3135:
4020:
2567:
3186:
3130:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {S_{n}-S_{n-1}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{S_{n-1}^{\epsilon }}}\left(1-{\frac {S_{n-1}}{S_{n}}}\right)\\&\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\epsilon S_{n-1}^{\epsilon }}}\left(1-\left({\frac {S_{n-1}}{S_{n}}}\right)^{\epsilon }\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\epsilon }}\left({\frac {1}{S_{n-1}^{\epsilon }}}-{\frac {1}{S_{n}^{\epsilon }}}\right)\\&={\frac {1}{\epsilon S_{0}^{\epsilon }}}\\&<\infty \end{aligned}}}
4015:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{n}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{0}+\ln(S_{1}/S_{0})+\cdots +\ln(S_{n}/S_{n-1})}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(S_{n}/S_{n-1})}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(S_{n}/(S_{n}-a_{n}))}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(1/(1-a_{n}/S_{n}))}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {a_{n}/S_{n}}{\ln(1-a_{n}/S_{n})}}\right)\\&=1\end{aligned}}}
1575:
1261:
178:
The Abel–Dini–Pringsheim theorem can be given for divergent series or convergent series. Helpfully, these definitions are equivalent, and it suffices to prove only one case. This is because applying the Abel–Dini–Pringsheim theorem for divergent series to the series with partial sum
4678:
879:
2412:
5573:
1951:
664:
2303:
1570:{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{S_{n+1}}}+\cdots +{\frac {a_{n+k_{n}}}{S_{n+k_{n}}}}\geq {\frac {a_{n+1}+\cdots +a_{n+k_{n}}}{S_{n+k_{n}}}}={\frac {S_{n+k_{n}}-S_{n}}{S_{n+k_{n}}}}=1-{\frac {S_{n}}{S_{n+k_{n}}}}>{\frac {1}{2}}}
4460:
5191:
4353:
545:
5709:"Note sur le mémoire de Mr. L. Olivier No. 4. du second tome de ce journal, ayant pour titre "remarques sur les séries infinies et leur convergence." Suivi d'une remarque de Mr. L. Olivier sur le même objet"
4751:
952:
1250:
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729:
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230:
4911:
1147:
2463:
1983:
121:
2021:
36:
one that converges more slowly. Consequently, for every convergence test based on a particular series there is a series about which the test is inconclusive. For example, the
5629:. Translated by Young, R. C. H. Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young. (2 ed.). London–Glasgow: Blackie & Son.
4530:
4381:
573:
734:
1802:
1180:
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4110:
167:
5202:
4167:
2092:
2029:
322:
5250:
thus found. Apply the Abel–Dini–Pringsheim theorem but with partial sum replaced by asymptotically equivalent sequence
1583:
379:
5873:
1737:
2488:
185:
4875:
1102:
2420:
1956:
4673:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/r_{0}+a_{1}/r_{1}+\cdots +a_{n}/r_{n}}{\ln r_{n}}}=-1}
98:
5834:
Nouvelles annales de mathématiques: Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Serie 3
1988:
874:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{0}/S_{0}+a_{1}/S_{1}+\cdots +a_{n}/S_{n}}{\ln S_{n}}}=1}
4101:
3177:
313:
4360:
552:
5673:
1774:
1152:
5403:
5276:. (It is not hard to verify that this can always be done.) Then we may conclude that the series
126:
3146:
5841:
5802:
5728:
5665:
5596:
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986:
63:
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2167:
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29:
25:
5740:
5685:
5568:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1+1/(2\ln 2)+\cdots +1/(n\ln n)}{\ln \ln n}}=1.}
5253:
4837:
4251:
1075:
1038:
5853:
5814:
5767:
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5693:
5681:
5634:
2407:{\displaystyle f'(x)=\epsilon (x^{\epsilon -1}-1)\leq 0\qquad (\forall x\in [1,\infty )).}
1657:
5624:
5072:
659:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}S_{n-1}^{\epsilon }}}<\infty }
4939:
4919:
2468:
1807:
451:
43:
1946:{\displaystyle a_{n}/(S_{n}S_{n-1}^{\epsilon })\geq a_{n}/(S_{n}S_{n-1}^{\epsilon '})}
5867:
5829:
4455:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}^{1-\epsilon }}}<\infty }
5783:"Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern"
2298:{\displaystyle f'(x)=\epsilon (x^{\epsilon -1}-1)\geq 0\qquad (\forall x\in (0,1])}
5588:
469:
37:
5845:
5806:
5732:
5669:
5587:
proved a weak form of the first part of the theorem (for divergent series).
5724:
5830:"Nouvelles remarques sur divers articles concernant la théorie des séries"
5186:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1+1/2+\cdots +1/n}{\ln n}}=1.}
17:
5798:
5677:
40:
is essentially a comparison test based on the family of series whose
5661:
4348:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}}}=\infty }
540:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}=\infty }
5595:
proved the second part of the theorem. The third part is due to
476:
for divergent series states that the following conditions hold.
5782:
5708:
5648:
Hildebrandt, T. H. (1942). "Remarks on the Abel-Dini theorem".
4746:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}^{t}}}}
947:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}^{t}}}}
235:
yields the Abel–Dini–Pringsheim theorem for convergent series.
1245:{\displaystyle {\frac {S_{n}}{S_{n+k_{n}}}}<{\frac {1}{2}}}
5591:
proved the complete form and a weak form of the second part.
5338:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{t}n}}}
4520:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{r_{n}}}=0}
724:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}=0}
1718:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{S_{n}}}}
4093:{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset (0,\infty )}
305:{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset (0,\infty )}
123:) and is therefore inconclusive about the series of terms
5754:
Dini, Ulisse (1868). "Sulle serie a termini positivi".
5007:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{t}}}}
1099:
is nondecreasing and diverges to infinity. So, for all
4284:
for convergent series, the following conditions hold.
5452:
5406:
5380:
5354:
5285:
5256:
5205:
5106:
5097:
converges to 0, we have the asymptotic approximation
5075:
5049:
5023:
4965:
4942:
4922:
4878:
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4293:
4254:
4170:
4154:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}<\infty }
4113:
4037:
3189:
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2570:
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129:
101:
66:
46:
5240:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
4241:{\displaystyle r_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots }
2151:{\displaystyle f(x)=\epsilon (1-x)-1+x^{\epsilon }}
2076:{\displaystyle \epsilon (1-x)\leq 1-x^{\epsilon }.}
5567:
5435:
5392:
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5268:
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5089:
5061:
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5006:
4956:. By the Abel–Dini–Pringsheim theorem, the series
4948:
4928:
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4092:
4014:
3176:is nondecreasing and diverges to infinity. By the
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440:
366:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\infty }
365:
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3775:
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3558:
3329:
3195:
739:
676:
5713:Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
1649:{\displaystyle a_{0}/S_{0}+\cdots +a_{n}/S_{n}}
441:{\displaystyle S_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}
4280:th remainder of the series. According to the
1764:{\displaystyle 0<\epsilon \leq \epsilon '}
32:a series that diverges more slowly, and from
8:
1136:
1112:
2554:{\displaystyle y=g'(1)(x-1)=\epsilon (1-x)}
5626:Theory and application of infinite series
5516:
5481:
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4883:
4877:
4845:
4839:
4834:, this series converges more slowly than
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225:{\displaystyle S_{n}'={\frac {1}{r_{n}}}}
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65:
45:
1035:, this series diverges less rapidy than
5618:
5616:
5614:
5612:
5608:
5583:The theorem was proved in three parts.
1953:. So, it suffices to consider the case
4906:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1}
1142:{\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}
7:
2458:{\displaystyle g(x)=1-x^{\epsilon }}
1978:{\displaystyle 0<\epsilon \leq 1}
166:which diverges more slowly than the
5196:Now, consider the divergent series
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4895:
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4164:converges to a finite number. Let
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1660:. This implies that the series
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153:
138:
1:
5650:American Mathematical Monthly
2465:is convex and its tangent at
4282:Abel–Dini–Pringsheim theorem
474:Abel–Dini–Pringsheim theorem
22:Abel–Dini–Pringsheim theorem
5781:Pringsheim, Alfred (1890).
5707:Abel, Niels Henrik (1828).
1797:{\displaystyle S_{n}\geq 1}
1175:{\displaystyle k_{n}\geq 1}
5890:
5436:{\displaystyle 1/(n\ln n)}
4683:In particular, the series
376:diverges to infinity. Let
159:{\displaystyle 1/(n\ln n)}
3169:{\displaystyle \ln S_{n}}
2086:This is because, letting
1732:Proof of the second part.
884:Consequently, the series
5828:Cesàro, Ernesto (1890).
5443:converges to 0, we have
3141:Proof of the third part.
1070:Proof of the first part.
28:which constructs from a
5756:Giornale di Matematiche
5393:{\displaystyle t\leq 1}
5062:{\displaystyle t\leq 1}
4801:{\displaystyle t\geq 1}
2023:we have the inequality
1804:for sufficiently large
1028:{\displaystyle t\leq 1}
1002:{\displaystyle t\leq 1}
88:{\displaystyle 1/n^{t}}
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5036:{\displaystyle t>1}
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4916:is divergent with the
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4775:{\displaystyle t<1}
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5787:Mathematische Annalen
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