather than the module structure)
2187:{\displaystyle h\otimes v\in V_{h}}
341:satisfy the compatibility condition
2747:
2744:
2726:
2723:
2667:
2664:
2643:
2640:
2584:
2581:
2563:
2560:
561:
554:
551:
544:
62:
14:
658:denotes the twofold coproduct of
314:{\displaystyle {\boldsymbol {.}}}
2487:
2335:
2221:be Yetter–Drinfeld modules over
1237:{\displaystyle k=\mathbb {C} \;}
862:
457:
364:
307:
167:
134:
2096:
1456:
2853:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
2797:
2776:
2739:
2736:
2699:
2696:
2659:
2653:
2616:
2613:
2576:
2573:
2536:
2483:
2478:
2469:
2461:
2440:
2434:
2423:
2411:
2356:
2350:
2329:
2320:
2309:
2297:
2260:
2088:
2082:
2032:
2021:
2015:
1972:
1966:
1796:
1790:
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1704:
1672:
1666:
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1650:
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1557:
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1261:
913:
907:
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875:
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700:
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600:
587:
581:
570:
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541:
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388:
382:
371:
357:
266:
229:
216:
183:
138:
124:
1:
2981:American Mathematical Society
2936:Bol. Acad. Ciencias (Cordoba)
2527:satisfies the braid relation
1251:are uniquely given through a
1075:More generally, if the group
518:{\displaystyle h\in H,v\in V}
288:denotes the left coaction of
235:{\displaystyle (V,\delta \;)}
2378:is invertible with inverse
1280:{\displaystyle \subset G\;}
199:denotes the left action of
109:Yetter–Drinfeld module over
3042:
1979:{\displaystyle Cent(g)\;}
1607:{\displaystyle \chi ,X\;}
1349:{\displaystyle Cent(g)\;}
1307:{\displaystyle \chi ,X\;}
975:-modules. This means that
48:be a Hopf algebra over a
26:braided monoidal category
2866:Yetter–Drinfeld category
1820:to the graduation layer:
844:{\displaystyle V=k\{v\}}
107:is called a (left left)
22:Yetter–Drinfeld category
1940:{\displaystyle t_{i}\;}
334:{\displaystyle \delta }
68:{\displaystyle \Delta }
2911:
2854:
2822:
2501:
2368:
2276:
2188:
2145:
1980:
1941:
1915:´s and write down the
1905:
1875:
1814:
1722:
1608:
1577:
1527:
1382:
1350:
1308:
1281:
1238:
1202:
1140:
1056:
1024:
932:
891:
845:
807:
748:
678:
677:{\displaystyle h\in H}
652:
519:
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335:
315:
282:
236:
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145:
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2912:
2855:
2823:
2502:
2369:
2277:
2189:
2146:
1981:
1942:
1906:
1887:It is very custom to
1876:
1815:
1723:
1609:
1578:
1528:
1383:
1381:{\displaystyle g\in }
1356:of some representing
1351:
1309:
1282:
1239:
1203:
1141:
1057:
1055:{\displaystyle V_{g}}
1025:
933:
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679:
653:
520:
482:
336:
316:
283:
237:
194:
146:
70:
24:is a special type of
2880:
2840:
2533:
2384:
2291:
2229:
2159:
2000:
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1360:
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1291:
1258:
1219:
1215:Over the base field
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163:
121:
59:
3026:Monoidal categories
2896:
2410:
2140:
1904:{\displaystyle V\;}
1665:
1572:
1455:
1427:
816:The trivial module
2907:
2883:
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2364:
2272:
2184:
2141:
2123:
1976:
1937:
1901:
1889:directly construct
1871:
1810:
1718:
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1548:
1523:
1519:
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1378:
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1304:
1277:
1234:
1198:
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1125:
1052:
1020:
1009:
967:are precisely the
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841:
803:
744:
674:
648:
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311:
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189:
141:
65:
28:. It consists of
2973:Montgomery, Susan
2835:monoidal category
2100:
1911:as direct sum of
1498:
1463:
1110:
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532:Sweedler notation
3033:
3002:
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2963:
2961:
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2774:
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2755:
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2694:
2676:
2675:
2670:
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2651:
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2633:
2612:
2611:
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2587:
2572:
2571:
2566:
2554:
2553:
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2504:
2503:
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2490:
2482:
2481:
2460:
2459:
2444:
2443:
2409:
2401:
2373:
2371:
2370:
2365:
2360:
2359:
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2332:
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2279:
2278:
2273:
2247:
2246:
2193:
2191:
2190:
2185:
2183:
2182:
2150:
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2147:
2142:
2139:
2131:
2119:
2118:
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2045:
1985:
1983:
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1977:
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1943:
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1935:
1934:
1910:
1908:
1907:
1902:
1880:
1878:
1877:
1872:
1870:
1869:
1868:
1867:
1819:
1817:
1816:
1811:
1800:
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