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Enumerator polynomial

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Specifies the number of words of a binary linear code of each possible Hamming weight
1026: 39: 1676: 216: 840: 1494:
with rows indexed by elements of GF(2) and columns indexed by integers 0...
1582:{\displaystyle B_{x,i}=\#\left\lbrace c\in C\mid d(c,x)=i\right\rbrace .} 1169:{\displaystyle W(C^{\perp };x,y)={\frac {1}{\mid C\mid }}W(C;y-x,y+x).} 1653:. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. 318:{\displaystyle W(C;x,y)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}x^{w}y^{n-w}.} 1461:{\displaystyle A(C;x,y)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}y^{n-i}} 959: 584: 574: 537: 1685:. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics. 1507: 1373: 1220: 1074: 1035: 999: 892: 849: 607: 492: 400: 339: 227: 122: 95: 55: 1682:
Introduction to the theory of error-correcting codes
1705: 1646: 1581: 1475:is linear this is equal to the weight enumerator. 1460: 1341: 1168: 1050: 1017: 982: 875: 823: 592: 477: 385: 317: 177: 101: 81: 478:{\displaystyle W(C;1,1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}=|C|} 42:specifies the number of words of each possible 876:{\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}} 178:{\displaystyle A_{t}=\#\{c\in C\mid w(c)=t\}} 82:{\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}} 8: 1012: 1000: 977: 949: 937: 906: 172: 139: 1512: 1506: 1446: 1436: 1426: 1416: 1405: 1372: 1319: 1306: 1272: 1259: 1234: 1225: 1219: 1109: 1085: 1073: 1042: 1038: 1037: 1034: 998: 958: 936: 932: 926: 921: 917: 916: 897: 891: 867: 862: 858: 857: 848: 815: 805: 783: 767: 733: 723: 701: 682: 663: 653: 642: 606: 583: 573: 536: 524: 491: 470: 462: 453: 443: 432: 399: 371: 338: 300: 290: 280: 270: 259: 226: 127: 121: 94: 73: 68: 64: 63: 54: 1600:times the inner distribution vector ( 1018:{\displaystyle \langle \ ,\ \rangle } 7: 1631:corresponding to the codewords of 1527: 1244: 965: 136: 25: 1051:{\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 386:{\displaystyle W(C;0,1)=A_{0}=1} 1716:. Vol. 86 (2nd ed.). 1649:A first course in coding theory 89:be a binary linear code length 1751:Error detection and correction 1562: 1550: 1395: 1377: 1362:distance enumerator polynomial 1325: 1299: 1278: 1252: 1160: 1130: 1121: 1115: 1103: 1078: 802: 792: 764: 754: 720: 710: 679: 669: 632: 611: 561: 543: 514: 496: 471: 463: 422: 404: 361: 343: 249: 231: 163: 157: 1: 1708:Introduction to Coding Theory 1179:The identity is named after 36:weight enumerator polynomial 1211:is the sequence of numbers 113:is the sequence of numbers 1777: 1029:and which is taken over 1756:Mathematical identities 1655:Oxford University Press 1592:The sum of the rows of 1704:J.H. van Lint (1992). 1645:Hill, Raymond (1986). 1583: 1462: 1421: 1343: 1170: 1052: 1019: 984: 877: 825: 658: 594: 479: 448: 387: 319: 275: 179: 103: 83: 18:MacWilliams identities 1732:Chapters 3.5 and 4.3. 1687:John Wiley & Sons 1584: 1463: 1401: 1344: 1193:distance distribution 1171: 1053: 1020: 985: 878: 826: 638: 595: 480: 428: 388: 320: 255: 188:giving the number of 180: 104: 84: 1689:. pp. 103–119. 1505: 1371: 1218: 1072: 1063:MacWilliams identity 1033: 997: 890: 847: 835:MacWilliams identity 605: 490: 398: 337: 225: 120: 93: 53: 1187:Distance enumerator 1025:denotes the vector 931: 872: 111:weight distribution 78: 1579: 1480:outer distribution 1458: 1339: 1197:inner distribution 1181:Jessie MacWilliams 1166: 1048: 1015: 980: 963: 915: 873: 856: 821: 590: 588: 578: 541: 475: 383: 315: 175: 99: 79: 62: 1356:ranges from 0 to 1242: 1125: 1011: 1005: 962: 587: 577: 572: 540: 215:is the bivariate 213:weight enumerator 207:ranges from 0 to 102:{\displaystyle n} 16:(Redirected from 1768: 1731: 1711: 1700: 1672: 1652: 1588: 1586: 1585: 1580: 1575: 1571: 1523: 1522: 1467: 1465: 1464: 1459: 1457: 1456: 1441: 1440: 1431: 1430: 1420: 1415: 1348: 1346: 1345: 1340: 1338: 1334: 1324: 1323: 1311: 1310: 1277: 1276: 1264: 1263: 1243: 1235: 1230: 1229: 1175: 1173: 1172: 1167: 1126: 1124: 1110: 1090: 1089: 1057: 1055: 1054: 1049: 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Index

MacWilliams identities
coding theory
linear code
Hamming weight
codewords
polynomial
dual code
dot product
Jessie MacWilliams
A first course in coding theory
Oxford University Press
165–173
ISBN
0-19-853803-0
Pless, Vera
Introduction to the theory of error-correcting codes
John Wiley & Sons
ISBN
0-471-08684-3
Introduction to Coding Theory
GTM
Springer-Verlag
ISBN
3-540-54894-7
Categories
Coding theory
Error detection and correction
Mathematical identities
Polynomials

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