Knowledge (XXG)

2247: 1527: 2242:{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {P}}(t)={}&A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\&{}+\tau _{\perp }(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau '_{\perp }(t),\\P(0)={}&E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),\\&{}-{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)\\&{}+\tau '_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\tau _{\perp }(t),\end{aligned}}} 7299: 562: 6294: 6785: 3526: 7595: 8692: 7854: 59:(fixed-order LQG problem) overcomes this by fixing a-priori the number of states of the LQG controller. This problem is more difficult to solve because it is no longer separable. Also the solution is no longer unique. Despite these facts numerical algorithms are available to solve the associated optimal projection equations. 261: 872: 3751: 6979: 9474: 8055: 5481: 5219: 5822: 4460: 3135: 2764: 3261: 5954: 7602: 6463: 9608: 7306: 8993: 8394: 6958: 8188: 557:{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=A_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+B_{r}(t){\mathbf {u} }(t)+K_{r}(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),} 8838: 6449: 3894: 671: 51:. Moreover, the solution is unique and constitutes a linear dynamic feedback control law that is easily computed and implemented. Finally the LQG controller is also fundamental to the optimal perturbation control of non-linear systems. 54: 7294:{\displaystyle P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A'_{i}+V_{i}+\tau _{\perp i+1}\Psi _{i}^{1}\tau '_{\perp i+1},P_{0}=E\left({\mathbf {x} }_{0}{\mathbf {x'} }_{0}\right)} 3535: 1532: 5569: 7861: 966: 656: 9287: 9216: 1115: 9071: 4930: 4767: 9499: 5008: 4681: 8278: 5230: 196: 5577: 4568: 4068: 3521:{\displaystyle {\dot {\hat {P}}}(t)=1/2\left(\tau (t)\Psi _{1}(t)+\Psi _{1}(t)\tau '(t)\right),{\hat {P}}(0)=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}(t))=n_{r}} 3240: 2869: 6289:{\displaystyle \Psi _{i}^{1}=\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right){\hat {P}}_{i}\left(A_{i}-B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i})\right)'} 2394: 7849:{\displaystyle {\hat {P}}_{i+1}=1/2(\tau _{i+1}\Psi _{i}^{1}+\Psi _{i}^{1}\tau '_{i+1}),{\hat {P}}_{0}=E({\mathbf {x} }(0))E({\mathbf {x} }(0))',\operatorname {rank} ({\hat {P}}_{i})=n_{r}} 8350: 9275: 6780:{\displaystyle \Psi _{i+1}^{2}=\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)'{\hat {S}}_{i+1}\left(A_{i}-A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}\right)} 121: 4204: 4993: 4156: 2883: 2512: 1198: 9687: 250: 7590:{\displaystyle S_{i}=A'_{i}\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i}+\tau '_{\perp i}\Psi _{i+1}^{2}\tau _{\perp i},S_{N}=F} 8386: 1386: 4196: 1238: 3966: 9751: 8687:{\displaystyle F_{i}^{r}=H_{i+1}\left(A_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}-B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)G'_{i},} 1430: 1472: 9768: 9114: 8067: 5942: 2431: 4814: 2463: 47:, incomplete state information (i.e. not all the state variables are measured and available for feedback) also disturbed by additive white Gaussian noise and quadratic 2496: 1392: 1278: 5863: 2324: 2288: 867:{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=F_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+K_{r}(t){\mathbf {y} }(t),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),} 9795: 3763: 1332: 1499: 9730: 9497: 5889: 1519: 1298: 8846: 6795: 8700: 3746:{\displaystyle -{\dot {\hat {S}}}(t)=1/2\left(\tau '(t)\Psi _{2}(t)+\Psi _{2}(t)\tau (t)\right),{\hat {S}}(T)=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}(t))=n_{r}} 9511:(discrete-time systems with time-varying dimensions). Such systems arise in the case of digital controller design if the sampling occurs asynchronously. 5002: 9567: 6304: 8050:{\displaystyle {\hat {S}}_{i}=1/2(\tau '_{i}\Psi _{i+1}^{2}+\Psi _{i+1}^{2}\tau _{i}),{\hat {S}}_{N}=0,\operatorname {rank} ({\hat {S}}_{i})=n_{r}} 9469:{\displaystyle \tau _{i}{\hat {P}}_{i}={\hat {P}}_{i}\tau '_{i}={\hat {P}}_{i},\tau '_{i}{\hat {S}}_{i}={\hat {S}}_{i}\tau _{i}={\hat {S}}_{i}} 880: 570: 5489: 9666: 977: 9001: 25: 9748: 9684: 5214:{\displaystyle \tau (t){\hat {P}}(t)={\hat {P}}(t)\tau '(t)={\hat {P}}(t),\tau '(t){\hat {S}}(t)={\hat {S}}(t)\tau (t)={\hat {S}}(t)} 4689: 5908: 2397: 1393: 662: 73: 32: 9122: 5476:{\displaystyle {\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)+\tau _{\perp }(t)\Psi _{1}(t)\tau '_{\perp }(t),} 3972: 8199: 5817:{\displaystyle -{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)+\tau '_{\perp }\Psi _{2}(t)\tau _{\perp }(t),} 126: 4822: 3981: 44: 2329: 4576: 9837: 4468: 2506:. To state the additional two matrix differential equations it is convenient to introduce the following two matrices: 9479: 4455:{\displaystyle F_{r}(t)=H(t)\left(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\right)G(t)+{\dot {H}}(t)G'(t),} 3145: 2774: 9704: 8287: 3130:{\displaystyle \Psi _{2}(t)=(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))'{\hat {S}}(t)+{\hat {S}}(t)(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))} 2759:{\displaystyle \Psi _{1}(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)){\hat {P}}(t)+{\hat {P}}(t)(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))'} 9225: 5224: 79: 4939: 4081: 1123: 9827: 201: 123: 9832: 9530: 8355: 1337: 4161: 1203: 3909: 2396: 5871: 1399: 9582: 8183:{\displaystyle \tau _{i}={\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\left({\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\right)^{*}.} 1435: 9568:"The optimal projection equations for reduced-order discrete-time modeling estimation and control" 9079: 5891: 5914: 2403: 9632: 4775: 3889:{\displaystyle \tau (t)={\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\left({\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\right)^{*}.} 2436: 2472: 1254: 5830: 2296: 2255: 9804: 9777: 9739: 9709: 9675: 9641: 9598: 9590: 9543: 9535: 1307: 1477: 9755: 9691: 48: 36: 9586: 8988:{\displaystyle L_{i}^{r}=\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}G'_{i},} 9482: 5907: 5874: 5868: 3900: 1504: 1283: 17: 9743: 9679: 6953:{\displaystyle {}+A'_{i}S_{i+1}B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i}} 9821: 9645: 8833:{\displaystyle K_{i}^{r}=H_{i+1}P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1},} 40: 665:. For the reduced-order LQG control problem it is convenient to rewrite them as 6444:{\displaystyle {}+A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}P_{i}A'_{i}} 9781: 2498: 9713: 9539: 2502:. Together with the previous two matrix differential equations these are the 661: 255: 5944: 9603: 9548: 3251: 961:{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t),} 651:{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t).} 5564:{\displaystyle P(0)=E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),} 9808: 9594: 1240: 1110:{\displaystyle F_{r}(t)=A_{r}(t)-B_{r}(t)L_{r}(t)-K_{r}(t)C_{r}(t).} 9066:{\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}=H_{0}E({\mathbf {x} }_{0}).} 2293: 72: 4762:{\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)=H(0)E({\mathbf {x} }(0)).} 5895:. In that case the derivatives on the left hand side of the 9211:{\displaystyle G'_{i}H_{i}=\tau _{i},G_{i}H'_{i}=I_{n_{r}}} 198: 5948: 4078: 8273:{\displaystyle P_{i},S_{i},{\hat {P}}_{i},{\hat {S}}_{i}} 9222: 4936: 2433: 1304:. The rank of this matrix is almost everywhere equal to 191:{\displaystyle n_{r}=dim({\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t))} 4925:{\displaystyle G'(t)H(t)=\tau (t),G(t)H'(t)=I_{n_{r}}} 2465: 9485: 9290: 9228: 9125: 9082: 9004: 8849: 8703: 8397: 8358: 8290: 8202: 8070: 7864: 7605: 7309: 6982: 6798: 6466: 6307: 5957: 5917: 5877: 5833: 5580: 5492: 5233: 5011: 4942: 4825: 4778: 4692: 4579: 4471: 4207: 4164: 4084: 4063:{\displaystyle P(t),S(t),{\hat {P}}(t),{\hat {S}}(t)} 3984: 3912: 3766: 3538: 3264: 3148: 2886: 2777: 2515: 2475: 2439: 2406: 2332: 2299: 2258: 1530: 1507: 1480: 1438: 1402: 1340: 1310: 1286: 1257: 1206: 1126: 980: 883: 674: 573: 264: 204: 129: 82: 8284: 1334: 28: 9491: 9468: 9269: 9210: 9108: 9065: 8987: 8832: 8686: 8380: 8344: 8272: 8182: 8049: 7848: 7589: 7293: 6952: 6779: 6443: 6288: 5936: 5883: 5857: 5816: 5563: 5475: 5213: 4987: 4924: 4808: 4761: 4675: 4562: 4454: 4190: 4150: 4062: 3960: 3888: 3745: 3520: 3234: 3129: 2863: 2758: 2490: 2457: 2425: 2389:{\displaystyle \tau (t)=I_{n},\tau _{\perp }(t)=0} 2388: 2318: 2282: 2241: 1513: 1493: 1466: 1424: 1380: 1326: 1292: 1272: 1232: 1192: 1109: 960: 866: 650: 556: 244: 190: 115: 5909:conventional discrete-time full-order LQG problem 4676:{\displaystyle L_{r}(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),} 9749:Associated software download from Matlab Central 9685:Associated software download from Matlab Central 9566:Bernstein D.S.; Davis L.D.; Hyland D.C. (1986). 9281:the following identities are especially useful: 9277:. To identify equivalent representations of the 9116:are two matrices with the following properties: 4816:are two matrices with the following properties: 4563:{\displaystyle K_{r}(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),} 3899:Here * denotes the group generalized inverse or 252:, the state dimension of the controlled system. 33:linear-quadratic-Gaussian (LQG) control problem 3235:{\displaystyle {}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).} 2864:{\displaystyle {}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),} 8345:{\displaystyle F_{i}^{r},K_{i}^{r},L_{i}^{r}} 63:Mathematical problem formulation and solution 8: 9270:{\displaystyle {\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}} 116:{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)} 9509:variable state, input and output dimensions 74:conventional full-order LQG control problem 9797:Journal of Guidance, Control, and Dynamics 9575:Journal of Guidance, Control, and Dynamics 8061:The oblique projection matrix is given by 4988:{\displaystyle {\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)} 4151:{\displaystyle F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)} 1193:{\displaystyle F_{r}(t),K_{r}(t),L_{r}(t)} 9627: 9625: 9602: 9547: 9507:apply also to discrete-time systems with 9484: 9460: 9449: 9448: 9438: 9428: 9417: 9416: 9406: 9395: 9394: 9384: 9371: 9360: 9359: 9346: 9336: 9325: 9324: 9314: 9303: 9302: 9295: 9289: 9261: 9250: 9249: 9242: 9231: 9230: 9227: 9200: 9195: 9179: 9169: 9156: 9143: 9130: 9124: 9100: 9087: 9081: 9051: 9045: 9044: 9031: 9018: 9013: 9007: 9006: 9003: 8973: 8957: 8944: 8931: 8920: 8907: 8891: 8878: 8859: 8854: 8848: 8818: 8807: 8791: 8781: 8771: 8752: 8742: 8726: 8713: 8708: 8702: 8672: 8651: 8638: 8625: 8614: 8601: 8585: 8572: 8556: 8543: 8530: 8519: 8503: 8493: 8483: 8464: 8454: 8441: 8420: 8407: 8402: 8396: 8372: 8367: 8361: 8360: 8357: 8336: 8331: 8318: 8313: 8300: 8295: 8289: 8264: 8253: 8252: 8242: 8231: 8230: 8220: 8207: 8201: 8171: 8160: 8149: 8148: 8141: 8130: 8129: 8116: 8105: 8104: 8097: 8086: 8085: 8075: 8069: 8041: 8025: 8014: 8013: 7988: 7977: 7976: 7963: 7953: 7942: 7929: 7918: 7905: 7890: 7878: 7867: 7866: 7863: 7840: 7824: 7813: 7812: 7776: 7775: 7751: 7750: 7735: 7724: 7723: 7701: 7691: 7686: 7673: 7668: 7652: 7637: 7619: 7608: 7607: 7604: 7575: 7559: 7549: 7538: 7522: 7509: 7496: 7475: 7462: 7449: 7438: 7425: 7409: 7396: 7380: 7364: 7345: 7327: 7314: 7308: 7280: 7269: 7268: 7261: 7255: 7254: 7236: 7211: 7201: 7196: 7177: 7164: 7148: 7133: 7123: 7110: 7099: 7083: 7073: 7063: 7044: 7034: 7021: 7006: 6987: 6981: 6944: 6928: 6915: 6902: 6892: 6879: 6863: 6850: 6837: 6821: 6808: 6799: 6797: 6766: 6753: 6743: 6727: 6717: 6707: 6691: 6681: 6671: 6658: 6637: 6626: 6625: 6609: 6596: 6586: 6570: 6560: 6550: 6534: 6524: 6514: 6501: 6482: 6471: 6465: 6432: 6422: 6412: 6399: 6389: 6373: 6363: 6353: 6337: 6327: 6317: 6308: 6306: 6268: 6252: 6239: 6226: 6216: 6203: 6187: 6174: 6161: 6148: 6132: 6121: 6120: 6105: 6089: 6076: 6063: 6053: 6040: 6024: 6011: 5998: 5985: 5967: 5962: 5956: 5922: 5916: 5876: 5832: 5796: 5777: 5764: 5695: 5585: 5584: 5579: 5534: 5533: 5517: 5516: 5491: 5452: 5433: 5414: 5350: 5235: 5234: 5232: 5191: 5190: 5155: 5154: 5131: 5130: 5090: 5089: 5049: 5048: 5025: 5024: 5010: 4965: 4964: 4944: 4943: 4941: 4914: 4909: 4824: 4777: 4738: 4737: 4701: 4695: 4694: 4691: 4606: 4584: 4578: 4539: 4476: 4470: 4412: 4411: 4344: 4295: 4212: 4206: 4173: 4167: 4166: 4163: 4133: 4111: 4089: 4083: 4074:. Then they constitute a solution of the 4040: 4039: 4016: 4015: 3983: 3946: 3936: 3917: 3911: 3877: 3852: 3851: 3831: 3830: 3804: 3803: 3783: 3782: 3765: 3737: 3707: 3706: 3668: 3667: 3632: 3610: 3576: 3545: 3543: 3542: 3537: 3512: 3482: 3481: 3446: 3445: 3421: 3420: 3391: 3390: 3350: 3328: 3299: 3268: 3266: 3265: 3263: 3182: 3149: 3147: 3094: 3023: 3022: 2999: 2998: 2960: 2891: 2885: 2816: 2778: 2776: 2701: 2647: 2646: 2623: 2622: 2572: 2520: 2514: 2474: 2438: 2411: 2405: 2365: 2352: 2331: 2310: 2298: 2257: 2217: 2166: 2120: 2111: 2042: 1932: 1931: 1926: 1892: 1891: 1875: 1874: 1862: 1822: 1776: 1728: 1719: 1655: 1559: 1536: 1535: 1531: 1529: 1506: 1485: 1479: 1443: 1437: 1407: 1401: 1345: 1339: 1315: 1309: 1285: 1256: 1215: 1209: 1208: 1205: 1175: 1153: 1131: 1125: 1089: 1070: 1048: 1029: 1007: 985: 979: 940: 929: 927: 926: 910: 885: 884: 882: 846: 840: 839: 820: 809: 807: 806: 787: 786: 771: 749: 738: 736: 735: 719: 697: 681: 679: 677: 676: 673: 630: 619: 617: 616: 600: 575: 574: 572: 536: 530: 529: 510: 499: 497: 496: 472: 461: 459: 458: 442: 420: 419: 399: 377: 376: 361: 339: 328: 326: 325: 309: 287: 271: 269: 267: 266: 263: 224: 223: 203: 170: 159: 157: 156: 134: 128: 98: 87: 85: 84: 81: 245:{\displaystyle n=dim({\mathbf {x} }(t))} 9561: 9559: 9525: 9523: 9519: 9725: 9723: 9706:IEEE Transactions on Automatic Control 9661: 9659: 9657: 9655: 9532:IEEE Transactions on Automatic Control 8381:{\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}} 2398:conventional full-order LQG controller 1394:conventional full-order LQG controller 1381:{\displaystyle \tau ^{2}(t)=\tau (t).} 663:conventional full-order LQG controller 4191:{\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)} 1251:The square optimal projection matrix 1233:{\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)} 7: 9076:In the equations above the matrices 5911:is the a-priori fixed reduced-order 4772:In the equations above the matrices 3961:{\displaystyle A^{*}=A(A^{3})^{+}A.} 1501:is the identity matrix of dimension 26:necessary and sufficient conditions 7939: 7915: 7683: 7665: 7535: 7193: 6468: 5959: 5774: 5430: 3629: 3607: 3347: 3325: 2888: 2517: 14: 1425:{\displaystyle \tau _{\perp }(t)} 9770:International Journal of Control 9046: 9008: 8362: 7777: 7752: 7271: 7256: 5535: 5518: 4739: 4696: 4168: 3447: 3422: 1893: 1876: 1210: 930: 886: 841: 810: 788: 739: 682: 620: 576: 531: 500: 462: 421: 378: 329: 272: 225: 160: 88: 39:problems. It concerns uncertain 9611:from the original on 2022-01-09 35:is one of the most fundamental 9454: 9422: 9400: 9365: 9330: 9308: 9255: 9236: 9057: 9040: 8258: 8236: 8195:nonnegative symmetric matrices 8154: 8135: 8110: 8091: 8031: 8019: 8009: 7982: 7969: 7898: 7872: 7830: 7818: 7808: 7792: 7788: 7782: 7772: 7766: 7763: 7757: 7747: 7729: 7716: 7645: 7613: 6899: 6843: 6750: 6700: 6631: 6593: 6543: 6396: 6346: 6274: 6223: 6167: 6126: 6111: 6060: 6004: 5843: 5837: 5808: 5802: 5789: 5783: 5754: 5748: 5739: 5733: 5727: 5721: 5710: 5704: 5688: 5682: 5676: 5670: 5661: 5655: 5649: 5643: 5634: 5628: 5622: 5616: 5602: 5596: 5550: 5544: 5529: 5523: 5502: 5496: 5467: 5461: 5445: 5439: 5426: 5420: 5404: 5398: 5389: 5383: 5377: 5371: 5365: 5359: 5343: 5337: 5326: 5320: 5311: 5305: 5294: 5288: 5279: 5273: 5267: 5261: 5252: 5246: 5208: 5202: 5196: 5184: 5178: 5172: 5166: 5160: 5148: 5142: 5136: 5127: 5121: 5107: 5101: 5095: 5083: 5077: 5066: 5060: 5054: 5042: 5036: 5030: 5021: 5015: 4982: 4976: 4970: 4961: 4955: 4949: 4899: 4893: 4882: 4876: 4867: 4861: 4852: 4846: 4840: 4834: 4803: 4797: 4788: 4782: 4753: 4750: 4744: 4734: 4728: 4722: 4713: 4707: 4667: 4661: 4650: 4644: 4638: 4632: 4621: 4615: 4596: 4590: 4554: 4548: 4532: 4526: 4515: 4509: 4503: 4497: 4488: 4482: 4446: 4440: 4429: 4423: 4405: 4399: 4388: 4382: 4376: 4370: 4359: 4353: 4337: 4331: 4322: 4316: 4310: 4304: 4288: 4282: 4271: 4265: 4256: 4250: 4239: 4233: 4224: 4218: 4185: 4179: 4145: 4139: 4123: 4117: 4101: 4095: 4057: 4051: 4045: 4033: 4027: 4021: 4009: 4003: 3994: 3988: 3943: 3929: 3869: 3863: 3857: 3848: 3842: 3836: 3821: 3815: 3809: 3800: 3794: 3788: 3776: 3770: 3727: 3724: 3718: 3712: 3703: 3685: 3679: 3673: 3656: 3650: 3644: 3638: 3622: 3616: 3603: 3597: 3567: 3561: 3550: 3502: 3499: 3493: 3487: 3478: 3462: 3458: 3452: 3442: 3436: 3433: 3427: 3417: 3408: 3402: 3396: 3379: 3373: 3362: 3356: 3340: 3334: 3321: 3315: 3290: 3284: 3273: 3226: 3220: 3214: 3208: 3197: 3191: 3175: 3169: 3163: 3157: 3124: 3121: 3115: 3109: 3103: 3087: 3081: 3070: 3064: 3055: 3049: 3043: 3040: 3034: 3028: 3016: 3010: 3004: 2991: 2987: 2981: 2975: 2969: 2953: 2947: 2936: 2930: 2921: 2915: 2909: 2903: 2897: 2855: 2849: 2843: 2837: 2831: 2825: 2809: 2803: 2792: 2786: 2749: 2745: 2739: 2733: 2727: 2716: 2710: 2694: 2688: 2679: 2673: 2667: 2664: 2658: 2652: 2640: 2634: 2628: 2619: 2616: 2610: 2604: 2598: 2587: 2581: 2565: 2559: 2550: 2544: 2538: 2532: 2526: 2485: 2479: 2449: 2443: 2377: 2371: 2342: 2336: 2268: 2262: 2229: 2223: 2210: 2204: 2198: 2192: 2181: 2175: 2159: 2153: 2147: 2141: 2135: 2129: 2101: 2095: 2086: 2080: 2074: 2068: 2057: 2051: 2035: 2029: 2023: 2017: 2008: 2002: 1996: 1990: 1981: 1975: 1969: 1963: 1949: 1943: 1908: 1902: 1887: 1881: 1856: 1850: 1837: 1831: 1815: 1809: 1803: 1797: 1791: 1785: 1769: 1763: 1752: 1746: 1740: 1734: 1709: 1703: 1694: 1688: 1682: 1676: 1670: 1664: 1648: 1642: 1631: 1625: 1616: 1610: 1599: 1593: 1584: 1578: 1572: 1566: 1553: 1547: 1467:{\displaystyle I_{n}-\tau (t)} 1461: 1455: 1419: 1413: 1372: 1366: 1357: 1351: 1267: 1261: 1227: 1221: 1187: 1181: 1165: 1159: 1143: 1137: 1101: 1095: 1082: 1076: 1060: 1054: 1041: 1035: 1019: 1013: 997: 991: 952: 946: 934: 922: 916: 897: 891: 858: 852: 832: 826: 814: 799: 793: 783: 777: 761: 755: 743: 731: 725: 709: 703: 686: 642: 636: 624: 612: 606: 587: 581: 548: 542: 522: 516: 504: 484: 478: 466: 454: 448: 432: 426: 411: 405: 389: 383: 373: 367: 351: 345: 333: 321: 315: 299: 293: 276: 239: 236: 230: 220: 185: 182: 176: 164: 152: 110: 104: 92: 1: 9744:10.1016/S0005-1098(98)00138-1 9680:10.1016/s0947-3580(00)70917-4 9634:Systems & Control Letters 45:additive white Gaussian noise 9646:10.1016/0167-6911(93)90020-7 3903:that is unique and given by 1242:optimal projection equations 22:optimal projection equations 9668:European Journal of Control 9109:{\displaystyle G_{i},H_{i}} 3973:Moore–Penrose pseudoinverse 9854: 5937:{\displaystyle n_{r}<n} 2426:{\displaystyle n_{r}<n} 9782:10.1080/00207179208934308 9534:. AC-29 (11): 1034–1037. 4809:{\displaystyle G(t),H(t)} 2469:. The oblique projection 2458:{\displaystyle \tau (t).} 57:reduced-order LQG problem 9714:10.1109/TAC.1971.1099818 9540:10.1109/TAC.1984.1103418 2491:{\displaystyle \tau (t)} 1273:{\displaystyle \tau (t)} 5858:{\displaystyle S(T)=F.} 2319:{\displaystyle n=n_{r}} 2283:{\displaystyle S(T)=F.} 9708:. 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In these equations 1383: 1329: 1295: 1275: 1235: 1195: 1112: 963: 869: 653: 559: 247: 193: 118: 9483: 9288: 9226: 9123: 9080: 9002: 8847: 8701: 8395: 8356: 8288: 8200: 8068: 7862: 7603: 7307: 6980: 6796: 6464: 6305: 5955: 5915: 5875: 5831: 5578: 5490: 5231: 5009: 4940: 4823: 4776: 4690: 4577: 4469: 4205: 4162: 4082: 3982: 3971:where + denotes the 3910: 3764: 3536: 3262: 3146: 2884: 2775: 2513: 2473: 2437: 2404: 2330: 2297: 2256: 1528: 1505: 1478: 1436: 1400: 1338: 1308: 1284: 1255: 1204: 1124: 978: 881: 672: 571: 262: 202: 127: 80: 9587:1986JGCD....9..288B 9392: 9354: 9187: 9138: 9023: 8981: 8952: 8886: 8864: 8799: 8760: 8718: 8680: 8646: 8580: 8511: 8472: 8412: 8377: 8341: 8323: 8305: 7958: 7934: 7913: 7715: 7696: 7678: 7554: 7533: 7470: 7404: 7335: 7228: 7206: 7156: 7091: 7052: 6923: 6858: 6816: 6735: 6699: 6578: 6542: 6487: 6440: 6381: 6345: 6247: 6182: 6084: 6019: 5972: 5772: 5460: 2128: 1830: 9838:Stochastic control 9754:2019-10-18 at the 9690:2022-01-09 at the 9489: 9466: 9380: 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