3389:
4704:
2723:
3384:{\displaystyle {\begin{aligned}|S_{1}\cup \dotsm \cup S_{n}|&=\sum _{i}\left|S_{i}\right|-\sum _{i<j}\left|S_{i}\cap S_{j}\right|+\sum _{i<j<k}\left|S_{i}\cap S_{j}\cap S_{k}\right|+\cdots +(-1)^{n+1}\left|S_{1}\cap \dotsm \cap S_{n}\right|\\&={n \choose 1}(n-1)!-{n \choose 2}(n-2)!+{n \choose 3}(n-3)!-\cdots +(-1)^{n+1}{n \choose n}0!\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{n \choose i}(n-i)!\\&=n!\ \sum _{i=1}^{n}{(-1)^{i+1} \over i!},\end{aligned}}}
38:
956:
963:
Suppose that a professor gave a test to 4 students – A, B, C, and D – and wants to let them grade each other's tests. Of course, no student should grade their own test. How many ways could the professor hand the tests back to the students for grading, such that no student received their own test
3966:
4177:
2538:
2280:
3533:
4655:
4902:
2003:
3817:
2397:
2176:
4018:
2404:
3781:
3708:
1881:
4777:
3610:
2728:
1571:
2180:
3398:
2095:
1152:
there are only 9 derangements (shown in blue italics above). In every other permutation of this 4-member set, at least one student gets their own test back (shown in bold red).
4524:
188:
3812:
2581:
4937:
4786:
2714:
2285:
2032:
4285:
2107:
1907:
1597:
2675:
4224:
2608:
2063:
1659:
1630:
150:
125:
4244:
4197:
2632:
100:
4320:
opposite-sex couples are seated man-woman-man-woman-... around a table, how many ways can they be seated so that nobody is seated next to his or her partner?
1918:
1679:
940:
5305:
A surprising result of Anna Lubiw asserts that the following problem is NP-complete: Does a given permutation group have a fixed-point-free element?
3972:
that a randomly selected permutation of a large number of objects is a derangement. The probability converges to this limit extremely quickly as
3713:
3627:
5138:
3961:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{!n \over n!}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=e^{-1}\approx 0.367879\ldots .}
5372:
2717:
5019:
4995:
4172:{\displaystyle !n={\frac {n!}{e}}+\sum _{k=1}^{m}\left(-1\right)^{n+k-1}{\frac {B_{k}}{n^{k}}}+O\left({\frac {1}{n^{m+1}}}\right),}
5187:
Hassani, M. "Derangements and
Alternating Sum of Permutations by Integration." J. Integer Seq. 23, Article 20.7.8, 1–9, 2020
2533:{\displaystyle !n={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\n\cdot \left(!(n-1)\right)+(-1)^{n}&{\text{if }}n>0.\end{cases}}}
1800:
3612:
since we can choose n - i elements to be in their own place and derange the other i elements in just !i ways, by definition.
4703:
4709:
3996:
3540:
5042:
5198:
1483:
5377:
936:
2072:
5256:
4940:
869:
834:
833:
in which no element appears in its original position. In other words, a derangement is a permutation that has no
2066:
4976:
5367:
2275:{\displaystyle !n=\left\lfloor \left(e+e^{-1}\right)n!\right\rfloor -\lfloor en!\rfloor ,\quad n\geq 2,}
3528:{\displaystyle !n=n!-\left|S_{1}\cup \dotsm \cup S_{n}\right|=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}.}
5338:
156:
5287:
5210:
5051:
5037:
4693:
3786:
965:
944:
2422:
4518:
2554:
4907:
5226:
5126:
5103:
4985:
4296:
5283:
3995:
More information about this calculation and the above limit may be found in the article on the
3992:
graph shows that the derangement graph lags the permutation graph by an almost constant value.
2680:
5346:
5326:
5155:
5134:
5015:
4991:
4956:
4312:
2008:
929:
830:
4310:
Derangements are an example of the wider field of constrained permutations. For example, the
4257:
1886:
1576:
5265:
5218:
5095:
2645:
1469:
This gives us the solution to the hat-check problem: stated algebraically, the number !
5300:
5277:
4202:
2586:
2040:
5296:
5273:
1635:
1606:
4650:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }P_{n_{1}}(x)P_{n_{2}}(x)\cdots P_{n_{r}}(x)e^{-x}\,dx,}
4455:
or not, for the only way to form an anagram without fixed letters is to exchange all the
27:
Permutation of the elements of a set in which no element appears in its original position
5214:
5055:
132:
107:
4981:
4959:(described by a given set of permutations that generate it) contains any derangements.
4251:
4229:
4182:
2617:
2098:
1163:
pre-addressed envelopes so that no letter appears in the correctly addressed envelope.
85:
5361:
5230:
815:
4897:{\displaystyle !n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}=\int _{0}^{\infty }(x-1)^{n}e^{-x}dx}
4012:
4008:
5158:
1998:{\displaystyle !n=\left=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }
2392:{\displaystyle !n=n!-\sum _{i=1}^{n}{n \choose i}\cdot {!(n-i)},\quad \ n\geq 1.}
5350:
4952:
4247:
3969:
2171:{\displaystyle !n=\left\lfloor {\frac {n!+1}{e}}\right\rfloor ,\quad \ n\geq 1,}
826:
818:
5178:
M. T. L. Bizley, A Note on derangements, Math. Gaz., 51 (May 1967) pp. 118-120.
1218: − 1 hats that is not their own. Call the hat which the person
5251:
5222:
4340:
5322:
5163:
2547:
One may derive a non-recursive formula for the number of derangements of an
917:
31:
17:
1263:, or some other. Accordingly, the problem splits into two possible cases:
955:
3989:
1664:
The number of derangements of small lengths is given in the table below.
1155:
Another version of the problem arises when we ask for the number of ways
5107:
5269:
5099:
37:
5254:(1981), "Some NP-complete problems similar to graph isomorphism",
4702:
4697:
4434:
How many anagrams with no fixed letters of a given word are there?
954:
4447:
letters B, the answer is, of course, 1 or 0 according to whether
4439:
For instance, for a word made of only two different letters, say
3391:
and since a derangement is a permutation that leaves none of the
1466:
may all receive hats is the sum of the counts for the two cases.
1159:
letters, each addressed to a different person, can be placed in
5203:
Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
1437:'s hat, effectively putting both out of further consideration.
1303: − 1 hats that they may not receive (for any
935:
The problem of counting derangements was first considered by
5286:(1995), "Automorphism groups, isomorphism, reconstruction",
4783:
In particular, for the classical derangements, one has that
872:). Notations for subfactorials in common use include !
5074:
Seconde
Edition, Revue & augmentée de plusieurs Lettres
3776:{\displaystyle e^{x}=\sum _{i=0}^{\infty }{x^{i} \over i!}}
2526:
1674:
4350:, we often wish to know the number of pairs of functions (
3703:{\displaystyle !n=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}}
1876:{\displaystyle !n=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}}
959:
The 9 derangements (from 24 permutations) are highlighted.
5133:(2 ed.). Cambridge University Press. Example 2.2.1.
1794:, equivalent to the formula given above. These include
4987:
3790:
2683:
1280:. This case is equivalent to solving the problem with
4910:
4789:
4712:
4527:
4260:
4232:
4205:
4185:
4021:
3820:
3789:
3716:
3630:
3543:
3401:
2726:
2648:
2620:
2589:
2557:
2407:
2288:
2183:
2110:
2075:
2043:
2011:
1921:
1889:
1803:
1638:
1609:
1579:
1486:
1175:, in which one considers the number of ways in which
159:
135:
110:
88:
4772:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }(t-1)^{z}e^{-t}dt}
41:
Number of possible permutations and derangements of
5086:Scoville, Richard (1966). "The Hat-Check Problem".
5010:Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik,
3605:{\displaystyle n!=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}!i}
4931:
4896:
4771:
4649:
4279:
4238:
4218:
4191:
4171:
3960:
3806:
3775:
3702:
3604:
3527:
3383:
2708:
2669:
2626:
2602:
2575:
2532:
2391:
2274:
2170:
2089:
2057:
2026:
1997:
1901:
1875:
1653:
1624:
1591:
1565:
1354:, where the derangement is more explicit: for any
1299:there is exactly one hat from among the remaining
1288: − 1 hats because for each of the
182:
144:
119:
94:
4429:Another generalization is the following problem:
3590:
3577:
3271:
3258:
3187:
3174:
3113:
3100:
3070:
3057:
3027:
3014:
2344:
2331:
1566:{\displaystyle !n=(n-1)\cdot ({!(n-1)}+{!(n-2)})}
4683:= 2 gives an orthogonality relation, whence the
3861:
3822:
2634:-th object. Any intersection of a collection of
1211:) such that no hat makes it back to its owner.
1790:There are various other expressions for !
1171:Counting derangements of a set amounts to the
65:subfactorial) is the number of derangements –
5031:
5029:
5027:
4003:Asymptotic expansion in terms of Bell numbers
2700:
2687:
128:
103:
8:
5337:Bogart, Kenneth P.; Doyle, Peter G. (1985).
2253:
2241:
2090:{\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }
840:The number of derangements of a set of size
794:265,252,859,812,191,058,636,308,480,000,000
5339:"Non-sexist solution of the ménage problem"
5295:, Amsterdam: Elsevier, pp. 1447–1540,
2543:Derivation by inclusion–exclusion principle
800:97,581,073,836,835,777,732,377,428,235,481
4517:, it turns out (after a proper use of the
4007:An asymptotic expansion for the number of
780:3,252,702,461,227,859,257,745,914,274,516
774:8,841,761,993,739,701,954,543,616,000,000
74:
4909:
4879:
4869:
4847:
4842:
4799:
4788:
4754:
4744:
4722:
4717:
4711:
4637:
4628:
4607:
4602:
4578:
4573:
4552:
4547:
4537:
4532:
4526:
4265:
4259:
4231:
4210:
4204:
4184:
4148:
4139:
4121:
4111:
4105:
4087:
4064:
4053:
4031:
4020:
3937:
3913:
3897:
3891:
3880:
3864:
3837:
3825:
3819:
3788:
3757:
3751:
3745:
3734:
3721:
3715:
3683:
3667:
3661:
3650:
3629:
3589:
3576:
3574:
3568:
3557:
3542:
3505:
3489:
3483:
3472:
3448:
3429:
3400:
3351:
3335:
3329:
3318:
3270:
3257:
3255:
3243:
3224:
3213:
3186:
3173:
3171:
3159:
3112:
3099:
3097:
3069:
3056:
3054:
3026:
3013:
3011:
2990:
2971:
2950:
2917:
2904:
2891:
2864:
2846:
2833:
2812:
2795:
2781:
2765:
2759:
2740:
2731:
2727:
2725:
2699:
2686:
2684:
2682:
2647:
2619:
2594:
2588:
2556:
2509:
2501:
2430:
2417:
2406:
2353:
2343:
2330:
2328:
2322:
2311:
2287:
2213:
2182:
2124:
2109:
2074:
2042:
2010:
1980:
1962:
1935:
1920:
1888:
1856:
1840:
1834:
1823:
1802:
1637:
1608:
1578:
1540:
1517:
1485:
160:
158:
134:
109:
87:
4975:The name "subfactorial" originates with
4471:. In the general case, for a word with
4250:. Moreover, the constant implied by the
2638:of these sets fixes a particular set of
1666:
1338:). Another way to see this is to rename
943:. in 1708; he solved it in 1713, as did
760:112,162,153,835,443,422,680,893,595,673
754:304,888,344,611,713,860,501,504,000,000
36:
5199:"Derangements and Laguerre polynomials"
4968:
4406:, there exists a derangement φ of
734:10,888,869,450,418,352,160,768,000,000
5070:Essay d'analyse sur les jeux de hazard
4657:for a certain sequence of polynomials
4521:formula) that the answer has the form
1396:. In this case the problem reduces to
941:Essay d'analyse sur les jeux de hazard
740:4,005,791,208,408,693,667,174,771,274
73:elements change their initial places.
5121:
5119:
5117:
4679:. But the above answer for the case
4299:asks how many permutations of a size-
2401:The following recurrence also holds:
1452:may receive, the number of ways that
30:For the psychological condition, see
7:
5289:Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2
5014:(1994), Addison–Wesley, Reading MA.
3616:Growth of number of derangements as
1292: − 1 people besides
720:148,362,637,348,470,135,821,287,825
714:403,291,461,126,605,635,584,000,000
5353:. MathWorld–A Wolfram Web Resource.
5131:Enumerative Combinatorics, volume 1
4463:, which is possible if and only if
4199:is any fixed positive integer, and
1404: − 2 hats, because
1214:Each person may receive any of the
694:15,511,210,043,330,985,984,000,000
4911:
4848:
4802:
4723:
4538:
4398:); in other words, where for each
3871:
3832:
3746:
3581:
3262:
3178:
3104:
3061:
3018:
2691:
2335:
700:5,706,255,282,633,466,762,357,224
25:
3997:statistics of random permutations
2610:to be the set of permutations of
1668:The number of derangements of an
968:(4!) for handing back the tests,
4700:a sign that is easily decided).
1400: − 2 people and
1284: − 1 people and
680:228,250,211,305,338,670,494,289
674:620,448,401,733,239,439,360,000
183:{\displaystyle {\frac {!n}{n!}}}
5038:"Derangements and Applications"
4941:upper incomplete gamma function
3807:{\displaystyle \textstyle x=-1}
2642:objects and therefore contains
2376:
2259:
2152:
2104:Other related formulas include
1445: − 1 hats that
900:> 0, the subfactorial !
654:25,852,016,738,884,976,640,000
69:-permutations where all of the
5076:. Paris: Jacque Quillau. 1713.
4926:
4914:
4866:
4853:
4826:
4805:
4741:
4728:
4621:
4615:
4592:
4586:
4566:
4560:
3976:increases, which is why !
3910:
3900:
3868:
3829:
3680:
3670:
3502:
3492:
3348:
3338:
3289:
3277:
3240:
3230:
3156:
3146:
3131:
3119:
3088:
3076:
3045:
3033:
2947:
2937:
2766:
2732:
2661:
2649:
2498:
2488:
2477:
2465:
2369:
2357:
1853:
1843:
1560:
1556:
1544:
1533:
1521:
1514:
1508:
1496:
904:equals the nearest integer to
660:9,510,425,471,055,777,937,262
634:1,124,000,727,777,607,680,000
1:
5088:American Mathematical Monthly
4955:to determine whether a given
3814:one immediately obtains that
2718:inclusion–exclusion principle
2576:{\displaystyle 1\leq k\leq n}
5197:Even, S.; J. Gillis (1976).
5043:Journal of Integer Sequences
4990:, Cosimo, Inc., p. 77,
4932:{\displaystyle \Gamma (s,x)}
3395:objects fixed, this implies
640:413,496,759,611,120,779,881
53:factorial) is the number of
5068:de Montmort, P. R. (1708).
805:
785:
765:
745:
725:
705:
685:
665:
645:
625:
620:18,795,307,255,050,944,540
614:51,090,942,171,709,440,000
605:
585:
565:
545:
525:
505:
485:
465:
445:
425:
405:
385:
365:
345:
325:
305:
265:
5394:
5373:Fixed points (mathematics)
4323:More formally, given sets
3980:is the nearest integer to
2709:{\textstyle {n \choose i}}
1317:, the unreceivable hat is
1273:receives a hat other than
937:Pierre Raymond de Montmort
594:2,432,902,008,176,640,000
29:
5257:SIAM Journal on Computing
5223:10.1017/S0305004100052154
5072:. Paris: Jacque Quillau.
3968:This is the limit of the
2716:such collections, so the
870:Pierre Remond de Montmort
153:
82:
77:
4947:Computational complexity
2677:permutations. There are
2067:nearest integer function
2027:{\displaystyle n\geq 1,}
966:24 possible permutations
947:at about the same time.
600:895,014,631,192,902,121
574:121,645,100,408,832,000
5036:Hassani, Mehdi (2003).
4977:William Allen Whitworth
4297:problème des rencontres
4280:{\displaystyle B_{m+1}}
1902:{\displaystyle n\geq 0}
1672:-element set (sequence
1592:{\displaystyle n\geq 2}
580:44,750,731,559,645,106
4933:
4898:
4780:
4773:
4651:
4281:
4254:-term does not exceed
4240:
4220:
4193:
4173:
4069:
3962:
3896:
3808:
3777:
3750:
3704:
3666:
3606:
3573:
3529:
3488:
3385:
3334:
3229:
2710:
2671:
2670:{\displaystyle (n-i)!}
2628:
2604:
2577:
2534:
2393:
2327:
2276:
2172:
2091:
2059:
2028:
1999:
1903:
1877:
1839:
1655:
1626:
1593:
1567:
1473:of derangements of an
960:
811:
560:2,355,301,661,033,953
554:6,402,373,705,728,000
184:
146:
121:
96:
5327:"Let's get deranged!"
5050:(1): Article 03.1.2.
4934:
4899:
4774:
4706:
4652:
4282:
4241:
4221:
4219:{\displaystyle B_{k}}
4194:
4174:
4049:
3963:
3876:
3809:
3778:
3730:
3705:
3646:
3607:
3553:
3530:
3468:
3386:
3314:
3209:
2711:
2672:
2629:
2614:objects that fix the
2605:
2603:{\displaystyle S_{k}}
2578:
2535:
2394:
2307:
2277:
2173:
2092:
2060:
2058:{\displaystyle \left}
2029:
2000:
1904:
1878:
1819:
1656:
1627:
1594:
1568:
1193:) can be returned to
1167:Counting derangements
958:
829:of the elements of a
806:≈0.36787 94412
786:≈0.36787 94412
766:≈0.36787 94412
746:≈0.36787 94412
726:≈0.36787 94412
706:≈0.36787 94412
686:≈0.36787 94412
666:≈0.36787 94412
646:≈0.36787 94412
626:≈0.36787 94412
606:≈0.36787 94412
586:≈0.36787 94412
566:≈0.36787 94412
546:≈0.36787 94412
526:≈0.36787 94412
506:≈0.36787 94412
486:≈0.36787 94412
466:≈0.36787 94412
446:≈0.36787 94413
426:≈0.36787 94392
406:≈0.36787 94643
386:≈0.36787 91887
366:≈0.36788 19444
326:≈0.36805 55556
306:≈0.36666 66667
266:≈0.33333 33333
185:
147:
122:
97:
57:-permutations; !
40:
5012:Concrete Mathematics
4908:
4787:
4779:in the complex plane
4710:
4694:Laguerre polynomials
4525:
4258:
4230:
4203:
4183:
4019:
3818:
3787:
3714:
3628:
3541:
3399:
2724:
2681:
2646:
2618:
2587:
2555:
2405:
2286:
2181:
2108:
2073:
2041:
2009:
1919:
1887:
1801:
1654:{\displaystyle !1=0}
1636:
1625:{\displaystyle !0=1}
1607:
1577:
1484:
540:130,850,092,279,664
534:355,687,428,096,000
157:
133:
108:
86:
5215:1976MPCPS..79..135E
5056:2003JIntS...6...12H
4852:
4727:
4542:
4519:inclusion-exclusion
3537:On the other hand,
2551:-set, as well. For
1686:
802:≈9.76×10
796:≈2.65×10
782:≈3.25×10
776:≈8.84×10
762:≈1.12×10
756:≈3.05×10
742:≈4.01×10
736:≈1.09×10
722:≈1.48×10
716:≈4.03×10
702:≈5.71×10
696:≈1.55×10
682:≈2.28×10
676:≈6.20×10
662:≈9.51×10
656:≈2.59×10
642:≈4.13×10
636:≈1.12×10
622:≈1.88×10
616:≈5.11×10
602:≈8.95×10
596:≈2.43×10
582:≈4.48×10
576:≈1.22×10
562:≈2.36×10
556:≈6.40×10
542:≈1.31×10
536:≈3.56×10
522:≈7.70×10
516:≈2.09×10
514:20,922,789,888,000
502:≈4.81×10
496:≈1.31×10
482:≈3.21×10
476:≈8.72×10
462:≈2.29×10
456:≈6.23×10
442:≈1.76×10
436:≈4.79×10
422:≈1.47×10
416:≈3.99×10
402:≈1.33×10
396:≈3.63×10
382:≈1.33×10
376:≈3.63×10
362:≈1.48×10
356:≈4.03×10
342:≈1.85×10
5156:Weisstein, Eric W.
4929:
4894:
4838:
4781:
4769:
4713:
4647:
4528:
4277:
4236:
4216:
4189:
4169:
3958:
3875:
3836:
3804:
3803:
3773:
3700:
3620:approaches ∞
3602:
3525:
3381:
3379:
2881:
2823:
2786:
2706:
2667:
2624:
2600:
2573:
2530:
2525:
2389:
2272:
2168:
2087:
2055:
2024:
1995:
1899:
1873:
1667:
1651:
1622:
1589:
1563:
961:
945:Nicholas Bernoulli
866:de Montmort number
858:derangement number
812:
520:7,697,064,251,745
494:1,307,674,368,000
180:
145:{\displaystyle !n}
142:
120:{\displaystyle n!}
117:
92:
5378:Integer sequences
5347:Weisstein, Eric W
5140:978-1-107-60262-5
4957:permutation group
4833:
4303:set have exactly
4239:{\displaystyle k}
4192:{\displaystyle m}
4160:
4127:
4044:
3928:
3860:
3855:
3821:
3771:
3698:
3588:
3520:
3372:
3313:
3269:
3185:
3111:
3068:
3025:
2860:
2808:
2777:
2698:
2627:{\displaystyle k}
2512:
2433:
2379:
2342:
2155:
2143:
1988:
1975:
1948:
1871:
1788:
1787:
1459:, ...,
1173:hat-check problem
1148:
1147:
810:
809:
178:
95:{\displaystyle n}
16:(Redirected from
5385:
5354:
5342:
5333:
5331:
5309:
5307:
5294:
5280:
5248:
5242:
5241:
5239:
5237:
5194:
5188:
5185:
5179:
5176:
5170:
5169:
5168:
5151:
5145:
5144:
5127:Stanley, Richard
5123:
5112:
5111:
5083:
5077:
5066:
5060:
5059:
5033:
5022:
5008:
5002:
5000:
4973:
4938:
4936:
4935:
4930:
4903:
4901:
4900:
4895:
4887:
4886:
4874:
4873:
4851:
4846:
4834:
4829:
4800:
4778:
4776:
4775:
4770:
4762:
4761:
4749:
4748:
4726:
4721:
4656:
4654:
4653:
4648:
4636:
4635:
4614:
4613:
4612:
4611:
4585:
4584:
4583:
4582:
4559:
4558:
4557:
4556:
4541:
4536:
4331:, and some sets
4286:
4284:
4283:
4278:
4276:
4275:
4245:
4243:
4242:
4237:
4225:
4223:
4222:
4217:
4215:
4214:
4198:
4196:
4195:
4190:
4178:
4176:
4175:
4170:
4165:
4161:
4159:
4158:
4140:
4128:
4126:
4125:
4116:
4115:
4106:
4104:
4103:
4086:
4082:
4068:
4063:
4045:
4040:
4032:
3967:
3965:
3964:
3959:
3945:
3944:
3929:
3927:
3919:
3918:
3917:
3898:
3895:
3890:
3874:
3856:
3854:
3846:
3838:
3835:
3813:
3811:
3810:
3805:
3783:by substituting
3782:
3780:
3779:
3774:
3772:
3770:
3762:
3761:
3752:
3749:
3744:
3726:
3725:
3709:
3707:
3706:
3701:
3699:
3697:
3689:
3688:
3687:
3668:
3665:
3660:
3611:
3609:
3608:
3603:
3595:
3594:
3593:
3580:
3572:
3567:
3534:
3532:
3531:
3526:
3521:
3519:
3511:
3510:
3509:
3490:
3487:
3482:
3458:
3454:
3453:
3452:
3434:
3433:
3390:
3388:
3387:
3382:
3380:
3373:
3371:
3363:
3362:
3361:
3336:
3333:
3328:
3311:
3298:
3276:
3275:
3274:
3261:
3254:
3253:
3228:
3223:
3202:
3192:
3191:
3190:
3177:
3170:
3169:
3118:
3117:
3116:
3103:
3075:
3074:
3073:
3060:
3032:
3031:
3030:
3017:
3004:
3000:
2996:
2995:
2994:
2976:
2975:
2961:
2960:
2927:
2923:
2922:
2921:
2909:
2908:
2896:
2895:
2880:
2856:
2852:
2851:
2850:
2838:
2837:
2822:
2804:
2800:
2799:
2785:
2769:
2764:
2763:
2745:
2744:
2735:
2715:
2713:
2712:
2707:
2705:
2704:
2703:
2690:
2676:
2674:
2673:
2668:
2633:
2631:
2630:
2625:
2609:
2607:
2606:
2601:
2599:
2598:
2582:
2580:
2579:
2574:
2539:
2537:
2536:
2531:
2529:
2528:
2513:
2510:
2506:
2505:
2484:
2480:
2434:
2431:
2398:
2396:
2395:
2390:
2377:
2372:
2349:
2348:
2347:
2334:
2326:
2321:
2281:
2279:
2278:
2273:
2237:
2233:
2226:
2222:
2221:
2220:
2177:
2175:
2174:
2169:
2153:
2148:
2144:
2139:
2125:
2096:
2094:
2093:
2088:
2086:
2064:
2062:
2061:
2056:
2054:
2033:
2031:
2030:
2025:
2004:
2002:
2001:
1996:
1994:
1990:
1989:
1981:
1976:
1971:
1963:
1953:
1949:
1944:
1936:
1908:
1906:
1905:
1900:
1882:
1880:
1879:
1874:
1872:
1870:
1862:
1861:
1860:
1841:
1838:
1833:
1687:
1677:
1660:
1658:
1657:
1652:
1631:
1629:
1628:
1623:
1598:
1596:
1595:
1590:
1572:
1570:
1569:
1564:
1559:
1536:
1477:-element set is
1441:For each of the
1420:
1249:receives either
1241:
1179:hats (call them
1143:
1137:
1131:
1124:
1117:
1110:
1102:
1096:
1090:
1083:
1079:
1072:
1066:
1057:
1050:
1044:
1038:
1031:
1025:
1016:
1012:
1006:
1000:
994:
990:
984:
978:
973:
972:
844:is known as the
803:
797:
783:
777:
763:
757:
743:
737:
723:
717:
703:
697:
683:
677:
663:
657:
643:
637:
623:
617:
603:
597:
583:
577:
563:
557:
543:
537:
523:
517:
503:
500:481,066,515,734
497:
483:
477:
463:
457:
443:
437:
423:
417:
403:
397:
383:
377:
363:
357:
343:
337:
323:
317:
303:
297:
283:
277:
263:
257:
243:
237:
220:
206:
200:
189:
187:
186:
181:
179:
177:
169:
161:
151:
149:
148:
143:
126:
124:
123:
118:
101:
99:
98:
93:
78:Table of values
75:
21:
5393:
5392:
5388:
5387:
5386:
5384:
5383:
5382:
5358:
5357:
5345:
5336:
5329:
5321:
5318:
5313:
5312:
5292:
5282:
5270:10.1137/0210002
5250:
5249:
5245:
5235:
5233:
5196:
5195:
5191:
5186:
5182:
5177:
5173:
5154:
5153:
5152:
5148:
5141:
5125:
5124:
5115:
5100:10.2307/2315337
5085:
5084:
5080:
5067:
5063:
5035:
5034:
5025:
5009:
5005:
4998:
4982:Cajori, Florian
4980:
4974:
4970:
4965:
4949:
4906:
4905:
4875:
4865:
4801:
4785:
4784:
4750:
4740:
4708:
4707:
4691:
4674:
4665:
4624:
4603:
4598:
4574:
4569:
4548:
4543:
4523:
4522:
4516:
4507:
4498:
4491:
4484:
4477:
4293:
4291:Generalizations
4261:
4256:
4255:
4228:
4227:
4206:
4201:
4200:
4181:
4180:
4144:
4135:
4117:
4107:
4075:
4071:
4070:
4033:
4017:
4016:
4015:is as follows:
4005:
3933:
3920:
3909:
3899:
3847:
3839:
3816:
3815:
3785:
3784:
3763:
3753:
3717:
3712:
3711:
3690:
3679:
3669:
3626:
3625:
3622:
3575:
3539:
3538:
3512:
3501:
3491:
3444:
3425:
3424:
3420:
3397:
3396:
3378:
3377:
3364:
3347:
3337:
3296:
3295:
3256:
3239:
3200:
3199:
3172:
3155:
3098:
3055:
3012:
3002:
3001:
2986:
2967:
2966:
2962:
2946:
2913:
2900:
2887:
2886:
2882:
2842:
2829:
2828:
2824:
2791:
2787:
2770:
2755:
2736:
2722:
2721:
2685:
2679:
2678:
2644:
2643:
2616:
2615:
2590:
2585:
2584:
2553:
2552:
2545:
2524:
2523:
2507:
2497:
2461:
2457:
2448:
2447:
2428:
2418:
2403:
2402:
2329:
2284:
2283:
2209:
2202:
2198:
2197:
2193:
2179:
2178:
2126:
2120:
2106:
2105:
2076:
2071:
2070:
2044:
2039:
2038:
2007:
2006:
1964:
1961:
1957:
1937:
1931:
1917:
1916:
1885:
1884:
1863:
1852:
1842:
1799:
1798:
1673:
1634:
1633:
1605:
1604:
1575:
1574:
1482:
1481:
1464:
1458:
1451:
1436:
1429:
1418:
1416:
1410:
1395:
1387:
1379:
1371:cannot receive
1370:
1353:
1344:
1337:
1329:
1322:
1315:
1308:
1298:
1279:
1271:
1262:
1255:
1247:
1239:
1237:
1230:
1224:
1209:
1203:
1191:
1185:
1169:
1141:
1135:
1129:
1122:
1115:
1108:
1100:
1094:
1088:
1081:
1077:
1070:
1064:
1055:
1048:
1042:
1036:
1029:
1023:
1014:
1010:
1004:
998:
992:
988:
982:
976:
953:
887:
880:
801:
795:
781:
775:
761:
755:
741:
735:
721:
715:
701:
695:
681:
675:
661:
655:
641:
635:
621:
615:
601:
595:
581:
575:
561:
555:
541:
535:
521:
515:
501:
495:
481:
480:32,071,101,049
475:
474:87,178,291,200
461:
455:
441:
435:
421:
415:
401:
395:
381:
375:
361:
355:
346:≈0.36785,71429
341:
335:
321:
315:
301:
295:
281:
275:
261:
255:
241:
235:
218:
204:
198:
170:
162:
155:
154:
131:
130:
106:
105:
84:
83:
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
5391:
5389:
5381:
5380:
5375:
5370:
5360:
5359:
5356:
5355:
5343:
5334:
5317:
5316:External links
5314:
5311:
5310:
5243:
5209:(1): 135–143.
5189:
5180:
5171:
5159:"Subfactorial"
5146:
5139:
5113:
5094:(3): 262–265.
5078:
5061:
5023:
5003:
4996:
4967:
4966:
4964:
4961:
4948:
4945:
4928:
4925:
4922:
4919:
4916:
4913:
4893:
4890:
4885:
4882:
4878:
4872:
4868:
4864:
4861:
4858:
4855:
4850:
4845:
4841:
4837:
4832:
4828:
4825:
4822:
4819:
4816:
4813:
4810:
4807:
4804:
4798:
4795:
4792:
4768:
4765:
4760:
4757:
4753:
4747:
4743:
4739:
4736:
4733:
4730:
4725:
4720:
4716:
4687:
4670:
4661:
4646:
4643:
4640:
4634:
4631:
4627:
4623:
4620:
4617:
4610:
4606:
4601:
4597:
4594:
4591:
4588:
4581:
4577:
4572:
4568:
4565:
4562:
4555:
4551:
4546:
4540:
4535:
4531:
4512:
4503:
4496:
4489:
4482:
4475:
4443:letters A and
4437:
4436:
4374:, and for all
4313:ménage problem
4307:fixed points.
4292:
4289:
4274:
4271:
4268:
4264:
4235:
4213:
4209:
4188:
4168:
4164:
4157:
4154:
4151:
4147:
4143:
4138:
4134:
4131:
4124:
4120:
4114:
4110:
4102:
4099:
4096:
4093:
4090:
4085:
4081:
4078:
4074:
4067:
4062:
4059:
4056:
4052:
4048:
4043:
4039:
4036:
4030:
4027:
4024:
4004:
4001:
3957:
3954:
3951:
3948:
3943:
3940:
3936:
3932:
3926:
3923:
3916:
3912:
3908:
3905:
3902:
3894:
3889:
3886:
3883:
3879:
3873:
3870:
3867:
3863:
3859:
3853:
3850:
3845:
3842:
3834:
3831:
3828:
3824:
3802:
3799:
3796:
3793:
3769:
3766:
3760:
3756:
3748:
3743:
3740:
3737:
3733:
3729:
3724:
3720:
3696:
3693:
3686:
3682:
3678:
3675:
3672:
3664:
3659:
3656:
3653:
3649:
3645:
3642:
3639:
3636:
3633:
3621:
3614:
3601:
3598:
3592:
3587:
3584:
3579:
3571:
3566:
3563:
3560:
3556:
3552:
3549:
3546:
3524:
3518:
3515:
3508:
3504:
3500:
3497:
3494:
3486:
3481:
3478:
3475:
3471:
3467:
3464:
3461:
3457:
3451:
3447:
3443:
3440:
3437:
3432:
3428:
3423:
3419:
3416:
3413:
3410:
3407:
3404:
3376:
3370:
3367:
3360:
3357:
3354:
3350:
3346:
3343:
3340:
3332:
3327:
3324:
3321:
3317:
3310:
3307:
3304:
3301:
3299:
3297:
3294:
3291:
3288:
3285:
3282:
3279:
3273:
3268:
3265:
3260:
3252:
3249:
3246:
3242:
3238:
3235:
3232:
3227:
3222:
3219:
3216:
3212:
3208:
3205:
3203:
3201:
3198:
3195:
3189:
3184:
3181:
3176:
3168:
3165:
3162:
3158:
3154:
3151:
3148:
3145:
3142:
3139:
3136:
3133:
3130:
3127:
3124:
3121:
3115:
3110:
3107:
3102:
3096:
3093:
3090:
3087:
3084:
3081:
3078:
3072:
3067:
3064:
3059:
3053:
3050:
3047:
3044:
3041:
3038:
3035:
3029:
3024:
3021:
3016:
3010:
3007:
3005:
3003:
2999:
2993:
2989:
2985:
2982:
2979:
2974:
2970:
2965:
2959:
2956:
2953:
2949:
2945:
2942:
2939:
2936:
2933:
2930:
2926:
2920:
2916:
2912:
2907:
2903:
2899:
2894:
2890:
2885:
2879:
2876:
2873:
2870:
2867:
2863:
2859:
2855:
2849:
2845:
2841:
2836:
2832:
2827:
2821:
2818:
2815:
2811:
2807:
2803:
2798:
2794:
2790:
2784:
2780:
2776:
2773:
2771:
2768:
2762:
2758:
2754:
2751:
2748:
2743:
2739:
2734:
2730:
2729:
2702:
2697:
2694:
2689:
2666:
2663:
2660:
2657:
2654:
2651:
2623:
2597:
2593:
2572:
2569:
2566:
2563:
2560:
2544:
2541:
2527:
2522:
2519:
2516:
2508:
2504:
2500:
2496:
2493:
2490:
2487:
2483:
2479:
2476:
2473:
2470:
2467:
2464:
2460:
2456:
2453:
2450:
2449:
2446:
2443:
2440:
2437:
2429:
2427:
2424:
2423:
2421:
2416:
2413:
2410:
2388:
2385:
2382:
2375:
2371:
2368:
2365:
2362:
2359:
2356:
2352:
2346:
2341:
2338:
2333:
2325:
2320:
2317:
2314:
2310:
2306:
2303:
2300:
2297:
2294:
2291:
2271:
2268:
2265:
2262:
2258:
2255:
2252:
2249:
2246:
2243:
2240:
2236:
2232:
2229:
2225:
2219:
2216:
2212:
2208:
2205:
2201:
2196:
2192:
2189:
2186:
2167:
2164:
2161:
2158:
2151:
2147:
2142:
2138:
2135:
2132:
2129:
2123:
2119:
2116:
2113:
2099:floor function
2085:
2082:
2079:
2053:
2050:
2047:
2035:
2034:
2023:
2020:
2017:
2014:
1993:
1987:
1984:
1979:
1974:
1970:
1967:
1960:
1956:
1952:
1947:
1943:
1940:
1934:
1930:
1927:
1924:
1910:
1909:
1898:
1895:
1892:
1869:
1866:
1859:
1855:
1851:
1848:
1845:
1837:
1832:
1829:
1826:
1822:
1818:
1815:
1812:
1809:
1806:
1786:
1785:
1784:2,290,792,932
1782:
1779:
1776:
1773:
1770:
1767:
1764:
1761:
1758:
1755:
1752:
1749:
1746:
1743:
1736:
1735:
1732:
1729:
1726:
1723:
1720:
1717:
1714:
1711:
1708:
1705:
1702:
1699:
1696:
1693:
1650:
1647:
1644:
1641:
1621:
1618:
1615:
1612:
1601:
1600:
1588:
1585:
1582:
1562:
1558:
1555:
1552:
1549:
1546:
1543:
1539:
1535:
1532:
1529:
1526:
1523:
1520:
1516:
1513:
1510:
1507:
1504:
1501:
1498:
1495:
1492:
1489:
1462:
1456:
1449:
1439:
1438:
1434:
1425:
1414:
1408:
1393:
1385:
1381:
1375:
1366:
1349:
1342:
1335:
1327:
1320:
1313:
1306:
1296:
1277:
1269:
1260:
1253:
1245:
1235:
1228:
1222:
1207:
1201:
1189:
1183:
1168:
1165:
1150:
1149:
1146:
1145:
1139:
1133:
1126:
1119:
1112:
1105:
1104:
1098:
1092:
1085:
1074:
1068:
1060:
1059:
1052:
1046:
1040:
1033:
1027:
1019:
1018:
1008:
1002:
996:
986:
980:
952:
949:
930:Euler's number
916:! denotes the
885:
878:
808:
807:
804:
798:
792:
788:
787:
784:
778:
772:
768:
767:
764:
758:
752:
748:
747:
744:
738:
732:
728:
727:
724:
718:
712:
708:
707:
704:
698:
692:
688:
687:
684:
678:
672:
668:
667:
664:
658:
652:
648:
647:
644:
638:
632:
628:
627:
624:
618:
612:
608:
607:
604:
598:
592:
588:
587:
584:
578:
572:
568:
567:
564:
558:
552:
548:
547:
544:
538:
532:
528:
527:
524:
518:
512:
508:
507:
504:
498:
492:
488:
487:
484:
478:
472:
468:
467:
464:
460:2,290,792,932
458:
454:6,227,020,800
452:
448:
447:
444:
438:
432:
428:
427:
424:
418:
412:
408:
407:
404:
398:
392:
388:
387:
384:
378:
372:
368:
367:
364:
358:
352:
348:
347:
344:
338:
332:
328:
327:
324:
318:
312:
308:
307:
304:
298:
292:
288:
287:
286: = 0.375
284:
278:
272:
268:
267:
264:
258:
252:
248:
247:
244:
238:
232:
228:
227:
224:
221:
215:
211:
210:
207:
201:
195:
191:
190:
176:
173:
168:
165:
152:
141:
138:
129:Derangements,
127:
116:
113:
104:Permutations,
102:
91:
80:
79:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5390:
5379:
5376:
5374:
5371:
5369:
5366:
5365:
5363:
5352:
5351:"Derangement"
5348:
5344:
5340:
5335:
5328:
5324:
5320:
5319:
5315:
5306:
5302:
5298:
5291:
5290:
5285:
5284:Babai, László
5279:
5275:
5271:
5267:
5263:
5259:
5258:
5253:
5247:
5244:
5232:
5228:
5224:
5220:
5216:
5212:
5208:
5204:
5200:
5193:
5190:
5184:
5181:
5175:
5172:
5166:
5165:
5160:
5157:
5150:
5147:
5142:
5136:
5132:
5128:
5122:
5120:
5118:
5114:
5109:
5105:
5101:
5097:
5093:
5089:
5082:
5079:
5075:
5071:
5065:
5062:
5057:
5053:
5049:
5045:
5044:
5039:
5032:
5030:
5028:
5024:
5021:
5020:0-201-55802-5
5017:
5013:
5007:
5004:
4999:
4997:9781616405717
4993:
4989:
4988:
4983:
4978:
4972:
4969:
4962:
4960:
4958:
4954:
4946:
4944:
4942:
4923:
4920:
4917:
4891:
4888:
4883:
4880:
4876:
4870:
4862:
4859:
4856:
4843:
4839:
4835:
4830:
4823:
4820:
4817:
4814:
4811:
4808:
4796:
4793:
4790:
4766:
4763:
4758:
4755:
4751:
4745:
4737:
4734:
4731:
4718:
4714:
4705:
4701:
4699:
4695:
4690:
4686:
4682:
4678:
4673:
4669:
4664:
4660:
4644:
4641:
4638:
4632:
4629:
4625:
4618:
4608:
4604:
4599:
4595:
4589:
4579:
4575:
4570:
4563:
4553:
4549:
4544:
4533:
4529:
4520:
4515:
4511:
4506:
4502:
4495:
4488:
4481:
4474:
4470:
4466:
4462:
4458:
4454:
4450:
4446:
4442:
4435:
4432:
4431:
4430:
4427:
4425:
4421:
4417:
4413:
4409:
4405:
4401:
4397:
4393:
4389:
4385:
4381:
4377:
4373:
4369:
4365:
4361:
4357:
4353:
4349:
4345:
4342:
4338:
4334:
4330:
4326:
4321:
4319:
4315:
4314:
4308:
4306:
4302:
4298:
4290:
4288:
4272:
4269:
4266:
4262:
4253:
4249:
4233:
4211:
4207:
4186:
4166:
4162:
4155:
4152:
4149:
4145:
4141:
4136:
4132:
4129:
4122:
4118:
4112:
4108:
4100:
4097:
4094:
4091:
4088:
4083:
4079:
4076:
4072:
4065:
4060:
4057:
4054:
4050:
4046:
4041:
4037:
4034:
4028:
4025:
4022:
4014:
4010:
4002:
4000:
3998:
3993:
3991:
3987:
3983:
3979:
3975:
3971:
3955:
3952:
3949:
3946:
3941:
3938:
3934:
3930:
3924:
3921:
3914:
3906:
3903:
3892:
3887:
3884:
3881:
3877:
3865:
3857:
3851:
3848:
3843:
3840:
3826:
3800:
3797:
3794:
3791:
3767:
3764:
3758:
3754:
3741:
3738:
3735:
3731:
3727:
3722:
3718:
3694:
3691:
3684:
3676:
3673:
3662:
3657:
3654:
3651:
3647:
3643:
3640:
3637:
3634:
3631:
3619:
3615:
3613:
3599:
3596:
3585:
3582:
3569:
3564:
3561:
3558:
3554:
3550:
3547:
3544:
3535:
3522:
3516:
3513:
3506:
3498:
3495:
3484:
3479:
3476:
3473:
3469:
3465:
3462:
3459:
3455:
3449:
3445:
3441:
3438:
3435:
3430:
3426:
3421:
3417:
3414:
3411:
3408:
3405:
3402:
3394:
3374:
3368:
3365:
3358:
3355:
3352:
3344:
3341:
3330:
3325:
3322:
3319:
3315:
3308:
3305:
3302:
3300:
3292:
3286:
3283:
3280:
3266:
3263:
3250:
3247:
3244:
3236:
3233:
3225:
3220:
3217:
3214:
3210:
3206:
3204:
3196:
3193:
3182:
3179:
3166:
3163:
3160:
3152:
3149:
3143:
3140:
3137:
3134:
3128:
3125:
3122:
3108:
3105:
3094:
3091:
3085:
3082:
3079:
3065:
3062:
3051:
3048:
3042:
3039:
3036:
3022:
3019:
3008:
3006:
2997:
2991:
2987:
2983:
2980:
2977:
2972:
2968:
2963:
2957:
2954:
2951:
2943:
2940:
2934:
2931:
2928:
2924:
2918:
2914:
2910:
2905:
2901:
2897:
2892:
2888:
2883:
2877:
2874:
2871:
2868:
2865:
2861:
2857:
2853:
2847:
2843:
2839:
2834:
2830:
2825:
2819:
2816:
2813:
2809:
2805:
2801:
2796:
2792:
2788:
2782:
2778:
2774:
2772:
2760:
2756:
2752:
2749:
2746:
2741:
2737:
2719:
2695:
2692:
2664:
2658:
2655:
2652:
2641:
2637:
2621:
2613:
2595:
2591:
2570:
2567:
2564:
2561:
2558:
2550:
2542:
2540:
2520:
2517:
2514:
2502:
2494:
2491:
2485:
2481:
2474:
2471:
2468:
2462:
2458:
2454:
2451:
2444:
2441:
2438:
2435:
2425:
2419:
2414:
2411:
2408:
2399:
2386:
2383:
2380:
2373:
2366:
2363:
2360:
2354:
2350:
2339:
2336:
2323:
2318:
2315:
2312:
2308:
2304:
2301:
2298:
2295:
2292:
2289:
2269:
2266:
2263:
2260:
2256:
2250:
2247:
2244:
2238:
2234:
2230:
2227:
2223:
2217:
2214:
2210:
2206:
2203:
2199:
2194:
2190:
2187:
2184:
2165:
2162:
2159:
2156:
2149:
2145:
2140:
2136:
2133:
2130:
2127:
2121:
2117:
2114:
2111:
2102:
2100:
2083:
2080:
2077:
2068:
2051:
2048:
2045:
2021:
2018:
2015:
2012:
1991:
1985:
1982:
1977:
1972:
1968:
1965:
1958:
1954:
1950:
1945:
1941:
1938:
1932:
1928:
1925:
1922:
1915:
1914:
1913:
1896:
1893:
1890:
1867:
1864:
1857:
1849:
1846:
1835:
1830:
1827:
1824:
1820:
1816:
1813:
1810:
1807:
1804:
1797:
1796:
1795:
1793:
1783:
1780:
1777:
1774:
1771:
1768:
1765:
1762:
1759:
1756:
1753:
1750:
1747:
1744:
1742:
1738:
1737:
1733:
1730:
1727:
1724:
1721:
1718:
1715:
1712:
1709:
1706:
1703:
1700:
1697:
1694:
1692:
1689:
1688:
1685:
1681:
1676:
1671:
1665:
1662:
1648:
1645:
1642:
1639:
1619:
1616:
1613:
1610:
1586:
1583:
1580:
1553:
1550:
1547:
1541:
1537:
1530:
1527:
1524:
1518:
1511:
1505:
1502:
1499:
1493:
1490:
1487:
1480:
1479:
1478:
1476:
1472:
1467:
1465:
1455:
1448:
1444:
1433:
1428:
1424:
1417:
1407:
1403:
1399:
1392:
1388:
1382:
1378:
1374:
1369:
1365:
1361:
1357:
1352:
1348:
1341:
1334:
1330:
1323:
1316:
1309:
1302:
1295:
1291:
1287:
1283:
1276:
1272:
1266:
1265:
1264:
1259:
1252:
1248:
1238:
1232:and consider
1231:
1221:
1217:
1212:
1210:
1200:
1196:
1192:
1182:
1178:
1174:
1166:
1164:
1162:
1158:
1153:
1140:
1134:
1127:
1120:
1113:
1107:
1106:
1099:
1093:
1086:
1075:
1069:
1062:
1061:
1053:
1047:
1041:
1034:
1028:
1021:
1020:
1009:
1003:
997:
987:
981:
975:
974:
971:
970:
969:
967:
964:back? Out of
957:
950:
948:
946:
942:
938:
933:
931:
927:
923:
919:
915:
911:
907:
903:
899:
894:
892:
888:
881:
875:
871:
867:
863:
859:
855:
851:
847:
843:
838:
836:
832:
828:
824:
820:
817:
816:combinatorial
799:
793:
790:
789:
779:
773:
770:
769:
759:
753:
750:
749:
739:
733:
730:
729:
719:
713:
710:
709:
699:
693:
690:
689:
679:
673:
670:
669:
659:
653:
650:
649:
639:
633:
630:
629:
619:
613:
610:
609:
599:
593:
590:
589:
579:
573:
570:
569:
559:
553:
550:
549:
539:
533:
530:
529:
519:
513:
510:
509:
499:
493:
490:
489:
479:
473:
470:
469:
459:
453:
450:
449:
439:
433:
430:
429:
419:
413:
410:
409:
399:
393:
390:
389:
379:
373:
370:
369:
359:
353:
350:
349:
339:
336:=5.04×10
333:
330:
329:
322:=2.65×10
319:
316:=7.20×10
313:
310:
309:
299:
296:=1.20×10
293:
290:
289:
285:
279:
273:
270:
269:
259:
253:
250:
249:
245:
239:
233:
230:
229:
225:
222:
216:
213:
212:
208:
202:
196:
193:
192:
174:
171:
166:
163:
139:
136:
114:
111:
89:
81:
76:
72:
68:
64:
60:
56:
52:
48:
44:
39:
33:
19:
5368:Permutations
5304:
5288:
5264:(1): 11–21,
5261:
5255:
5246:
5234:. Retrieved
5206:
5202:
5192:
5183:
5174:
5162:
5149:
5130:
5091:
5087:
5081:
5073:
5069:
5064:
5047:
5041:
5011:
5006:
4986:
4971:
4950:
4782:
4688:
4684:
4680:
4676:
4671:
4667:
4662:
4658:
4513:
4509:
4504:
4500:
4493:
4486:
4479:
4472:
4468:
4464:
4460:
4456:
4452:
4448:
4444:
4440:
4438:
4433:
4428:
4423:
4419:
4415:
4411:
4407:
4403:
4399:
4395:
4391:
4387:
4383:
4379:
4375:
4371:
4367:
4363:
4359:
4358:) such that
4355:
4351:
4347:
4343:
4336:
4332:
4328:
4324:
4322:
4317:
4311:
4309:
4304:
4300:
4294:
4226:denotes the
4013:Bell numbers
4011:in terms of
4009:derangements
4006:
3994:
3988:. The above
3985:
3981:
3977:
3973:
3623:
3617:
3536:
3392:
2639:
2635:
2611:
2548:
2546:
2400:
2103:
2036:
1911:
1791:
1789:
1740:
1690:
1683:
1682:) for small
1669:
1663:
1602:
1474:
1470:
1468:
1460:
1453:
1446:
1442:
1440:
1431:
1426:
1422:
1412:
1405:
1401:
1397:
1390:
1383:
1376:
1372:
1367:
1363:
1359:
1355:
1350:
1346:
1339:
1332:
1325:
1324:, while for
1318:
1311:
1304:
1300:
1293:
1289:
1285:
1281:
1274:
1267:
1257:
1250:
1243:
1233:
1226:
1219:
1215:
1213:
1205:
1198:
1194:
1187:
1180:
1176:
1172:
1170:
1160:
1156:
1154:
1151:
962:
934:
925:
921:
913:
909:
905:
901:
897:
895:
890:
883:
876:
873:
865:
861:
857:
853:
849:
846:subfactorial
845:
841:
839:
835:fixed points
822:
813:
440:176,214,841
434:479,001,600
302:=4.4×10
276:=2.4×10
246: = 0.5
70:
66:
62:
58:
54:
50:
46:
42:
18:Derangements
5252:Lubiw, Anna
5236:27 December
4953:NP-complete
4692:'s are the
4675:has degree
4418:) = φ(
4341:surjections
4248:Bell number
3970:probability
1781:176,214,841
827:permutation
823:derangement
819:mathematics
420:14,684,570
414:39,916,800
5362:Categories
5323:Baez, John
4963:References
4410:such that
4390:) ≠
2583:we define
1778:14,684,570
1421:s hat and
1358:from 2 to
400:1,334,961
394:3,628,800
282:=9×10
262:=2×10
256:=6×10
242:=1×10
236:=2×10
226: = 0
219:=1×10
209: = 1
205:=1×10
199:=1×10
45:elements.
5231:122311800
5164:MathWorld
4912:Γ
4881:−
4860:−
4849:∞
4840:∫
4821:−
4803:Γ
4756:−
4735:−
4724:∞
4715:∫
4630:−
4596:⋯
4539:∞
4530:∫
4098:−
4077:−
4051:∑
3953:…
3947:≈
3939:−
3904:−
3878:∑
3872:∞
3869:→
3833:∞
3830:→
3798:−
3747:∞
3732:∑
3674:−
3648:∑
3555:∑
3496:−
3470:∑
3442:∪
3439:⋯
3436:∪
3418:−
3342:−
3316:∑
3284:−
3234:−
3211:∑
3150:−
3141:⋯
3138:−
3126:−
3083:−
3052:−
3040:−
2984:∩
2981:⋯
2978:∩
2941:−
2932:⋯
2911:∩
2898:∩
2862:∑
2840:∩
2810:∑
2806:−
2779:∑
2753:∪
2750:⋯
2747:∪
2656:−
2568:≤
2562:≤
2492:−
2472:−
2455:⋅
2384:≥
2364:−
2351:⋅
2309:∑
2305:−
2264:≥
2254:⌋
2242:⌊
2239:−
2215:−
2160:≥
2016:≥
1894:≥
1847:−
1821:∑
1775:1,334,961
1584:≥
1551:−
1528:−
1512:⋅
1503:−
1430:received
1411:received
1389:receives
1242:s owner:
1225:receives
918:factorial
32:psychosis
5325:(2003).
5129:(2012).
4984:(2011),
4666:, where
4508:letters
4492:letters
4478:letters
4346:→
4316:asks if
3990:semi-log
3950:0.367879
2511:if
2432:if
2235:⌋
2195:⌊
2146:⌋
2122:⌊
2084:⌋
2078:⌊
1992:⌋
1959:⌊
1310:besides
1256:'s hat,
1204:through
1197:people (
1186:through
380:133,496
374:362,880
5301:1373683
5278:0605600
5211:Bibcode
5108:2315337
5052:Bibcode
4939:is the
4499:, ...,
4354:,
2720:yields
2097:is the
2065:is the
1772:133,496
1678:in the
1675:A000166
951:Example
939:in his
868:(after
852:or the
360:14,833
354:40,320
5299:
5276:
5229:
5137:
5106:
5018:
4994:
4979:; see
4951:It is
4904:where
4370:is in
4362:is in
4179:where
3312:
2378:
2154:
2037:where
1769:14,833
1603:where
1331:it is
912:where
340:1,854
334:5,040
5330:(PDF)
5293:(PDF)
5227:S2CID
5104:JSTOR
4698:up to
4459:with
4252:big O
3624:From
1766:1,854
1419:'
1240:'
1007:DBC,
1001:CDB,
889:, or
825:is a
5238:2011
5135:ISBN
5016:ISBN
4992:ISBN
4426:)).
4402:and
4366:and
4335:and
4327:and
4295:The
4246:-th
3710:and
2875:<
2869:<
2817:<
2518:>
2282:and
2069:and
2005:for
1912:and
1883:for
1680:OEIS
1632:and
1573:for
1142:DCBA
1136:DCAB
1125:AC,
1109:DABC
1101:CDBA
1095:CDAB
1091:DA,
1071:CADB
1049:BDAC
1043:BCDA
1030:BADC
985:DC,
977:ABCD
924:and
896:For
821:, a
320:265
314:720
294:120
5281:.
5266:doi
5219:doi
5096:doi
4378:in
4339:of
3862:lim
3823:lim
1763:265
1734:13
1345:to
1132:A,
1118:B,
1063:CAB
1058:A,
1035:BCA
1017:B,
928:is
920:of
893:¡.
864:th
860:or
856:th
848:of
831:set
814:In
791:30
771:29
751:28
731:27
711:26
691:25
671:24
651:23
631:22
611:21
591:20
571:19
551:18
531:17
511:16
491:15
471:14
451:13
431:12
411:11
391:10
300:44
274:24
49:! (
5364::
5349:.
5303:,
5297:MR
5274:MR
5272:,
5262:10
5260:,
5225:.
5217:.
5207:79
5205:.
5201:.
5161:.
5116:^
5102:.
5092:73
5090:.
5046:.
5040:.
5026:^
4943:.
4485:,
4467:=
4451:=
4382:,
4287:.
3999:.
3984:!/
2521:0.
2387:1.
2101:.
1760:44
1731:12
1728:11
1725:10
1661:.
1362:,
1144:.
1138:,
1130:BC
1114:DA
1111:,
1103:,
1097:,
1084:,
1073:,
1067:,
1054:BD
1051:,
1045:,
1039:,
1032:,
1026:,
1024:CD
1022:BA
995:,
991:CB
983:AB
979:,
932:.
910:e,
908:!/
882:,
874:n,
862:n-
854:n-
837:.
371:9
351:8
331:7
311:6
291:5
280:9
271:4
260:2
254:6
251:3
240:1
234:2
231:2
223:0
217:1
214:1
203:1
197:1
194:0
5341:.
5332:.
5308:.
5268::
5240:.
5221::
5213::
5167:.
5143:.
5110:.
5098::
5058:.
5054::
5048:6
5001:.
4927:)
4924:x
4921:,
4918:s
4915:(
4892:x
4889:d
4884:x
4877:e
4871:n
4867:)
4863:1
4857:x
4854:(
4844:0
4836:=
4831:e
4827:)
4824:1
4818:,
4815:1
4812:+
4809:n
4806:(
4797:=
4794:n
4791:!
4767:t
4764:d
4759:t
4752:e
4746:z
4742:)
4738:1
4732:t
4729:(
4719:0
4696:(
4689:n
4685:P
4681:r
4677:n
4672:n
4668:P
4663:n
4659:P
4645:,
4642:x
4639:d
4633:x
4626:e
4622:)
4619:x
4616:(
4609:r
4605:n
4600:P
4593:)
4590:x
4587:(
4580:2
4576:n
4571:P
4567:)
4564:x
4561:(
4554:1
4550:n
4545:P
4534:0
4514:r
4510:X
4505:r
4501:n
4497:2
4494:X
4490:2
4487:n
4483:1
4480:X
4476:1
4473:n
4469:m
4465:n
4461:B
4457:A
4453:m
4449:n
4445:m
4441:n
4424:a
4422:(
4420:g
4416:a
4414:(
4412:f
4408:S
4404:g
4400:f
4396:a
4394:(
4392:g
4388:a
4386:(
4384:f
4380:A
4376:a
4372:V
4368:g
4364:U
4360:f
4356:g
4352:f
4348:S
4344:A
4337:V
4333:U
4329:S
4325:A
4318:n
4305:k
4301:n
4273:1
4270:+
4267:m
4263:B
4234:k
4212:k
4208:B
4187:m
4167:,
4163:)
4156:1
4153:+
4150:m
4146:n
4142:1
4137:(
4133:O
4130:+
4123:k
4119:n
4113:k
4109:B
4101:1
4095:k
4092:+
4089:n
4084:)
4080:1
4073:(
4066:m
4061:1
4058:=
4055:k
4047:+
4042:e
4038:!
4035:n
4029:=
4026:n
4023:!
3986:e
3982:n
3978:n
3974:n
3956:.
3942:1
3935:e
3931:=
3925:!
3922:i
3915:i
3911:)
3907:1
3901:(
3893:n
3888:0
3885:=
3882:i
3866:n
3858:=
3852:!
3849:n
3844:n
3841:!
3827:n
3801:1
3795:=
3792:x
3768:!
3765:i
3759:i
3755:x
3742:0
3739:=
3736:i
3728:=
3723:x
3719:e
3695:!
3692:i
3685:i
3681:)
3677:1
3671:(
3663:n
3658:0
3655:=
3652:i
3644:!
3641:n
3638:=
3635:n
3632:!
3618:n
3600:i
3597:!
3591:)
3586:i
3583:n
3578:(
3570:n
3565:0
3562:=
3559:i
3551:=
3548:!
3545:n
3523:.
3517:!
3514:i
3507:i
3503:)
3499:1
3493:(
3485:n
3480:0
3477:=
3474:i
3466:!
3463:n
3460:=
3456:|
3450:n
3446:S
3431:1
3427:S
3422:|
3415:!
3412:n
3409:=
3406:n
3403:!
3393:n
3375:,
3369:!
3366:i
3359:1
3356:+
3353:i
3349:)
3345:1
3339:(
3331:n
3326:1
3323:=
3320:i
3309:!
3306:n
3303:=
3293:!
3290:)
3287:i
3281:n
3278:(
3272:)
3267:i
3264:n
3259:(
3251:1
3248:+
3245:i
3241:)
3237:1
3231:(
3226:n
3221:1
3218:=
3215:i
3207:=
3197:!
3194:0
3188:)
3183:n
3180:n
3175:(
3167:1
3164:+
3161:n
3157:)
3153:1
3147:(
3144:+
3135:!
3132:)
3129:3
3123:n
3120:(
3114:)
3109:3
3106:n
3101:(
3095:+
3092:!
3089:)
3086:2
3080:n
3077:(
3071:)
3066:2
3063:n
3058:(
3049:!
3046:)
3043:1
3037:n
3034:(
3028:)
3023:1
3020:n
3015:(
3009:=
2998:|
2992:n
2988:S
2973:1
2969:S
2964:|
2958:1
2955:+
2952:n
2948:)
2944:1
2938:(
2935:+
2929:+
2925:|
2919:k
2915:S
2906:j
2902:S
2893:i
2889:S
2884:|
2878:k
2872:j
2866:i
2858:+
2854:|
2848:j
2844:S
2835:i
2831:S
2826:|
2820:j
2814:i
2802:|
2797:i
2793:S
2789:|
2783:i
2775:=
2767:|
2761:n
2757:S
2742:1
2738:S
2733:|
2701:)
2696:i
2693:n
2688:(
2665:!
2662:)
2659:i
2653:n
2650:(
2640:i
2636:i
2622:k
2612:n
2596:k
2592:S
2571:n
2565:k
2559:1
2549:n
2515:n
2503:n
2499:)
2495:1
2489:(
2486:+
2482:)
2478:)
2475:1
2469:n
2466:(
2463:!
2459:(
2452:n
2445:,
2442:0
2439:=
2436:n
2426:1
2420:{
2415:=
2412:n
2409:!
2381:n
2374:,
2370:)
2367:i
2361:n
2358:(
2355:!
2345:)
2340:i
2337:n
2332:(
2324:n
2319:1
2316:=
2313:i
2302:!
2299:n
2296:=
2293:n
2290:!
2270:,
2267:2
2261:n
2257:,
2251:!
2248:n
2245:e
2231:!
2228:n
2224:)
2218:1
2211:e
2207:+
2204:e
2200:(
2191:=
2188:n
2185:!
2166:,
2163:1
2157:n
2150:,
2141:e
2137:1
2134:+
2131:!
2128:n
2118:=
2115:n
2112:!
2081:x
2052:]
2049:x
2046:[
2022:,
2019:1
2013:n
1986:2
1983:1
1978:+
1973:e
1969:!
1966:n
1955:=
1951:]
1946:e
1942:!
1939:n
1933:[
1929:=
1926:n
1923:!
1897:0
1891:n
1868:!
1865:i
1858:i
1854:)
1850:1
1844:(
1836:n
1831:0
1828:=
1825:i
1817:!
1814:n
1811:=
1808:n
1805:!
1792:n
1757:9
1754:2
1751:1
1748:0
1745:1
1741:n
1739:!
1722:9
1719:8
1716:7
1713:6
1710:5
1707:4
1704:3
1701:2
1698:1
1695:0
1691:n
1684:n
1670:n
1649:0
1646:=
1643:1
1640:!
1620:1
1617:=
1614:0
1611:!
1599:,
1587:2
1581:n
1561:)
1557:)
1554:2
1548:n
1545:(
1542:!
1538:+
1534:)
1531:1
1525:n
1522:(
1519:!
1515:(
1509:)
1506:1
1500:n
1497:(
1494:=
1491:n
1488:!
1475:n
1471:n
1463:n
1461:P
1457:2
1454:P
1450:1
1447:P
1443:n
1435:1
1432:h
1427:i
1423:P
1415:i
1413:h
1409:1
1406:P
1402:n
1398:n
1394:1
1391:h
1386:i
1384:P
1380:.
1377:j
1373:h
1368:j
1364:P
1360:n
1356:j
1351:i
1347:h
1343:1
1340:h
1336:1
1333:h
1328:i
1326:P
1321:j
1319:h
1314:i
1312:P
1307:j
1305:P
1301:n
1297:1
1294:P
1290:n
1286:n
1282:n
1278:1
1275:h
1270:i
1268:P
1261:1
1258:h
1254:1
1251:P
1246:i
1244:P
1236:i
1234:h
1229:i
1227:h
1223:1
1220:P
1216:n
1208:n
1206:P
1202:1
1199:P
1195:n
1190:n
1188:h
1184:1
1181:h
1177:n
1161:n
1157:n
1128:D
1123:B
1121:D
1116:C
1089:B
1087:C
1082:D
1080:A
1078:B
1076:C
1065:D
1056:C
1037:D
1015:C
1013:D
1011:A
1005:A
999:A
993:D
989:A
926:e
922:n
914:n
906:n
902:n
898:n
891:n
886:n
884:d
879:n
877:D
850:n
842:n
175:!
172:n
167:n
164:!
140:n
137:!
115:!
112:n
90:n
71:n
67:n
63:n
61:(
59:n
55:n
51:n
47:n
43:n
34:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
