5294:
3505:
1994:
5304:
314:
586:
2854:
2225:
3076:
2631:
1153:
2433:
1354:
3237:
1701:
1553:
950:
58:
325:
2647:
2009:
2865:
3781:
2448:
734:
979:
3664:
3786:
are independent gamma variables. The marginal distributions and conditional distributions are of the same type (5); that is, they are multivariate FellerâPareto distributions. The oneâdimensional marginal distributions are of
3500:{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{1/\gamma _{i}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\sigma _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\qquad (4)}
2236:
1169:
1989:{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})=a(a+1)\cdots (a+k-1)\left(\prod _{i=1}^{k}\theta _{i}\right)^{-1}\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-(a+k)},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,a>0,\qquad (1)}
1365:
3202:
1669:
309:{\displaystyle F(x_{1},x_{2})=1-\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a}+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,2;a>0,}
745:
581:{\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(a+1)a(\theta _{1}\theta _{2})^{a+1}(\theta _{2}x_{1}+\theta _{1}x_{2}-\theta _{1}\theta _{2})^{-(a+2)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2;a>0.}
2849:{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,\quad i=1,\dots ,k.}
2220:{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\quad (2)}
3071:{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})=\left(1+\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\quad i=1,\dots ,k,\qquad (3)}
3952:
2626:{\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})={\frac {\theta _{i}\theta _{j}}{(a-1)^{2}(a-2)}},\qquad \operatorname {cor} (X_{i},X_{j})={\frac {1}{a}},\qquad i\neq j.}
3675:
601:
5328:
1148:{\displaystyle \operatorname {cov} (X_{1},X_{2})={\frac {\theta _{1}\theta _{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ and }}\operatorname {cor} (X_{1},X_{2})={\frac {1}{a}}.}
4081:
2428:{\displaystyle E={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},{\text{ for }}a>1,{\text{ and }}Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{ for }}a>2.}
3550:
1349:{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i},i=1,2.}
4564:
4472:
1548:{\displaystyle {\overline {F}}(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},i=1,2,}
5259:
5125:
4337:
4096:
3945:
3102:
5020:
4784:
4458:
4779:
4723:
4383:
4021:
4529:
1575:
5065:
4799:
4652:
4327:
4071:
5307:
4524:
5297:
4969:
4945:
3938:
5166:
4794:
5043:
5004:
4976:
4950:
4868:
4217:
3965:
3917:
3842:
3817:
945:{\displaystyle E={\frac {a\theta _{i}}{a-1}},a>1;\quad Var(X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},a>2;\quad i=1,2,}
5154:
5120:
4986:
4981:
4826:
4634:
4332:
4086:
4904:
4817:
4789:
4698:
4647:
4621:
4519:
4302:
4267:
4918:
4835:
4672:
4419:
4297:
4272:
4136:
4131:
4126:
4596:
4106:
4101:
5234:
5100:
4808:
4657:
4589:
4574:
4467:
4441:
4373:
4212:
4043:
4028:
4751:
5130:
5070:
5060:
4677:
4378:
4237:
4479:
4222:
4151:
5115:
5110:
5055:
4991:
4756:
4534:
4431:
4016:
4935:
4743:
5249:
5025:
4844:
4626:
4579:
4448:
4424:
4404:
4247:
4121:
4001:
5254:
4197:
5038:
4999:
4873:
4710:
4554:
4499:
4397:
4361:
4232:
3211:> 2, the variances, covariances, and correlations are the same as for multivariate Pareto of the first kind.
4940:
4728:
4494:
4453:
4368:
4322:
4262:
4227:
4116:
4011:
3961:
4053:
1678:> 2, the variances, covariance, and correlation are the same as for multivariate Pareto of the first kind.
1562:
by Arnold. (This definition is not equivalent to Mardia's bivariate Pareto distribution of the second kind.)
5239:
5181:
4852:
4639:
4549:
4504:
4489:
4409:
4307:
4257:
4252:
4033:
1999:
The marginal distributions have the same form as (1), and the one-dimensional marginal distributions have a
5105:
5093:
5082:
4964:
4860:
4667:
4111:
4091:
3996:
5229:
5186:
5030:
4705:
4559:
4539:
4436:
4006:
5279:
5274:
5269:
5264:
5201:
5171:
5050:
4693:
4584:
4484:
4187:
4146:
4141:
4038:
52:
Mardia (1962) defined a bivariate distribution with cumulative distribution function (CDF) given by
5213:
4738:
4718:
4688:
4662:
4616:
4544:
4356:
4292:
3788:
3776:{\displaystyle W_{i}\sim \Gamma (\beta _{i},1),\quad i=1,\dots ,k,\qquad Z\sim \Gamma (\alpha ,1),}
3082:
2000:
592:
36:
32:
25:
3528:) are of the same type as (4), and the one-dimensional marginal distributions are Pareto Type IV.
5244:
4733:
4514:
4509:
4414:
4351:
4346:
4202:
4192:
4076:
729:{\displaystyle f(x_{i})=a\theta _{i}^{a}x_{i}^{-(a+1)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2.}
5142:
4569:
4312:
4242:
4207:
4156:
3913:
3838:
3813:
4317:
3991:
3877:
1558:
which has Pareto Type II univariate marginal distributions. This distribution is called a
4390:
5322:
5013:
4761:
4048:
3659:{\displaystyle X_{i}=\mu _{i}+(W_{i}/Z)^{\gamma _{i}},\qquad i=1,\dots ,k,\qquad (5)}
2859:
If the location and scale parameter are allowed to differ, the complementary CDF is
1359:
If the location and scale parameter are allowed to differ, the complementary CDF is
3930:
2641:
Arnold suggests representing the multivariate Pareto Type I complementary CDF by
1163:
Arnold suggests representing the bivariate Pareto Type I complementary CDF by
39:. Multivariate Pareto distributions have been defined for many of these types.
31:
There are several different types of univariate Pareto distributions including
3882:
3865:
17:
3197:{\displaystyle E=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,\dots ,k,}
1664:{\displaystyle E=\mu _{i}+{\frac {\sigma _{i}}{a-1}},\qquad i=1,2,}
3085:
univariate marginal distributions. This distribution is called a
3934:
3081:
which has marginal distributions of the same type (3) and
2442:> 2 the covariances and correlations are positive with
739:
The means and variances of the marginal distributions are
3808:
S. Kotz; N. Balakrishnan; N. L. Johnson (2000). "52".
3678:
3553:
3240:
3105:
2868:
2650:
2451:
2239:
2012:
1704:
1578:
1368:
1172:
982:
748:
604:
328:
61:
1695:
has the joint probability density function given by
5222:
5180:
5081:
4917:
4895:
4886:
4770:
4605:
4281:
4178:
4169:
4062:
3982:
3973:
3229:
multivariate Pareto distribution of the Fourth Kind
3215:
Multivariate Pareto distribution of the fourth kind
2637:
Multivariate Pareto distribution of the second kind
3775:
3658:
3499:
3196:
3070:
2848:
2625:
2427:
2219:
1988:
1693:Multivariate Pareto distribution of the First Kind
1687:Multivariate Pareto distribution of the first kind
1663:
1547:
1348:
1147:
944:
728:
580:
308:
1159:Bivariate Pareto distribution of the second kind
3912:. International Co-operative Publishing House.
3837:. International Co-operative Publishing House.
48:Bivariate Pareto distribution of the first kind
2230:The marginal means and variances are given by
3946:
8:
24:is a multivariate extension of a univariate
3544:-dimensional FellerâPareto distribution if
3087:multivariate Pareto distribution of type II
1560:multivariate Pareto distribution of type II
4892:
4175:
3979:
3953:
3939:
3931:
3859:
3857:
3855:
3903:
3901:
3899:
3897:
3895:
3893:
3881:
3702:
3683:
3677:
3610:
3605:
3593:
3587:
3571:
3558:
3552:
3439:
3426:
3413:
3396:
3383:
3374:
3370:
3358:
3347:
3334:
3327:
3316:
3305:
3277:
3258:
3241:
3239:
3147:
3141:
3132:
3116:
3104:
3024:
3011:
2994:
2981:
2970:
2957:
2950:
2944:
2933:
2905:
2886:
2869:
2867:
2806:
2793:
2776:
2763:
2752:
2739:
2732:
2726:
2715:
2687:
2668:
2651:
2649:
2597:
2585:
2572:
2531:
2507:
2497:
2490:
2478:
2465:
2450:
2411:
2384:
2360:
2355:
2345:
2333:
2312:
2295:
2272:
2262:
2250:
2238:
2159:
2146:
2129:
2104:
2094:
2088:
2082:
2071:
2049:
2030:
2013:
2011:
1949:
1936:
1907:
1882:
1872:
1866:
1860:
1849:
1830:
1819:
1809:
1798:
1734:
1715:
1703:
1620:
1614:
1605:
1589:
1577:
1518:
1505:
1488:
1475:
1464:
1451:
1444:
1438:
1427:
1399:
1386:
1369:
1367:
1322:
1309:
1292:
1279:
1268:
1255:
1248:
1242:
1231:
1203:
1190:
1173:
1171:
1132:
1120:
1107:
1089:
1062:
1038:
1028:
1021:
1009:
996:
981:
884:
860:
855:
845:
833:
781:
771:
759:
747:
696:
683:
654:
649:
639:
634:
615:
603:
536:
523:
494:
484:
474:
461:
451:
438:
428:
409:
399:
389:
352:
339:
327:
261:
248:
231:
212:
202:
196:
190:
179:
157:
145:
135:
129:
118:
107:
85:
72:
60:
3800:
3532:Multivariate FellerâPareto distribution
5329:Multivariate continuous distributions
3810:Continuous Multivariate Distributions
3517:-dimensional marginal distributions (
7:
5303:
3866:"Multivariate Pareto distributions"
3752:
3692:
3231:if its joint survival function is
14:
3870:Annals of Mathematical Statistics
3812:. Vol. 1 (second ed.).
1682:Multivariate Pareto distributions
5302:
5293:
5292:
22:multivariate Pareto distribution
3745:
3720:
3646:
3621:
3487:
3408:
3169:
3096:> 1, the marginal means are
3058:
3033:
3006:
2821:
2788:
2610:
2558:
2207:
2141:
1976:
1931:
1642:
1569:> 1, the marginal means are
1500:
1304:
973:are positively correlated with
923:
816:
678:
591:The marginal distributions are
518:
243:
3767:
3755:
3714:
3695:
3653:
3647:
3602:
3580:
3494:
3488:
3283:
3251:
3122:
3109:
3065:
3059:
2911:
2879:
2693:
2661:
2591:
2565:
2549:
2537:
2528:
2515:
2484:
2458:
2402:
2390:
2381:
2368:
2339:
2326:
2256:
2243:
2214:
2208:
2055:
2023:
1983:
1977:
1923:
1911:
1785:
1767:
1761:
1749:
1740:
1708:
1595:
1582:
1405:
1379:
1209:
1183:
1126:
1100:
1080:
1068:
1059:
1046:
1015:
989:
902:
890:
881:
868:
839:
826:
765:
752:
670:
658:
621:
608:
510:
498:
491:
421:
406:
382:
376:
364:
358:
332:
91:
65:
43:Bivariate Pareto distributions
1:
3246:
2874:
2656:
2018:
1374:
1178:
2003:. The complementary CDF is
319:and joint density function
5345:
5126:Wrapped asymmetric Laplace
4097:Extended negative binomial
2001:Pareto Type I distribution
5288:
4785:Generalized extreme value
4565:Relativistic BreitâWigner
3962:Probability distributions
3908:Barry C. Arnold (1983).
3833:Barry C. Arnold (1983).
4780:Generalized chi-squared
4724:Normal-inverse Gaussian
3883:10.1214/aoms/1177704468
595:with density functions
5092:Univariate (circular)
4653:Generalized hyperbolic
4082:ConwayâMaxwellâPoisson
4072:Beta negative binomial
3864:Mardia, K. V. (1962).
3777:
3660:
3501:
3321:
3198:
3072:
2949:
2850:
2731:
2627:
2429:
2221:
2087:
1990:
1865:
1814:
1665:
1549:
1443:
1350:
1247:
1149:
946:
730:
582:
310:
195:
123:
5137:Bivariate (spherical)
4635:Kaniadakis Îș-Gaussian
3778:
3661:
3502:
3301:
3199:
3073:
2929:
2851:
2711:
2628:
2430:
2222:
2067:
1991:
1845:
1794:
1666:
1550:
1423:
1351:
1227:
1150:
947:
731:
583:
311:
175:
103:
5202:Dirac delta function
5149:Bivariate (toroidal)
5106:Univariate von Mises
4977:Multivariate Laplace
4869:Shifted log-logistic
4218:Continuous Bernoulli
3910:Pareto Distributions
3835:Pareto Distributions
3676:
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