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44:
has a common fixed point. This theorem is a key tool in one of the quickest proofs of amenability of abelian groups.
446:
658:
33:
1360:
invariant. Applying the result for a single mapping successively, it follows that any finite subset of
1661:, Methods of Mathematical Physics, vol. 1 (2nd revised ed.), Academic Press, p. 152,
1605:
1151:
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1082:{\displaystyle |f(Tx(N))-f(x(N))|={1 \over N+1}|f(T^{N+1}x)-f(x)|\leq {2M \over N+1}.}
1678:
1380:
has a non-empty fixed point set given as the intersection of the compact convex sets
1644:
Kakutani, S. (1938), "Two fixed point theorems concerning bicompact convex sets",
17:
37:
1623:
1550:{\displaystyle K^{S}=\{y\in K\mid Ty=y,\,T\in S\}=\bigcap _{T\in S}K^{T}\,}
72:
be a locally convex topological vector space, with a compact convex subset
230:{\displaystyle T(\lambda x+(1-\lambda )y)=\lambda T(x)+(1-\lambda )T(y)}
1293:
by the result for a single mapping. The other mappings in the family
1631:
Markov, A. (1936), "Quelques théorèmes sur les ensembles abéliens",
815:; this is where the assumption of local convexity is used.)
602:{\displaystyle x(N)={1 \over N+1}\sum _{n=0}^{N}T^{n}(x).}
1460:
1437:
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1246:The set of fixed points of a single affine mapping
1549:
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32:, states that a commuting family of continuous
8:
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486:{\displaystyle \{x(N)\}_{N\in \mathbb {N} }}
466:
450:
724:is a fixed point, it suffices to show that
1604:. Vol. 96 (2nd ed.). New York:
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1560:is non-empty (and compact and convex).
377:be a continuous affine self-mapping of
42:locally convex topological vector space
1576:
353:Proof for a single affine self-mapping
112:be a family of continuous mappings of
7:
811:. (The dual separates points by the
22:Markov–Kakutani fixed-point theorem
1266:is a non-empty compact convex set
1145:goes to infinity, it follows that
14:
1427:ranges over the subset. From the
132:to itself which commute and are
1685:Theorems in functional analysis
1598:A Course in Functional Analysis
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1:
1602:Graduate Texts in Mathematics
1192:{\displaystyle f(Ty)=f(y).\,}
1657:Reed, M.; Simon, B. (1980),
1125:and passing to the limit as
1711:
764:{\displaystyle f(Ty)=f(y)}
1690:Topological vector spaces
1451:it follows that the set
250:{\displaystyle \lambda }
1231:{\displaystyle Ty=y.\,}
1118:{\displaystyle N=N_{i}}
888:by a positive constant
329:. Then the mappings in
1646:Proc. Imp. Akad. Tokyo
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1579:, pp. 151–152.
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