706:
77:
1565:
701:{\displaystyle {\begin{aligned}E(p;\alpha _{r};\rho _{s};z)\equiv {}&{\frac {\Gamma (\alpha _{q+1})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (\rho _{k}-\alpha _{k})}}\prod _{\mu =1}^{q}\int _{0}^{\infty }\lambda _{\mu }^{\rho _{\mu }-\alpha _{\mu }-a}(\lambda _{\mu }+1)^{-\rho _{\mu }}\,d\lambda _{\mu }\\&\times \prod _{\nu =2}^{p-q-1}\int _{0}^{\infty }\lambda _{q+\nu }^{\alpha _{q+\nu }-1}\exp(-\lambda _{q+\nu })\,d\lambda _{q+\nu }\\&\times \int _{0}^{\infty }\lambda _{p}^{\alpha _{p}-1}\exp(-\lambda _{p})\left\,d\lambda _{p}\end{aligned}}}
1052:
1015:
1560:{\displaystyle E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)=\sum _{h=1}^{p}{\frac {\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}-a_{h})^{*}}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j}-a_{h})}}\Gamma (a_{h})\;x^{a_{h}}\;_{q+1}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},1+a_{h}-b_{1},\dots ,1+a_{h}-b_{q}\\1+a_{h}-a_{1},\dots ,*,\dots ,1+a_{h}-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-q}\;x\right).}
1796:
756:
1614:
1010:{\displaystyle E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)={\frac {\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j})}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j})}}\;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-x^{-1}\right)}
1791:{\displaystyle E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)=G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)}
82:
1580:
as follows: In the product this amounts to replacing Γ(0) with 1, and in the argument of the hypergeometric function this amounts to shortening the vector length from
1881:
1902:(1937–38). "Induction proofs of the relations between certain asymptotic expansions and corresponding generalised hypergeometric series".
716:
40:
1999:
1820:
1848:
68:
known until then. However, this function had no great impact on the literature as it can always be expressed in terms of the
64:+ 1. The underlying objective was to define a very general function that includes as particular cases the majority of the
1856:
1860:
72:, while the opposite is not true, so that the G-function is of a still more general nature. It is defined as:
1899:
1852:
32:
1868:
715:
There are several ways to define the MacRobert E-function; the following definition is in terms of the
1874:
1944:
1972:
1887:
1877:
1830:
1816:
1605:
69:
1924:
1952:
1936:
1911:
1864:
65:
1975:
1956:
1915:
1801:
where the parameter values are unrestricted, i.e. this relation holds without exception.
1993:
1948:
17:
1980:
1834:
1940:
1572:
The asterisks here remind us to ignore the contribution with index
1891:
1604:
The MacRobert E-function can always be expressed in terms of the
1833:; Magnus, W.; Oberhettinger, F. & Tricomi, F. G. (1953).
1728:
1628:
1339:
1066:
940:
770:
1813:
Special
Functions for Engineers and Applied Mathematicians
1863:; Jeffrey, Alan (2015) . "9.4.". In Zwillinger, Daniel;
1844:(see § 5.2, "Definition of the E-Function", p. 203)
1732:
1632:
1343:
1070:
944:
774:
1873:. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.).
1617:
1588:− 1. Evidently, this definition covers all values of
1055:
759:
80:
1790:
1559:
1009:
700:
1721:
1621:
1332:
1059:
933:
763:
36:
8:
1842:. Vol. 1. New York: McGraw–Hill.
1925:"Barnes integrals as a sum of E-functions"
1773:
1667:
1545:
1513:
1303:
1284:
1105:
979:
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1757:
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132:
114:
101:
81:
79:
1870:Table of Integrals, Series, and Products
1600:Relationship with the Meijer G-function
7:
717:generalized hypergeometric function
1265:
1230:
1168:
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851:
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41:generalized hypergeometric series
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1849:Gradshteyn, Izrail Solomonovich
1836:Higher Transcendental Functions
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1520:
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142:
126:
88:
1:
1857:Geronimus, Yuri Veniaminovich
1861:Tseytlin, Michail Yulyevich
33:Thomas Murray MacRobert
2016:
1923:MacRobert, T. M. (1962).
2000:Hypergeometric functions
1976:"MacRobert's E-Function"
1853:Ryzhik, Iosif Moiseevich
1904:Proc. R. Soc. Edinburgh
1815:. New York: MacMillan.
1811:Andrews, L. C. (1985).
1792:
1561:
1229:
1167:
1143:
1011:
892:
850:
702:
649:
613:
394:
242:
186:
1929:Mathematische Annalen
1793:
1562:
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1147:
1123:
1012:
872:
830:
703:
629:
587:
362:
222:
166:
1875:Academic Press, Inc.
1615:
1053:
757:
78:
27:In mathematics, the
18:MacRobert E-function
1720:
553:
525:
449:
409:
298:
257:
1973:Weisstein, Eric W.
1941:10.1007/bf01470741
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1771:
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1665:
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696:
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258:
243:
31:was introduced by
1883:978-0-12-384933-5
1865:Moll, Victor Hugo
1606:Meijer G-function
1263:
913:
667:
220:
70:Meijer G-function
66:special functions
39:) to extend the
16:(Redirected from
2007:
1986:
1985:
1960:
1919:
1900:MacRobert, T. M.
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56:(·) to the case
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