2968:
2475:
2963:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{\mu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\sinh \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\cosh \mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\nu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(-\cosh \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\sinh \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\phi }&=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}\end{aligned}}}
4499:
4173:
7396:
7021:
4849:
4494:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\xi }\right)\right\}+{\frac {1}{a{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}
211:
4166:
3887:
4506:
1691:
5308:
5614:
5903:ν. Therefore, the coordinate σ must be greater than or equal to one, whereas τ must lie between ±1, inclusive. The surfaces of constant σ are oblate spheroids, as were those of constant μ, whereas the curves of constant τ are full hyperboloids of revolution, including the half-hyperboloids corresponding to ±ν. Thus, these coordinates are degenerate;
7391:{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
5875:
20:
3989:
2366:
6828:
3653:
6096:
454:
1551:
4953:
3603:
5878:
Figure 3: Coordinate isosurfaces for a point P (shown as a black sphere) in the alternative oblate spheroidal coordinates (σ, τ, φ). As before, the oblate spheroid corresponding to σ is shown in red, and φ measures the azimuthal angle between the green and yellow half-planes. However, the surface of
201:
and from which the hydrodynamic volume and shape of molecules can be inferred. Oblate spheroidal coordinates are also useful in problems of electromagnetism (e.g., dielectric constant of charged oblate molecules), acoustics (e.g., scattering of sound through a circular hole), fluid dynamics (e.g.,
5323:
7016:
4844:{\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}
2029:
1535:
1107:
877:
6674:
5933:
291:
5862:
3426:
2024:
6489:
4161:{\displaystyle \nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }}}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\,{\hat {\phi }}}
1398:
6624:
6875:
3882:{\displaystyle {\begin{aligned}h_{\zeta }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}\\h_{\xi }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\\h_{\phi }&=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\end{aligned}}}
3029:
1686:{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\operatorname {Re} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\nu &=\operatorname {Im} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}
5303:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\zeta }}\left+{\frac {m^{2}Z}{1+\zeta ^{2}}}-n(n+1)Z=0\\{\frac {d}{d\xi }}\left-{\frac {m^{2}\Xi }{1-\xi ^{2}}}+n(n+1)\Xi =0\\{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi \end{aligned}}}
3982:
1843:
1405:
5609:{\displaystyle {\begin{aligned}Z_{mn}&=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )\\\Xi _{mn}&=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )\\\Phi _{m}&=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }\end{aligned}}}
949:
719:
5328:
5736:
4946:
6679:
5938:
4958:
3658:
3431:
2480:
1904:
1556:
1410:
1273:
296:
6365:
1268:
2361:{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left+{\frac {1}{a^{2}\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
1897:
6500:
1743:
7454:
2424:
7426:
2396:
1208:
7797:
6867:
3359:
6669:
1263:
618:
286:
6823:{\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}\\h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}\end{aligned}}}
3648:
3203:
3121:
6091:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sigma \tau \cos \phi \\y&=a\sigma \tau \sin \phi \\z^{2}&=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)\end{aligned}}}
3235:
3157:
3065:
6346:
6311:
3414:
7486:
2468:
3267:
449:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \varphi \\y&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \varphi \\z&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}
537:
5723:
5682:
6250:
6181:
6207:
580:
557:
6276:
6118:
656:
3598:{\displaystyle {\begin{aligned}x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi \\y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi \\z=a\zeta \xi \end{aligned}}}
3327:
3287:
6138:
5641:
3898:
3379:
3307:
3085:
476:
699:
7951:
2975:
676:
140:
1763:
7790:
7011:{\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }
122:
about the non-focal axis of the ellipse, i.e., the symmetry axis that separates the foci. Thus, the two foci are transformed into a ring of radius
7507:, which are convenient to use when boundary conditions are defined on a surface with a constant oblate spheroidal coordinate (See Smythe, 1968).
7956:
7783:
7749:
5879:
constant τ is a full one-sheet hyperboloid, shown in blue. This produces a two-fold degeneracy, shown by the two black spheres located at (
4890:
202:
the flow of water through a firehose nozzle) and the diffusion of materials and heat (e.g., cooling of a red-hot coin in a water bath)
1848:
7876:
7718:
7585:
7516:
242:
and ν always have the same sign. The surfaces of constant μ and ν in three dimensions are obtained by rotation about the
7901:
1698:
1530:{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh \mu &={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}\\\cos \nu &={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}\end{aligned}}}
7916:
4859:
1174:
4880:, which are convenient to use when boundary conditions are defined on a surface with a constant oblate spheroidal coordinate.
7891:
5726:
1102:{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
872:{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
151:
1215:
7866:
7739:
170:
7806:
5896:
5895:
An alternative and geometrically intuitive set of oblate spheroidal coordinates (σ, τ, φ) are sometimes used, where σ =
3891:
Knowing the scale factors, various functions of the coordinates can be calculated by the general method outlined in the
5874:
19:
7871:
7861:
7820:
155:
93:
582:. These coordinates are favored over the alternatives below because they are not degenerate; the set of coordinates
7845:
2426:
can be expressed in the coordinates (μ, ν, φ) by substituting the scale factors into the general formulae found in
7840:
7431:
2401:
7881:
7403:
5857:{\displaystyle V=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi _{mn}(\xi )\,\Phi _{m}(\phi )}
2373:
6833:
3332:
7911:
7896:
7825:
7757:
7500:
4884:
4873:
2019:{\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu \,d\nu \,d\phi }
182:
159:
6636:
7489:
6484:{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}
3892:
2427:
1393:{\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}\\d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}\end{aligned}}}
585:
253:
186:
112:
3615:
3170:
7835:
7829:
7496:
5928:
4865:
3420:
3090:
3208:
3126:
3034:
6619:{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}
6316:
6281:
3384:
7926:
7906:
7671:
Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates.
7459:
2441:
194:
190:
119:
3240:
7921:
4869:
3159:
lies in the tangent plane to the oblate spheroid surface and completes the right-handed basis set.
481:
5687:
5646:
7713:(corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer Verlag. pp. 31–34 (Table 1.07).
6215:
6146:
7770:
7711:
Field Theory
Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions
7684:
7658:
6186:
5316:
is a constant which is an integer because the φ variable is periodic with period 2π.
7745:
7714:
7688:
7662:
7625:
7581:
562:
542:
115:
6255:
6103:
623:
3312:
3272:
6123:
5729:
of the first and second kind respectively. The product of the three solutions is called an
5619:
7646:
6357:
3364:
3292:
3070:
3024:{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {i}}},{\boldsymbol {\hat {j}}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}
910:
898:
710:
461:
174:
681:
7677:
7651:
5866:
The constants will combine to yield only four independent constants for each harmonic.
661:
125:
77:
7945:
5927:
is evident from the equations transforming from oblate spheroidal coordinates to the
1539:
where the sign of μ is always non-negative, and the sign of ν is the same as that of
210:
7775:
6494:
941:
198:
178:
6140:
have a simple relation to the distances to the focal ring. For any point, the
7725:
Moon and
Spencer use the colatitude convention θ = 90° - ν, and rename φ as ψ.
7698:
3977:{\displaystyle dV=a^{3}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)d\zeta \,d\xi \,d\phi }
1143:
of the hyperbola. The foci of all the hyperbolae are likewise located on the
214:
Figure 2: Plot of the oblate spheroidal coordinates μ and ν in the
6360:
4950:
This yields three separate differential equations in each of the variables:
1159:
The (μ, ν, φ) coordinates may be calculated from the
Cartesian coordinates (
1140:
713:
163:
7756:
Treats the oblate spheroidal coordinates as a limiting case of the general
3067:
is the outward normal vector to the oblate spheroidal surface of constant
7702:
1838:{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
181:. For example, they played an important role in the calculation of the
7709:
Moon PH, Spencer DE (1988). "Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ)".
7488:
by substituting the scale factors into the general formulae found in
5923:
set of coordinates (σ, τ, φ). This two-fold degeneracy in the sign of
1402:
The remaining coordinates μ and ν can be calculated from the equations
882:
197:
of molecules, which affects the feasibility of many techniques such as
7760:. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.
5900:
6633:
The scale factors for the alternative oblate spheroidal coordinates
1265:
and its distances to the foci in the plane defined by φ is given by
246:-axis, and are the red and blue surfaces, respectively, in Figure 1.
5873:
3123:
is the same azimuthal unit vector from spherical coordinates, and
209:
86:
half-plane and the yellow half-plane that includes the point
18:
7692:
7666:
7629:
7779:
2470:
coordinate system can be expressed in
Cartesian coordinates as
1139:). Geometrically, the angle ν corresponds to the angle of the
6356:
Similar to its counterpart μ, the surfaces of constant σ form
5320:
will then be an integer. The solution to these equations are:
238:-axis runs vertically and separates the foci; the coordinates
154:.) Oblate spheroidal coordinates can also be considered as a
1171:) as follows. The azimuthal angle φ is given by the formula
55:. The red oblate spheroid (flattened sphere) corresponds to
1127:) whereas for negative ν, the half-hyperboloid is below the
250:
The most common definition of oblate spheroidal coordinates
5733:
and the general solution to
Laplace's equation is written:
29:(shown as a black sphere) in oblate spheroidal coordinates
7744:(2nd ed.). New York: Pergamon Press. pp. 19–29.
6493:
Similarly, the surfaces of constant τ form full one-sheet
940:
Similarly, the surfaces of constant ν form one-sheet half
169:
Oblate spheroidal coordinates are often useful in solving
6872:
Hence, the infinitesimal volume element can be written
944:
of revolution by the hyperbolic trigonometric identity
7771:
MathWorld description of oblate spheroidal coordinates
7634:
Uses hybrid coordinates ξ = sinh μ, η = sin ν, and φ.
889:-axis, which separates their foci. An ellipse in the
7738:
Electrodynamics of
Continuous Media (Volume 8 of the
7462:
7434:
7406:
7024:
6878:
6836:
6677:
6639:
6503:
6368:
6319:
6284:
6258:
6218:
6189:
6149:
6126:
6106:
5936:
5739:
5690:
5649:
5622:
5326:
4956:
4941:{\displaystyle V=Z(\zeta )\,\Xi (\xi )\,\Phi (\phi )}
4893:
4509:
4176:
3992:
3901:
3656:
3618:
3429:
3387:
3367:
3335:
3315:
3295:
3275:
3243:
3211:
3173:
3129:
3093:
3073:
3037:
2978:
2478:
2444:
2404:
2376:
2032:
1907:
1901:
Consequently, an infinitesimal volume element equals
1851:
1766:
1701:
1554:
1408:
1271:
1218:
1177:
952:
722:
684:
664:
626:
588:
565:
545:
484:
464:
294:
256:
128:
4872:, Laplace's equation may be solved by the method of
1212:
The cylindrical radius ρ of the point P is given by
7854:
7813:
7499:, Laplaces equation may be solved by the method of
3309:are the hyperboloids of revolution. The coordinate
1546:Another method to compute the inverse transform is
62:, whereas the blue half-hyperboloid corresponds to
7676:
7653:Mathematical Handbook for Scientists and Engineers
7650:
7592:Same as Morse & Feshbach (1953), substituting
7480:
7448:
7420:
7390:
7010:
6861:
6822:
6663:
6618:
6483:
6340:
6305:
6270:
6244:
6201:
6175:
6132:
6112:
6090:
5856:
5717:
5676:
5635:
5608:
5302:
4940:
4843:
4493:
4160:
3976:
3881:
3642:
3597:
3408:
3373:
3353:
3321:
3301:
3281:
3261:
3229:
3197:
3151:
3115:
3079:
3059:
3023:
2962:
2462:
2418:
2390:
2360:
2018:
1891:
1837:
1737:
1685:
1529:
1392:
1257:
1202:
1101:
871:
693:
670:
650:
620:describes a unique point in Cartesian coordinates
612:
574:
551:
531:
470:
448:
280:
134:
23:Figure 1: Coordinate isosurfaces for a point
6278:. Thus, the "far" distance to the focal ring is
3015:
3000:
2985:
2950:
2926:
2867:
2834:
2792:
2666:
2633:
2591:
3289:are oblate spheroids and the curves of constant
1892:{\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }
185:, which contributed to the awarding of the 1926
150:plane. (Rotation about the other axis produces
7580:. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 115.
4887:, a solution to Laplace's equation is written:
173:when the boundary conditions are defined on an
118:that results from rotating the two-dimensional
7736:Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984).
3895:article. The infinitesimal volume element is:
16:Three-dimensional orthogonal coordinate system
7791:
3167:Another set of oblate spheroidal coordinates
234:form cyan half-hyperbolae in this plane. The
230:form red ellipses, whereas those of constant
8:
921:-axis. The foci of all the ellipses in the
559:can fall anywhere on a full circle, between
51:-axis is vertical, and the foci are at
1738:{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
478:is a nonnegative real number and the angle
7798:
7784:
7776:
7449:{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
6183:of its distances to the focal ring equals
2419:{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
1845:whereas the azimuthal scale factor equals
658:. The reverse is also true, except on the
7624:. New York: Springer Verlag. p. 98.
7461:
7441:
7433:
7421:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
7413:
7405:
7379:
7361:
7354:
7345:
7335:
7325:
7315:
7282:
7269:
7257:
7229:
7217:
7204:
7176:
7157:
7151:
7123:
7105:
7098:
7079:
7066:
7051:
7041:
7029:
7023:
7001:
6994:
6987:
6973:
6941:
6924:
6911:
6904:
6892:
6877:
6841:
6835:
6806:
6788:
6775:
6767:
6755:
6731:
6719:
6706:
6698:
6686:
6678:
6676:
6638:
6596:
6575:
6564:
6558:
6546:
6536:
6524:
6511:
6504:
6502:
6455:
6440:
6429:
6423:
6411:
6401:
6389:
6376:
6369:
6367:
6318:
6283:
6257:
6236:
6223:
6217:
6188:
6167:
6154:
6148:
6125:
6105:
6073:
6041:
6026:
6009:
5937:
5935:
5839:
5834:
5816:
5811:
5793:
5788:
5782:
5771:
5761:
5750:
5738:
5700:
5695:
5689:
5659:
5654:
5648:
5627:
5621:
5587:
5577:
5558:
5548:
5531:
5508:
5503:
5493:
5471:
5466:
5456:
5436:
5410:
5405:
5395:
5370:
5365:
5355:
5335:
5327:
5325:
5287:
5268:
5250:
5243:
5200:
5179:
5172:
5144:
5135:
5102:
5059:
5038:
5031:
5003:
4994:
4961:
4957:
4955:
4925:
4912:
4892:
4832:
4814:
4807:
4793:
4767:
4746:
4736:
4703:
4692:
4657:
4629:
4618:
4583:
4564:
4551:
4536:
4526:
4514:
4508:
4474:
4464:
4453:
4441:
4433:
4421:
4412:
4393:
4381:
4368:
4362:
4354:
4342:
4322:
4308:
4296:
4283:
4277:
4269:
4257:
4237:
4220:
4207:
4191:
4183:
4175:
4147:
4146:
4145:
4125:
4117:
4108:
4094:
4093:
4092:
4072:
4064:
4055:
4041:
4040:
4039:
4019:
4011:
4002:
3991:
3967:
3960:
3943:
3930:
3915:
3900:
3864:
3842:
3827:
3811:
3793:
3775:
3762:
3754:
3738:
3720:
3702:
3689:
3681:
3665:
3657:
3655:
3617:
3562:
3551:
3529:
3514:
3491:
3480:
3458:
3443:
3430:
3428:
3386:
3366:
3334:
3314:
3294:
3274:
3242:
3210:
3172:
3143:
3132:
3131:
3128:
3107:
3096:
3095:
3092:
3072:
3051:
3040:
3039:
3036:
3010:
3009:
2995:
2994:
2980:
2979:
2977:
2945:
2944:
2921:
2920:
2895:
2884:
2883:
2862:
2861:
2829:
2828:
2787:
2786:
2736:
2717:
2707:
2694:
2683:
2682:
2661:
2660:
2628:
2627:
2586:
2585:
2538:
2519:
2509:
2496:
2485:
2484:
2479:
2477:
2443:
2411:
2403:
2391:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
2383:
2375:
2349:
2331:
2324:
2309:
2293:
2283:
2273:
2240:
2211:
2193:
2165:
2136:
2118:
2093:
2074:
2059:
2049:
2037:
2031:
2009:
2002:
1979:
1960:
1921:
1906:
1856:
1850:
1821:
1802:
1796:
1784:
1771:
1765:
1727:
1714:
1708:
1700:
1669:
1628:
1581:
1555:
1553:
1506:
1493:
1486:
1449:
1436:
1429:
1409:
1407:
1380:
1367:
1342:
1337:
1323:
1310:
1285:
1280:
1272:
1270:
1249:
1236:
1223:
1217:
1203:{\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}
1190:
1176:
1081:
1062:
1040:
1030:
1019:
1013:
995:
985:
973:
960:
953:
951:
851:
832:
810:
800:
789:
783:
765:
755:
743:
730:
723:
721:
683:
663:
625:
587:
564:
544:
516:
502:
483:
463:
295:
293:
255:
127:
7679:The Mathematics of Physics and Chemistry
7622:Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs
193:. These friction factors determine the
7528:
6862:{\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }
3354:{\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }
3269:(Smythe 1968). The curves of constant
3012:
2997:
2982:
2947:
2923:
2864:
2831:
2789:
2663:
2630:
2588:
7615:(3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
7556:Methods of Theoretical Physics, Part I
6830:whereas the azimuthal scale factor is
3031:are the Cartesian unit vectors. Here,
2438:The orthonormal basis vectors for the
1752:The scale factors for the coordinates
7683:. New York: D. van Nostrand. p.
7558:. New York: McGraw-Hill. p. 662.
7400:Other differential operators such as
6664:{\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}
2370:Other differential operators such as
1258:{\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}
7:
7952:Three-dimensional coordinate systems
7697:Like Korn and Korn (1961), but uses
7456:can be expressed in the coordinates
1115:, the half-hyperboloid is above the
613:{\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}
281:{\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}
3643:{\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}
3198:{\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}
226:equals one. The curves of constant
7503:to yield solutions in the form of
7435:
7407:
7372:
7367:
7358:
7293:
7288:
7285:
7235:
7231:
7187:
7182:
7179:
7129:
7125:
7035:
7026:
5836:
5813:
5783:
5762:
5528:
5433:
5293:
5256:
5230:
5185:
5150:
4926:
4913:
4876:to yield solutions in the form of
4825:
4811:
4714:
4706:
4663:
4659:
4640:
4632:
4589:
4585:
4511:
4482:
4467:
4328:
4324:
4243:
4239:
4177:
4136:
4128:
4083:
4075:
4030:
4022:
3993:
3348:
3116:{\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }}
2405:
2377:
2342:
2337:
2328:
2251:
2246:
2243:
2217:
2213:
2176:
2171:
2168:
2142:
2138:
2043:
2034:
14:
7657:. New York: McGraw-Hill. p.
7517:Ellipsoidal coordinates (geodesy)
6313:, whereas the "near" distance is
5907:points in Cartesian coordinates (
3230:{\displaystyle \zeta =\sinh \mu }
3152:{\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }}
3060:{\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }}
2026:and the Laplacian can be written
7442:
7414:
6341:{\displaystyle a(\sigma -\tau )}
6306:{\displaystyle a(\sigma +\tau )}
4184:
3409:{\displaystyle -1\leq \xi <1}
2412:
2384:
716:, by the trigonometric identity
709:The surfaces of constant μ form
7481:{\displaystyle (\sigma ,\tau )}
5727:associated Legendre polynomials
4860:Oblate spheroidal wave function
2463:{\displaystyle \mu ,\nu ,\phi }
7675:Margenau H, Murphy GM (1956).
7613:Static and Dynamic Electricity
7535:Abramowitz and Stegun, p. 752.
7475:
7463:
6658:
6640:
6335:
6323:
6300:
6288:
5851:
5845:
5831:
5825:
5808:
5802:
5712:
5706:
5671:
5665:
5520:
5514:
5483:
5477:
5425:
5416:
5385:
5376:
5227:
5215:
5141:
5122:
5086:
5074:
5000:
4981:
4935:
4929:
4922:
4916:
4909:
4903:
4226:
4200:
4152:
4099:
4046:
3870:
3851:
3848:
3829:
3637:
3619:
3557:
3538:
3535:
3516:
3486:
3467:
3464:
3445:
3262:{\displaystyle \xi =\sin \nu }
3192:
3174:
3137:
3101:
3045:
2889:
2688:
2490:
1364:
1351:
1307:
1294:
701:-plane inside the focal ring.
645:
627:
607:
589:
275:
257:
171:partial differential equations
152:prolate spheroidal coordinates
1:
7957:Orthogonal coordinate systems
7807:Orthogonal coordinate systems
7740:Course of Theoretical Physics
7554:Morse PM, Feshbach H (1953).
532:{\displaystyle \nu \in \left}
109:Oblate spheroidal coordinates
5718:{\displaystyle Q_{n}^{m}(z)}
5677:{\displaystyle P_{n}^{m}(z)}
7505:oblate spheroidal harmonics
6245:{\displaystyle d_{1}-d_{2}}
6176:{\displaystyle d_{1}+d_{2}}
4883:Following the technique of
4878:oblate spheroidal harmonics
4854:Oblate spheroidal harmonics
222:plane, where φ is zero and
7973:
5731:oblate spheroidal harmonic
4857:
1135:plane (i.e., has negative
1123:plane (i.e., has positive
678:-axis and the disk in the
120:elliptic coordinate system
7620:Sauer R, Szabó I (1967).
7018:and the Laplacian equals
6202:{\displaystyle 2a\sigma }
4503:and the Laplacian equals
3205:are sometimes used where
929:plane are located on the
179:hyperboloid of revolution
162:in which the two largest
575:{\displaystyle \pm \pi }
552:{\displaystyle \varphi }
111:are a three-dimensional
7758:ellipsoidal coordinates
7701:θ = 90° - ν instead of
7578:Handbook of Integration
7501:separation of variables
6271:{\displaystyle 2a\tau }
6113:{\displaystyle \sigma }
4885:separation of variables
4874:separation of variables
897:plane (Figure 2) has a
651:{\displaystyle (x,y,z)}
539:. The azimuthal angle
183:Perrin friction factors
160:ellipsoidal coordinates
7490:orthogonal coordinates
7482:
7450:
7422:
7392:
7012:
6863:
6824:
6665:
6620:
6485:
6342:
6307:
6272:
6246:
6203:
6177:
6134:
6114:
6092:
5892:
5858:
5787:
5766:
5719:
5678:
5637:
5610:
5304:
4942:
4845:
4495:
4162:
3978:
3893:orthogonal coordinates
3883:
3644:
3612:The scale factors for
3599:
3410:
3375:
3355:
3323:
3322:{\displaystyle \zeta }
3303:
3283:
3282:{\displaystyle \zeta }
3263:
3231:
3199:
3153:
3117:
3081:
3061:
3025:
2964:
2464:
2428:orthogonal coordinates
2420:
2392:
2362:
2020:
1893:
1839:
1739:
1687:
1531:
1394:
1259:
1204:
1155:Inverse transformation
1103:
873:
695:
672:
652:
614:
576:
553:
533:
472:
450:
282:
247:
187:Nobel Prize in Physics
136:
105:
7576:Zwillinger D (1992).
7497:spherical coordinates
7483:
7451:
7423:
7393:
7013:
6864:
6825:
6666:
6621:
6486:
6343:
6308:
6273:
6247:
6204:
6178:
6135:
6133:{\displaystyle \tau }
6115:
6093:
5929:Cartesian coordinates
5877:
5859:
5767:
5746:
5720:
5679:
5638:
5636:{\displaystyle A_{i}}
5611:
5305:
4943:
4866:spherical coordinates
4846:
4496:
4163:
3979:
3884:
3645:
3600:
3421:Cartesian coordinates
3411:
3376:
3356:
3324:
3304:
3284:
3264:
3232:
3200:
3154:
3118:
3082:
3062:
3026:
2965:
2465:
2421:
2393:
2363:
2021:
1894:
1840:
1740:
1688:
1532:
1395:
1260:
1205:
1104:
874:
696:
673:
653:
615:
577:
554:
534:
473:
451:
283:
213:
166:are equal in length.
137:
94:Cartesian coordinates
22:
7902:Elliptic cylindrical
7548:No angles convention
7495:As is the case with
7460:
7432:
7404:
7022:
6876:
6834:
6675:
6637:
6501:
6366:
6317:
6282:
6256:
6216:
6187:
6147:
6124:
6104:
5934:
5870:Definition (σ, τ, φ)
5737:
5688:
5647:
5620:
5324:
4954:
4891:
4864:As is the case with
4507:
4174:
3990:
3899:
3654:
3616:
3427:
3419:The relationship to
3385:
3374:{\displaystyle \xi }
3365:
3333:
3313:
3302:{\displaystyle \xi }
3293:
3273:
3241:
3209:
3171:
3163:Definition (ζ, ξ, φ)
3127:
3091:
3080:{\displaystyle \mu }
3071:
3035:
2976:
2476:
2442:
2402:
2374:
2030:
1905:
1849:
1764:
1699:
1552:
1406:
1269:
1216:
1175:
950:
720:
682:
662:
624:
586:
563:
543:
482:
471:{\displaystyle \mu }
462:
292:
254:
195:rotational diffusion
191:Jean Baptiste Perrin
126:
7917:Bipolar cylindrical
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6352:Coordinate surfaces
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