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713:
459:
551:
1238:
416:
143:
1345:
273:
3293:
557:
is usually undefined, there are typically two conventions used, one where it is taken to be equal to one, and another where it is taken to be equal to zero.) A natural number
963:
1407:
2159:
2138:
2040:
2000:
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1797:
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1716:
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1479:
818:
1117:
916:
300:
1063:
1033:
346:
3145:, from Literature, Neurology, and Neuroscience: Neurological and Psychiatric Disorders, Stanley Finger, Francois Boller, Anne Stiles, eds. Elsevier, 2013. p.136.
1676:
1644:
1620:
1559:
1536:
1365:
1157:
1137:
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858:
838:
777:
575:
320:
195:
175:
71:
5220:
3286:
145:. The term "Munchausen number" was coined by Dutch mathematician and software engineer Daan van Berkel in 2009, as this evokes the story of
4093:
3279:
4088:
4103:
4083:
3224:
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4198:
3245:
5215:
4548:
3867:
3660:
1514:, making it a preperiodic point. This means also that there are a finite number of perfect digit-to-digit invariant and
1162:
4583:
4553:
4228:
4218:
4724:
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3728:
3718:
2186:
351:
4558:
76:
73:
that is equal to the sum of its digits each raised to the power of itself. An example in base 10 is 3435, because
4801:
4346:
3967:
3753:
3748:
3743:
3733:
3710:
3093:
1275:
200:
3786:
4043:
2379:
The examples below implement the perfect digit-to-digit invariant function described in the definition above
4912:
4877:
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4573:
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783:
perfect digit-to-digit invariant in all bases, and all other perfect digit-to-digit invariants are
554:
5190:
2189:
number is a
Munchausen Number / Perfect Digit to Digit Invariant or not, following the convention
2144:
2123:
2025:
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4301:
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3607:
3602:
3559:
3498:
149:
raising himself up by his own ponytail because each digit is raised to the power of itself.
146:
1095:
894:
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5100:
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3083:
3078:
2380:
1042:
1012:
325:
619:. For example, the number 3435 is a perfect digit-to-digit invariant in base 10 because
5105:
4973:
4958:
4822:
4786:
4761:
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3445:
3378:
3358:
3333:
3068:
1481:, so the number is guaranteed to reach a periodic point or a fixed point less than
1009:. A perfect digit-to-digit invariant is a sociable digit-to-digit invariant with
17:
5023:
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4703:
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4058:
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4008:
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3522:
3063:
3202:
4867:
4872:
4531:
1119:, regardless of the base. This is because all natural numbers of base
1039:
digit-to-digit invariant is a sociable digit-to-digit invariant with
3155:
3127:
1833:
12066 → 536031 → 265204 → 265623 → 551155 → 51310 → 12125 → 12066
577:
is defined to be a perfect digit-to-digit invariant in base b if
5158:
5122:
5086:
5050:
5010:
4635:
4524:
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3586:
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3472:
3410:
3314:
3275:
1843:
405 → 6466 → 421700 → 3110776 → 6354114 → 142222 → 421 → 405
708:{\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435}
3121:
van Berkel, Daan (2009). "On a curious property of 3435".
2381:
to search for perfect digit-to-digit invariants and cycles
454:{\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }
3217:
The
Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers
1448:. There are a finite number of natural numbers less than
546:{\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d_{i}}^{d_{i}}}
3143:"Historical and Literary Roots of MĂĽnchhausen Syndromes"
2195:
2147:
2126:
2072:
53 → 22332 → 150 → 22250 → 22305 → 22344 → 2311 → 53
2028:
1988:
1967:
1931:
1905:
1785:
1737:
1698:
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1353:
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563:
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183:
163:
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3709:
3700:
1646:, and undefined if it never reaches a fixed point.
2214:
2153:
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1506:
1473:
1440:
1401:
1359:
1339:
1264:
1233:{\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (k){(b-1)}^{b-1}}
1232:
1151:
1131:
1111:
1080:
1057:
1027:
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957:
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812:
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707:
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410:
340:
314:
294:
267:
189:
169:
137:
65:
1650:Perfect digit-to-digit invariants and cycles of F
177:be a natural number which can be written in base
860:are trivial perfect digit-to-digit invariants.
1899:Nontrivial perfect digit-to-digit invariants (
1821:23445 → 24552 → 50054 → 50044 → 24503 → 23445
1692:Nontrivial perfect digit-to-digit invariants (
3287:
3172:Things to Make and Do in the Fourth Dimension
411:{\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}
8:
138:{\displaystyle 3435=3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}}
2101:30, 31, 156262, 1647063, 1656547, 34664084
1340:{\displaystyle b^{k-1}>(k){(b-1)}^{b-1}}
268:{\displaystyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{1}d_{0}}
5155:
5119:
5083:
5047:
5007:
4681:
4646:
4632:
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4264:
4247:
4162:
4117:
3994:
3952:
3840:
3706:
3697:
3684:
3631:
3588:Possessing a specific set of other numbers
3583:
3517:
3469:
3407:
3311:
3294:
3280:
3272:
3126:
3116:
3114:
2200:
2194:
2146:
2125:
2027:
1987:
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1904:
1784:
1736:
1697:
1663:
1631:
1607:
1577:
1572:
1566:
1546:
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1486:
1459:
1453:
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1414:
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1372:
1352:
1325:
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1277:
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1164:
1144:
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1103:
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1073:
1044:
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630:
624:
588:
582:
562:
535:
530:
523:
518:
505:
494:
472:
466:
447:
446:
439:
438:
429:
423:
402:
392:
376:
365:
353:
327:
307:
286:
280:
259:
249:
224:
208:
202:
182:
162:
129:
116:
103:
90:
78:
58:
1892:
1685:
3110:
2148:
2127:
2029:
1989:
1968:
1786:
1738:
7:
2069:5 → 22245 → 23413 → 1243 → 1200 → 5
1658:All numbers are represented in base
887:digit-to-digit invariant if it is a
787:. For the second convention where
25:
3141:Olry, Regis and Duane E. Haines.
2371:"Not Munchausen Number"
5221:Base-dependent integer sequences
5189:
4797:Perfect digit-to-digit invariant
3219:. London: Penguin. p. 185.
36:perfect digit-to-digit invariant
3157:On a curious property of 3435.
1602:to reach a fixed point is the
1589:
1583:
1396:
1390:
1321:
1309:
1304:
1298:
1214:
1202:
1197:
1191:
958:{\displaystyle F_{b}^{k}(n)=n}
946:
940:
740:
734:
600:
594:
484:
478:
443:
1:
3636:Expressible via specific sums
2353:"Munchausen Number"
1402:{\displaystyle n>F_{b}(n)}
2154:{\displaystyle \varnothing }
2133:{\displaystyle \varnothing }
2035:{\displaystyle \varnothing }
1995:{\displaystyle \varnothing }
1974:{\displaystyle \varnothing }
1792:{\displaystyle \varnothing }
1744:{\displaystyle \varnothing }
1595:{\displaystyle F_{b}^{i}(n)}
1441:{\displaystyle n<b^{b+1}}
4725:Multiplicative digital root
1802:2 → 4 → 2011 → 12 → 10 → 2
5237:
3175:. Penguin UK. p. 28.
752:{\displaystyle F_{b}(1)=1}
612:{\displaystyle F_{b}(n)=n}
5185:
5168:
5154:
5132:
5118:
5096:
5082:
5060:
5046:
5019:
5006:
4802:Perfect digital invariant
4645:
4631:
4539:
4520:
4377:Superior highly composite
4263:
4246:
4174:
4161:
4129:
4116:
4004:
3993:
3696:
3683:
3641:
3630:
3593:
3582:
3530:
3516:
3479:
3468:
3421:
3406:
3324:
3310:
3094:Perfect digital invariant
2387:for the two conventions.
2245:"Enter number:"
2181:The following program in
1541:The number of iterations
1265:{\displaystyle k\geq b+1}
418:. We define the function
4415:Euler's totient function
4199:Euler–Jacobi pseudoprime
3474:Other polynomial numbers
2712:
2394:
2224:
4229:Somer–Lucas pseudoprime
4219:Lucas–Carmichael number
4054:Lazy caterer's sequence
2215:{\displaystyle 0^{0}=1}
1944:{\displaystyle n\neq 1}
1918:{\displaystyle n\neq 0}
1805:104 → 2013 → 113 → 104
1711:{\displaystyle n\neq 1}
1507:{\displaystyle b^{b+1}}
1474:{\displaystyle b^{b+1}}
965:for a positive integer
813:{\displaystyle 0^{0}=0}
4104:Wedderburn–Etherington
3504:Lucky numbers of Euler
2216:
2185:determines whether an
2155:
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