2195:
4288:
17:
138:
3940:
2083:
4283:{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left\right\}\\&{}+{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}
1741:
1608:
865:
665:
3087:
3245:
1730:
3837:
1081:
2078:{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left\\&{}+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}
3657:
129: = 0) or a line with a missing segment (ν=0). The electronic structure of general diatomic molecules with many electrons can also be solved to excellent precision in the prolate spheroidal coordinate system.
3742:
1280:
3929:
1209:
3485:
3399:
3295:
1746:
707:
507:
3945:
1285:
333:
277:
1269:
4347:
2937:
2142:
4319:
2114:
4778:
3572:
3095:
380:
2254:
2180:
221:
3526:
960:
2286:
2757:
2695:
4379:
2318:
2607:
2538:
1121:
2564:
1619:
2929:
461:
441:
2889:
2633:
2421:
2398:
2338:
2909:
2811:
2784:
2722:
2660:
2495:
2468:
2441:
2378:
2358:
2869:
2840:
888:
688:
403:
2198:
In principle, a definition of prolate spheroidal coordinates could be degenerate. In other words, a single set of coordinates might correspond to two points in
4932:
3753:
496:
968:
4771:
3580:
89:
in which the boundary conditions match its symmetry and shape, such as solving for a field produced by two centers, which are taken as the foci on the
1603:{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=h_{\mu }^{2}d\mu ^{2}+h_{\nu }^{2}d\nu ^{2}+h_{\varphi }^{2}d\varphi ^{2}\\&=a^{2}\left.\end{aligned}}}
3665:
4402:, which are convenient to use when boundary conditions are defined on a surface with a constant prolate spheroidal coordinate (See Smythe, 1968).
3848:
4937:
4764:
1129:
4730:
3407:
3321:
4857:
4683:
4527:
66:
about the focal axis of the ellipse, i.e., the symmetry axis on which the foci are located. Rotation about the other axis produces
3253:
4882:
4398:
4897:
860:{\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
660:{\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
4867:
4847:
4720:
3301:
86:
67:
285:
229:
4787:
1220:
4852:
4842:
4801:
2199:
71:
45:
4826:
3082:{\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}
44:-axis (highlighted in green). The black sphere represents the intersection point of the three surfaces, which has
4821:
4421:"A review on non-relativistic, fully numerical electronic structure calculations on atoms and diatomic molecules"
3240:{\displaystyle \tau ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}
4324:
2194:
2119:
4862:
4296:
2091:
3539:
4892:
4877:
4806:
4738:
4393:
341:
75:
2221:
4382:
2183:
2147:
188:
110:
56:
3493:
900:
4816:
4810:
4389:
3313:
2259:
2202:; this is illustrated here with two black spheres, one on each sheet of the hyperboloid and located at (
102:
2727:
2665:
4907:
4887:
4636:
Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates.
4352:
2291:
63:
4902:
1725:{\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \sin \nu (\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu \,d\varphi }
16:
4751:
4678:(corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer Verlag. pp. 28–30 (Table 1.06).
4432:
2572:
2503:
1094:
4676:
Field Theory
Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions
4649:
4623:
2543:
24:
of prolate spheroidal coordinates. The red prolate spheroid (stretched sphere) corresponds to
4726:
4679:
4653:
4627:
4570:
4523:
2914:
446:
408:
59:
21:
2874:
2612:
2406:
2383:
2323:
701:
rotated about the axis joining their foci. Similarly, the hyperbolic trigonometric identity
4442:
2894:
2789:
2762:
2700:
2638:
2473:
2446:
2426:
2363:
2343:
4611:
3832:{\displaystyle h_{\varphi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}
2845:
2816:
873:
673:
388:
4642:
4616:
3309:
1076:{\displaystyle r_{\pm }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z\mp a)^{2}}}=a(\cosh \mu \mp \cos \nu ).}
118:
106:
466:
4926:
137:
3652:{\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}
94:
2218:
An alternative and geometrically intuitive set of prolate spheroidal coordinates
4756:
891:
153: = 1. The lines of equal values of μ and ν are shown on the
29:
3737:{\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}
4663:
4737:
Treats the prolate spheroidal coordinates as a limiting case of the general
3924:{\displaystyle dV=a^{3}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }
122:
79:
4667:
1204:{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
694:
98:
4674:
Moon PH, Spencer DE (1988). "Prolate
Spheroidal Coordinates (η, θ, ψ)".
4381:
by substituting the scale factors into the general formulae found in
698:
691:
125:
tips. Other limiting cases include areas generated by a line segment (
4741:. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.
4447:
3480:{\displaystyle y=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\sin \varphi }
3394:{\displaystyle x=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\cos \varphi }
2214:). However, neither of the definitions presented here are degenerate.
2182:
by substituting the scale factors into the general formulae found in
4420:
4437:
2193:
136:
15:
173:-axis, so that the diagram is valid for any plane containing the
4657:
4631:
4574:
4760:
70:. Prolate spheroidal coordinates can also be considered as a
185:
The most common definition of prolate spheroidal coordinates
3290:{\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}
85:
Prolate spheroidal coordinates can be used to solve various
3536:
The scale factors for the alternative elliptic coordinates
4725:(2nd ed.). New York: Pergamon Press. pp. 19–29.
2871:, respectively.) This gives the following expressions for
36: = 45°. The yellow half-plane corresponds to
4752:
MathWorld description of prolate spheroidal coordinates
2340:
are prolate spheroids, whereas the curves of constant
4719:
Electrodynamics of
Continuous Media (Volume 8 of the
4355:
4327:
4299:
3943:
3851:
3756:
3668:
3583:
3542:
3496:
3410:
3324:
3256:
3098:
2940:
2917:
2897:
2877:
2848:
2819:
2792:
2765:
2730:
2703:
2668:
2641:
2615:
2575:
2546:
2506:
2476:
2449:
2429:
2409:
2386:
2366:
2346:
2326:
2294:
2262:
2224:
2150:
2122:
2094:
1744:
1622:
1613:
Consequently, an infinitesimal volume element equals
1283:
1223:
1132:
1097:
971:
903:
876:
710:
676:
510:
469:
449:
411:
391:
344:
288:
232:
191:
40: = −60°, which is measured relative to the
4392:, Laplace's equation may be solved by the method of
2443:
have a simple relation to the distances to the foci
4835:
4794:
328:{\displaystyle y=a\sinh \mu \sin \nu \sin \varphi }
272:{\displaystyle x=a\sinh \mu \sin \nu \cos \varphi }
4641:
4618:Mathematical Handbook for Scientists and Engineers
4615:
4534:Same as Morse & Feshbach (1953), substituting
4373:
4341:
4313:
4282:
3923:
3831:
3736:
3651:
3566:
3520:
3479:
3393:
3289:
3239:
3081:
2923:
2903:
2883:
2863:
2834:
2805:
2778:
2751:
2716:
2689:
2654:
2627:
2601:
2558:
2532:
2489:
2462:
2435:
2415:
2392:
2372:
2352:
2332:
2312:
2280:
2248:
2174:
2136:
2108:
2077:
1724:
1602:
1264:{\displaystyle h_{\varphi }=a\sinh \mu \sin \nu ,}
1263:
1203:
1115:
1075:
954:
882:
859:
682:
659:
490:
455:
435:
397:
374:
327:
271:
215:
3304:, the prolate spheroid coordinates (σ, τ, φ) are
2400:coordinate must be greater than or equal to one.
48:of roughly (0.831, −1.439, 2.182).
3842:Hence, the infinitesimal volume element becomes
2360:are hyperboloids of revolution. The coordinate
4690:Moon and Spencer use the colatitude convention
4522:. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114.
1091:The scale factors for the elliptic coordinates
62:that results from rotating the two-dimensional
4717:Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984).
4772:
8:
4779:
4765:
4757:
4662:Similar to Korn and Korn (1961), but uses
4342:{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
2137:{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
4569:. New York: Springer Verlag. p. 97.
4446:
4436:
4354:
4334:
4326:
4314:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
4306:
4298:
4267:
4249:
4242:
4230:
4202:
4189:
4179:
4174:
4137:
4128:
4095:
4067:
4050:
4021:
4004:
3991:
3978:
3968:
3964:
3952:
3944:
3942:
3914:
3907:
3900:
3891:
3878:
3865:
3850:
3816:
3784:
3773:
3761:
3755:
3724:
3706:
3693:
3685:
3673:
3667:
3633:
3621:
3608:
3600:
3588:
3582:
3541:
3495:
3457:
3429:
3420:
3409:
3371:
3343:
3334:
3323:
3273:
3255:
3224:
3199:
3186:
3180:
3169:
3144:
3131:
3125:
3105:
3097:
3066:
3041:
3028:
3022:
3011:
2986:
2973:
2967:
2947:
2939:
2916:
2896:
2876:
2847:
2818:
2797:
2791:
2770:
2764:
2729:
2708:
2702:
2667:
2646:
2640:
2614:
2593:
2580:
2574:
2545:
2524:
2511:
2505:
2481:
2475:
2454:
2448:
2428:
2408:
2385:
2365:
2345:
2325:
2293:
2261:
2223:
2149:
2129:
2121:
2109:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
2101:
2093:
2062:
2044:
2037:
2022:
2006:
1996:
1986:
1981:
1949:
1917:
1896:
1878:
1871:
1859:
1841:
1834:
1811:
1792:
1779:
1769:
1765:
1753:
1745:
1743:
1715:
1708:
1701:
1686:
1667:
1636:
1621:
1582:
1560:
1544:
1528:
1506:
1487:
1471:
1449:
1430:
1412:
1392:
1379:
1374:
1361:
1348:
1343:
1330:
1317:
1312:
1295:
1284:
1282:
1228:
1222:
1187:
1168:
1162:
1150:
1137:
1131:
1096:
1029:
1004:
991:
985:
976:
970:
902:
875:
839:
820:
798:
788:
776:
763:
756:
738:
728:
717:
711:
709:
675:
639:
620:
598:
588:
576:
563:
556:
538:
528:
517:
511:
509:
468:
448:
410:
390:
343:
287:
231:
190:
161: = 0. The surfaces of constant
4644:The Mathematics of Physics and Chemistry
4567:Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs
3747:while the azimuthal scale factor is now
3567:{\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}
4411:
3308:degenerate; in other words, there is a
897:The distances from the foci located at
93:-axis. One example is solving for the
28: = 1, and the blue two-sheet
4648:. New York: D. van Nostrand. pp.
4560:(3rd ed.). New York: McGraw-Hill.
4473:Methods of Theoretical Physics, Part I
2380:belongs to the interval , whereas the
1214:whereas the azimuthal scale factor is
375:{\displaystyle z=a\cosh \mu \cos \nu }
4475:. New York: McGraw-Hill. p. 661.
4293:Other differential operators such as
2249:{\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}
2088:Other differential operators such as
117:. Another example is solving for the
7:
4933:Three-dimensional coordinate systems
4349:can be expressed in the coordinates
2540:of its distances to the foci equals
2175:{\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}
2144:can be expressed in the coordinates
216:{\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}
3521:{\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }
2497:. For any point in the plane, the
955:{\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)}
169:are obtained by rotation about the
4396:to yield solutions in the form of
4328:
4300:
4260:
4255:
4246:
4148:
4143:
4140:
4101:
4097:
4078:
4073:
4070:
4027:
4023:
3958:
3949:
2281:{\displaystyle \sigma =\cosh \mu }
2123:
2095:
2055:
2050:
2041:
1960:
1955:
1952:
1928:
1923:
1920:
1889:
1884:
1875:
1852:
1847:
1838:
1759:
1750:
14:
4622:. New York: McGraw-Hill. p.
3310:unique, reversible correspondence
2320:. Hence, the curves of constant
1735:and the Laplacian can be written
405:is a nonnegative real number and
4335:
4307:
2752:{\displaystyle a(\sigma -\tau )}
2690:{\displaystyle a(\sigma +\tau )}
2130:
2102:
870:shows that surfaces of constant
670:shows that surfaces of constant
4374:{\displaystyle (\sigma ,\tau )}
2313:{\displaystyle \tau =\cos \nu }
141:Prolate spheroidal coordinates
4640:Margenau H, Murphy GM (1956).
4558:Static and Dynamic Electricity
4368:
4356:
4236:
4217:
4214:
4195:
4134:
4115:
4010:
3984:
3897:
3871:
3561:
3543:
3463:
3444:
3441:
3422:
3377:
3358:
3355:
3336:
3221:
3208:
3166:
3153:
3063:
3050:
3008:
2995:
2746:
2734:
2684:
2672:
2243:
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1660:
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1461:
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904:
485:
470:
430:
418:
210:
192:
87:partial differential equations
53:Prolate spheroidal coordinates
1:
4938:Orthogonal coordinate systems
4788:Orthogonal coordinate systems
4721:Course of Theoretical Physics
4471:Morse PM, Feshbach H (1953).
4419:Lehtola, Susi (21 May 2019).
3302:oblate spheroidal coordinates
68:oblate spheroidal coordinates
4399:prolate spheroidal harmonics
2602:{\displaystyle d_{1}-d_{2}}
2533:{\displaystyle d_{1}+d_{2}}
2256:are sometimes used, where
1116:{\displaystyle (\mu ,\nu )}
501:The trigonometric identity
4954:
2697:, whereas the distance to
1274:resulting in a metric of
105:of two positively charged
78:in which the two smallest
64:elliptic coordinate system
4565:Sauer R, Szabó I (1967).
3934:and the Laplacian equals
3532:Alternative scale factors
2635:. Thus, the distance to
2559:{\displaystyle 2a\sigma }
2924:{\displaystyle \varphi }
463:belongs to the interval
456:{\displaystyle \varphi }
436:{\displaystyle \nu \in }
55:are a three-dimensional
4739:ellipsoidal coordinates
4666:θ = 90° - ν instead of
4520:Handbook of Integration
4394:separation of variables
2884:{\displaystyle \sigma }
2628:{\displaystyle 2a\tau }
2416:{\displaystyle \sigma }
2393:{\displaystyle \sigma }
2333:{\displaystyle \sigma }
121:generated by two small
76:ellipsoidal coordinates
4383:orthogonal coordinates
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2190:Alternative definition
2184:orthogonal coordinates
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457:
443:. The azimuthal angle
437:
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217:
182:
111:hydrogen molecular ion
49:
4518:Zwillinger D (1992).
4390:spherical coordinates
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3314:Cartesian coordinates
3312:between them and the
3300:Unlike the analogous
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3242:
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2353:{\displaystyle \tau }
2335:
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2251:
2200:Cartesian coordinates
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140:
103:electromagnetic field
82:are equal in length.
46:Cartesian coordinates
19:
4883:Elliptic cylindrical
4465:No angles convention
4425:Int. J. Quantum Chem
4388:As is the case with
4353:
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398:{\displaystyle \mu }
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189:
177:-axis: i.e. for any
4898:Bipolar cylindrical
4556:Smythe, WR (1968).
1384:
1353:
1322:
22:coordinate surfaces
4873:Prolate spheroidal
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697:, since they are
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157:-plane, i.e. for
60:coordinate system
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