3409:
3103:
7919:
3404:{\displaystyle {\begin{matrix}H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E_{2}/F),E_{1}^{\times })&\to &H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E_{1}/F),E_{1}^{\times })\\\downarrow &&\downarrow \\\left({\frac {1}{}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} &\to &\left({\frac {1}{}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \end{matrix}}}
6853:
1767:
2775:
4153:
7761:
2457:
5424:
4922:
4270:
3705:
3092:
5803:
2632:
7333:
3505:
6711:
7473:
5105:
6126:
4472:
2219:
2907:
4817:
3847:
6922:
5203:
2018:
8198:
4386:
7661:
6331:-algebras that is Ă©tale locally isomorphic to a matrix algebra sheaf; one should, however, add the condition that each matrix algebra sheaf is of positive rank. This definition makes an Azumaya algebra on
5862:
This is important because it directly relates to the cohomological classification of similarity classes of
Azumaya algebras over a scheme. In particular, it implies an Azumaya algebra has structure group
6228:
1625:
5993:
7008:
of a field) is the set of equivalence classes of
Azumaya algebras. The group operation is given by tensor product, and the inverse is given by the opposite algebra. Note that this is distinct from the
7753:
4989:
7066:
6052:
1855:
2663:
4017:
4009:
3944:
5581:
1062:
4756:
632:
383:
7914:{\displaystyle {\mathcal {End}}_{k}({\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b))={\begin{pmatrix}{\mathcal {O}}&{\mathcal {O}}(b-a)\\{\mathcal {O}}(a-b)&{\mathcal {O}}\end{pmatrix}}}
4665:
1311:
7139:
5313:
3589:
1494:
6419:
1617:
2359:
6372:
5321:
2133:
2090:
7956:
7598:
7404:
6569:
4828:
931:
823:
670:
7367:
6953:
6703:
6672:
6634:
6603:
6509:
6478:
6329:
6274:
1126:
1094:
439:
5890:
5481:
5027:
2841:
4620:
6447:
6298:
5274:
4164:
3597:
2351:
1185:
291:
2960:
7178:
2968:
1382:
728:
7550:
1553:
1347:
1266:
696:
2313:
1926:
3755:
8191:
5708:
5518:
4504:
2532:
1438:
5680:
7186:
6156:
5833:
6982:
3431:
7499:
5232:
4576:
2524:
2047:
1798:
1213:
5860:
7996:
7976:
7701:
7681:
7002:
6848:{\displaystyle A_{1}\otimes \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{1})\simeq A_{2}\otimes \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{2}),}
6529:
5910:
5700:
5654:
5538:
3883:
3728:
3528:
2806:
2655:
2484:
1895:
1517:
1402:
1233:
1154:
1011:
991:
971:
951:
883:
863:
843:
777:
748:
584:
556:
530:
510:
490:
463:
407:
338:
315:
258:
234:
214:
190:
170:
150:
94:
66:
46:
5622:
4706:
4545:
7409:
5035:
6060:
4394:
2853:
4764:
3763:
8229:
8167:
6861:
5116:
2138:
4281:
7603:
1934:
1762:{\displaystyle x^{i}\cdot x^{j}={\begin{cases}x^{i+j}&{\text{ if }}i+j<n\\x^{i+j-n}b&{\text{ if }}i+j\geq n\\\end{cases}}}
8362:
8332:
8090:
1136:
There is a class of
Azumaya algebras called cyclic algebras which generate all similarity classes of Azumaya algebras over a field
6161:
8051:
5922:
5484:
7706:
4933:
2770:{\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(F)={\underset {E/F}{\text{colim}}}H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E/F),E^{\times })}
7015:
6001:
4148:{\displaystyle R_{n,F}:K_{2}^{M}(F)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to H_{et}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}
1803:
8354:
8077:
780:
3949:
3892:
5543:
1016:
4715:
592:
343:
8303:
4625:
1271:
7094:
5279:
3537:
2452:{\displaystyle {\text{Br}}_{\text{coh}}(R):={\text{H}}_{et}^{2}({\text{Spec}}(R),\mathbb {G} _{m})_{\text{tors}}}
1449:
559:
6377:
4158:
It comes from the composition of the cup product in etale cohomology with the
Hilbert's Theorem 90 isomorphism
2844:
1558:
5419:{\displaystyle \delta ({\overline {\chi }})\cup (b)\cup (\zeta )\in H_{\text{et}}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}
4917:{\displaystyle H_{\text{Gal}}^{1}(F,\mathbb {Z} /n)\xrightarrow {\delta } H_{\text{Gal}}^{2}(F,\mathbb {Z} )}
6334:
3531:
2318:
is a well defined operation. This forms a group structure on the set of such equivalence classes called the
8395:
7927:
7569:
7372:
6537:
784:
109:
97:
25:
900:
790:
637:
7341:
6927:
6677:
6646:
6608:
6577:
6483:
6452:
6303:
6248:
4265:{\displaystyle \chi _{n,F}:F^{*}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\to H_{\text{et}}^{1}(F,\mu _{n})}
3700:{\displaystyle 0\to H_{et}^{2}(F,\mu _{n})\to {\text{Br}}(F)\xrightarrow {\cdot n} {\text{Br}}(F)\to 0}
1099:
1067:
412:
5866:
5432:
4997:
2817:
2095:
2052:
8390:
8007:
6641:
4581:
3087:{\displaystyle 0\to {\text{Gal}}(E_{2}/E_{1})\to {\text{Gal}}(E_{2}/F)\to {\text{Gal}}(E_{1}/F)\to 0}
8122:
6428:
6279:
5717:
5237:
2325:
1660:
1159:
263:
5836:
2915:
1866:
69:
7144:
1352:
701:
8046:
8041:
8036:
7510:
1522:
1316:
886:
386:
294:
105:
5913:
5798:{\displaystyle {\begin{cases}A^{*}\to {\text{Aut}}(A)\\a\mapsto (x\mapsto a^{-1}xa)\end{cases}}}
2627:{\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(E/F):=H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E/F),E^{\times })}
1238:
675:
2227:
8400:
8358:
8328:
8235:
8225:
8173:
8163:
8096:
8086:
8015:
7328:{\displaystyle A_{a,b}={\frac {\mathbb {Z} \langle i,j,k\rangle }{i^{2}-a,j^{2}-b,ij-k,ji+k}}}
4709:
3733:
2495:
563:
533:
5490:
4477:
3500:{\displaystyle 1\to \mu _{n}\to \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {\cdot n} \mathbb {G} _{m}\to 1}
1410:
8368:
8338:
8292:
8276:
5659:
4548:
469:
117:
8288:
7406:
has the structure of an
Azumaya algebra. The reason for restricting to the open affine set
6134:
5811:
8372:
8342:
8324:
8296:
8284:
8272:
8146:
meaning it is an integral variety when extended to the algebraic closure of its base field
8019:
6958:
6243:
3886:
1900:
7478:
5211:
4553:
2501:
2026:
1775:
1190:
5842:
7981:
7961:
7686:
7666:
7502:
6987:
6514:
5895:
5685:
5639:
5523:
3868:
3713:
3513:
2791:
2640:
2469:
1880:
1502:
1387:
1218:
1139:
996:
976:
956:
936:
868:
848:
828:
762:
733:
587:
569:
541:
515:
495:
475:
448:
392:
323:
300:
243:
237:
219:
199:
175:
155:
135:
79:
51:
31:
7468:{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )\hookrightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}
5586:
4670:
4509:
8384:
5100:{\displaystyle {\overline {\chi }}:{\text{Gal}}({\overline {F}}/F)\to \mathbb {Z} /n}
3862:
2809:
442:
2353:. Another definition is given by the torsion subgroup of the etale cohomology group
7005:
5998:
gives a cohomological classification of such bundles. Then, this can be related to
1870:
113:
73:
6121:{\displaystyle 1\to \mathbb {G} _{m}\to {\text{GL}}_{n}\to {\text{PGL}}_{n}\to 1}
3414:
where the vertical maps are isomorphisms and the horizontal maps are injections.
101:
17:
8260:
8104:
3097:
and from Local class field theory, there is the following commutative diagram:
1865:
Over fields, there is a cohomological classification of
Azumaya algebras using
120:
from 1964–65. There are now several points of access to the basic definitions.
8011:
6532:
4467:{\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(F,\mu _{n})={\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}}
1800:, there is also an associated cyclic algebra for the quotient field extension
8323:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlin etc.:
8239:
8177:
8353:. Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 94. Providence, RI:
8100:
7091:
The construction of a quaternion algebra over a field can be globalized to
2902:{\displaystyle {\text{Br}}^{\text{coh}}(F)\cong \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}
8219:
8157:
7475:
is because the quaternion algebra is a division algebra over the points
4812:{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\to 0}
3842:{\displaystyle H_{et}^{2}(F,\mu _{n})={\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}.}
8280:
6917:{\displaystyle \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{i})}
5198:{\displaystyle \delta ({\overline {\chi }})\cup (b)=\in {\text{Br}}(F)}
5632:
One of the important structure results about
Azumaya algebras is the
8224:(Second ed.). Boston, MA: Birkhäuser Boston. pp. 145–193.
7958:
can be constructed from this sheaf tensored with an
Azumaya algebra
4876:
3668:
3470:
2780:
where the colimit is taken over all finite Galois field extensions.
2049:. Then, this equivalence is in fact an equivalence relation, and if
4712:
and etale cohomology. Consider the short exact sequence of trivial
3710:
showing the second etale cohomology group with coefficients in the
2214:{\displaystyle A_{1}\otimes _{R}A_{2}\sim A_{1}'\otimes _{R}A_{2}'}
8031:
4381:{\displaystyle R_{n,F}(\{a,b\})=\chi _{n,F}(a)\cup \chi _{n,F}(b)}
8271:, Lecture Notes in Mathematics, vol. 389, Berlin, New York:
7656:{\displaystyle {\mathcal {End}}_{k}({\mathcal {E}})\otimes _{k}A}
2494:
There is another equivalent definition of the Brauer group using
2013:{\displaystyle A\otimes _{R}M_{n}(R)\cong A'\otimes _{R}M_{m}(R)}
8006:
There have been significant applications of
Azumaya algebras in
4708:. There is an alternative, yet equivalent construction through
1187:(defined below). Given a finite cyclic Galois field extension
6276:, according to the original Grothendieck seminar, is a sheaf
7898:
7874:
7848:
7839:
7809:
7790:
7774:
7771:
7768:
7731:
7712:
7632:
7616:
7613:
7610:
7379:
7348:
6934:
6900:
6881:
6828:
6809:
6763:
6744:
6684:
6653:
6615:
6584:
6544:
6490:
6459:
6434:
6397:
6350:
6310:
6285:
6255:
6223:{\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})_{tors}}
1096:, hence all examples come from central simple algebras over
5988:{\displaystyle {\check {H}}^{1}((X)_{et},{\text{PGL}}_{n})}
5791:
1755:
7748:{\displaystyle {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)}
4984:{\displaystyle \chi :{\text{Gal}}(E/F)\to \mathbb {Z} /n}
8218:
Srinivas, V. (1994). "8. The
Merkurjev-Suslin Theorem".
6425:, starts instead from the definition that it is a sheaf
3510:
giving a long exact sequence in cohomology for a field
7834:
3108:
7984:
7964:
7930:
7764:
7709:
7689:
7669:
7606:
7572:
7513:
7481:
7412:
7375:
7344:
7189:
7147:
7097:
7061:{\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})}
7018:
6990:
6961:
6930:
6864:
6714:
6680:
6649:
6611:
6580:
6540:
6517:
6486:
6455:
6431:
6380:
6337:
6306:
6282:
6251:
6164:
6137:
6063:
6047:{\displaystyle H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})}
6004:
5925:
5898:
5869:
5845:
5814:
5711:
5702:
are inner. Meaning, the following map is surjective:
5688:
5662:
5642:
5589:
5546:
5526:
5493:
5435:
5324:
5282:
5276:. Then, since there exists a primitive root of unity
5240:
5214:
5119:
5038:
5000:
4936:
4831:
4767:
4718:
4673:
4628:
4584:
4556:
4512:
4480:
4397:
4284:
4167:
4020:
3952:
3895:
3871:
3766:
3736:
3716:
3600:
3540:
3516:
3434:
3106:
2971:
2918:
2856:
2820:
2794:
2666:
2643:
2535:
2504:
2472:
2362:
2328:
2230:
2141:
2098:
2055:
2029:
1937:
1903:
1883:
1850:{\displaystyle {\text{Frac}}(X_{L})/{\text{Frac}}(X)}
1806:
1778:
1628:
1561:
1525:
1505:
1452:
1413:
1390:
1355:
1319:
1274:
1241:
1221:
1193:
1162:
1142:
1102:
1070:
1019:
999:
979:
959:
939:
903:
871:
851:
831:
793:
765:
736:
704:
678:
640:
595:
572:
544:
518:
498:
478:
451:
415:
395:
346:
326:
303:
266:
246:
222:
202:
178:
158:
138:
82:
54:
34:
779:, Azumaya algebras are completely classified by the
192:
obeying any of the following equivalent conditions:
787:. These are algebras isomorphic to the matrix ring
7990:
7970:
7950:
7913:
7747:
7695:
7675:
7655:
7592:
7544:
7493:
7467:
7398:
7361:
7327:
7172:
7133:
7060:
6996:
6976:
6947:
6916:
6847:
6697:
6666:
6628:
6597:
6563:
6523:
6503:
6472:
6441:
6413:
6366:
6323:
6292:
6268:
6222:
6150:
6120:
6046:
5987:
5904:
5884:
5854:
5827:
5797:
5694:
5674:
5648:
5616:
5575:
5532:
5512:
5475:
5418:
5307:
5268:
5226:
5197:
5099:
5021:
4983:
4916:
4811:
4750:
4700:
4659:
4614:
4570:
4539:
4498:
4466:
4380:
4264:
4147:
4004:{\displaystyle H_{et}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})}
4003:
3939:{\displaystyle K_{2}^{M}(F)\otimes \mathbb {Z} /n}
3938:
3877:
3841:
3749:
3722:
3699:
3583:
3522:
3499:
3403:
3086:
2954:
2901:
2835:
2800:
2769:
2649:
2626:
2518:
2478:
2451:
2345:
2307:
2213:
2127:
2084:
2041:
2012:
1920:
1889:
1849:
1792:
1761:
1611:
1547:
1511:
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1376:
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1148:
1120:
1088:
1056:
1005:
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504:
484:
457:
433:
401:
377:
332:
309:
285:
252:
228:
208:
184:
164:
144:
112:made it the basis for his geometric theory of the
88:
72:. Such a notion was introduced in a 1951 paper of
60:
40:
6705:of finite positive rank at every point such that
3857:-torsion classes in the Brauer group over a field
2962:there is a short exact sequence of Galois groups
2526:there is a cohomological Brauer group defined as
5576:{\displaystyle {\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}}
1772:Note that give a geometrically integral variety
1057:{\displaystyle A\otimes _{R}(R/{\mathfrak {m}})}
8085:. Princeton, N.J.: Princeton University Press.
7555:which is true at all but finitely many primes.
4751:{\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {F}}/F)}
2912:This is because given abelian field extensions
8192:"Lectures on Cohomological Class Field Theory"
8022:is defined using the Brauer group of schemes.
3591:, there is an associated short exact sequence
1443:and the following commutation property holds:
627:{\displaystyle A\otimes _{R}A^{\mathrm {op} }}
378:{\displaystyle A^{\mathrm {op} }\otimes _{R}A}
889:provide examples of central simple algebras.
8:
8269:Théorie de la descente et algèbres d'Azumaya
8267:Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974),
7252:
7234:
5467:
5455:
4660:{\displaystyle \sigma \in {\text{Gal}}(E/F)}
4493:
4481:
4316:
4304:
3865:, or norm-residue symbol, is a map from the
1306:{\displaystyle \sigma \in {\text{Gal}}(L/K)}
7134:{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}
5308:{\displaystyle \zeta \in \mu _{n}\subset F}
3584:{\displaystyle H^{1}(F,\mathbb {G} _{m})=0}
1489:{\displaystyle l\cdot x=\sigma (x)\cdot l.}
8121:Borceux, Francis; Vitale, Enrico (2002).
7983:
7963:
7942:
7937:
7933:
7932:
7929:
7897:
7896:
7873:
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7847:
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7838:
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7829:
7808:
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7789:
7788:
7779:
7767:
7766:
7763:
7730:
7729:
7711:
7710:
7708:
7703:. For example, the endomorphism sheaf of
7688:
7668:
7644:
7631:
7630:
7621:
7609:
7608:
7605:
7584:
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7575:
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7458:
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7449:
7432:
7422:
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7378:
7377:
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7106:
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7044:
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7023:
7017:
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6960:
6939:
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6929:
6905:
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6886:
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6464:
6458:
6457:
6454:
6433:
6432:
6430:
6414:{\displaystyle M_{n}({\mathcal {O}}_{X})}
6402:
6396:
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6385:
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6355:
6349:
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5525:
5498:
5492:
5440:
5434:
5429:It turns out this is precisely the class
5404:
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5293:
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3900:
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3870:
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3810:
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3741:
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3715:
3677:
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3638:
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3599:
3566:
3562:
3561:
3545:
3539:
3515:
3485:
3481:
3480:
3460:
3456:
3455:
3445:
3433:
3425:Recall that there is the Kummer sequence
3393:
3392:
3387:
3378:
3377:
3359:
3346:
3330:
3329:
3324:
3315:
3314:
3302:
3289:
3276:
3245:
3240:
3222:
3216:
3204:
3195:
3190:
3170:
3165:
3147:
3141:
3129:
3120:
3115:
3107:
3105:
3067:
3061:
3049:
3035:
3029:
3017:
3005:
2996:
2990:
2978:
2970:
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2923:
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2891:
2886:
2882:
2881:
2863:
2858:
2855:
2847:gives the isomorphism of abelian groups:
2827:
2823:
2822:
2819:
2793:
2758:
2740:
2729:
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2700:
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2665:
2642:
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2597:
2586:
2577:
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2116:
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1709:
1681:
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1655:
1646:
1633:
1627:
1612:{\displaystyle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}}
1597:
1578:
1560:
1539:
1524:
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1451:
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1252:
1240:
1220:
1197:
1192:
1163:
1161:
1156:, hence all elements in the Brauer group
1141:
1112:
1111:
1106:
1101:
1080:
1079:
1074:
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978:
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735:
703:
677:
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450:
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420:
414:
394:
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345:
325:
302:
274:
265:
245:
221:
201:
177:
157:
137:
81:
53:
33:
8321:Quadratic and Hermitian forms over rings
8063:
7600:Azumaya algebras can be constructed as
2637:and the cohomological Brauer group for
1928:are similar if there is an isomorphism
6367:{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
6158:is a subgroup of the torsion subgroup
4391:It turns out this map factors through
993:is free of positive finite rank as an
100:. The notion was developed further in
8304:Explicit examples of Azumaya algebras
5583:are generated by the cyclic algebras
4822:The long exact sequence yields a map
7:
8213:
8211:
8071:
8069:
8067:
7951:{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}
7593:{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}
7399:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{a,b}}
6564:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
5234:is from the Hilberts theorem 90 map
2490:Brauer group using Galois cohomology
8162:. New York, NY: Springer New York.
6374:into a 'twisted-form' of the sheaf
4667:of the cyclic group, and construct
4506:is represented by a cyclic algebra
2788:Over a local non-archimedean field
2466:. These two definitions agree when
1313:there is a twisted polynomial ring
1113:
1081:
1046:
926:{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
915:
818:{\displaystyle \mathrm {M} _{n}(D)}
665:{\displaystyle {\text{End}}_{R}(A)}
8204:from the original on 22 June 2020.
7362:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
7141:by considering the noncommutative
6948:{\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}
6873:
6870:
6867:
6801:
6798:
6795:
6736:
6733:
6730:
6698:{\displaystyle {\mathcal {E}}_{2}}
6667:{\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}}
6629:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}
6598:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}
6504:{\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}}
6473:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
6324:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
6269:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2023:of rings for some natural numbers
1869:. In fact, this group, called the
796:
618:
615:
425:
422:
356:
353:
14:
8252:Brauer group and Azumaya algebras
5636:: given a local commutative ring
1121:{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}
1089:{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}
1064:is a central simple algebra over
434:{\displaystyle A^{\mathrm {op} }}
8052:Norm residue isomorphism theorem
7998:, such as a quaternion algebra.
5885:{\displaystyle {\text{PGL}}_{n}}
5485:norm residue isomorphism theorem
5476:{\displaystyle R_{n,F}(\{a,b\})}
5022:{\displaystyle \chi (\sigma )=1}
2836:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
2128:{\displaystyle A_{2}\sim A_{2}'}
2085:{\displaystyle A_{1}\sim A_{1}'}
1877:of Azumaya algebras over a ring
6531:is an Azumaya algebra over the
6238:An Azumaya algebra on a scheme
4615:{\displaystyle E=F({\sqrt{a}})}
897:Given a local commutative ring
8130:Applied Categorical Structures
7891:
7879:
7865:
7853:
7823:
7820:
7814:
7801:
7795:
7785:
7742:
7736:
7723:
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7637:
7627:
7527:
7514:
7488:
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7231:
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6971:
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6894:
6839:
6822:
6774:
6757:
6442:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
6408:
6391:
6361:
6338:
6293:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
6202:
6180:
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6097:
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5341:
5328:
5269:{\displaystyle \chi _{n,F}(b)}
5263:
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5175:
5172:
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3971:
3946:to the etale cohomology group
3917:
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1033:
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904:
812:
806:
708:
659:
653:
286:{\displaystyle B\otimes _{R}A}
1:
8355:American Mathematical Society
8351:Lectures on division algebras
6924:is the endomorphism sheaf of
2955:{\displaystyle E_{2}/E_{1}/F}
2784:Computation for a local field
1873:, can be also defined as the
1619:with multiplication given by
8156:Serre, Jean-Pierre. (1979).
7173:{\displaystyle \mathbb {Z} }
5682:, the only automorphisms of
5336:
5131:
5065:
5044:
4732:
1377:{\displaystyle A(\sigma ,b)}
723:{\displaystyle x\mapsto axb}
7924:so an Azumaya algebra over
7545:{\displaystyle (a,b)_{p}=1}
1548:{\displaystyle L_{\sigma }}
1342:{\displaystyle L_{\sigma }}
783:since they are the same as
8417:
8349:Saltman, David J. (1999).
7010:cohomological Brauer group
6571:in the sense given above.
6131:It turns out the image of
5520:is an isomorphism and the
2464:cohomological Brauer group
1384:, generated by an element
1261:{\displaystyle b\in K^{*}}
973:is Azumaya if and only if
825:for some division algebra
691:{\displaystyle a\otimes b}
8319:Knus, Max-Albert (1991),
6054:using the exact sequence
5029:, there is a unique lift
4927:For the unique character
2308:{\displaystyle \otimes =}
1013:-module, and the algebra
893:Examples over local rings
8302:Mathoverflow thread on "
8076:Milne, James S. (1980).
5315:, there is also a class
3750:{\displaystyle \mu _{n}}
2845:local class field theory
2498:. For a field extension
781:Artin–Wedderburn theorem
132:over a commutative ring
7663:for an Azumaya algebra
5656:and an Azumaya algebra
5513:{\displaystyle R_{n,F}}
4499:{\displaystyle \{a,b\}}
1499:As a vector space over
1433:{\displaystyle x^{n}=b}
785:central simple algebras
26:central simple algebras
24:is a generalization of
7992:
7972:
7952:
7915:
7749:
7697:
7677:
7657:
7594:
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6978:
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6565:
6525:
6505:
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6474:
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5675:{\displaystyle R\to A}
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5634:Skolem–Noether theorem
5628:Skolem–Noether theorem
5618:
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1861:Brauer group of a ring
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110:Alexander Grothendieck
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147:
91:
76:, for the case where
63:
43:
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8010:, following work of
8008:diophantine geometry
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7962:
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7667:
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7342:
7338:then, as a sheaf of
7187:
7145:
7095:
7016:
7012:which is defined as
7004:(an analogue of the
6988:
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6862:
6712:
6678:
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2462:which is called the
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52:
32:
7947:
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7501:is and only if the
7494:{\displaystyle (p)}
7033:
6955:. The Brauer group
6179:
6019:
5412:
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4880:
4846:
4622:, take a generator
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4114:
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3970:
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3200:
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3125:
2725:
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2210:
2187:
2124:
2081:
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1793:{\displaystyle X/K}
1208:{\displaystyle L/K}
887:quaternion algebras
8281:10.1007/BFb0057799
8221:Algebraic K-Theory
8047:Motivic cohomology
8042:Algebraic K-theory
8037:Class field theory
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7968:
7948:
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7573:
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7491:
7465:
7396:
7359:
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7170:
7131:
7072:Example over Spec(
7058:
7019:
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6974:
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6595:
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6364:
6321:
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