3273:
2342:
3268:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (A_{CL})&=(A^{n}-A^{n-1}Bk^{T}-A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}-\cdots -Bk^{T}A_{CL}^{n-1})+\cdots +\alpha _{2}(A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A_{CL})+\alpha _{1}(A-Bk^{T})+\alpha _{0}I\\&=(A^{n}+\alpha _{n-1}A^{n-1}+\cdots +\alpha _{2}A^{2}+\alpha _{1}A+\alpha _{0}I)-(A^{n-1}Bk^{T}+A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}+\cdots +Bk^{T}A_{CL}^{n-1})+\cdots -\alpha _{2}(ABk^{T}+Bk^{T}A_{CL})-\alpha _{1}(Bk^{T})\\&=\Delta (A)-(A^{n-1}Bk^{T}+A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}+\cdots +Bk^{T}A_{CL}^{n-1})-\cdots -\alpha _{2}(ABk^{T}+Bk^{T}A_{CL})-\alpha _{1}(Bk^{T})\end{aligned}}}
2294:
1611:
2289:{\displaystyle {\begin{aligned}(A_{CL})^{0}&=(A-Bk^{T})^{0}=I\\(A_{CL})^{1}&=(A-Bk^{T})^{1}=A-Bk^{T}\\(A_{CL})^{2}&=(A-Bk^{T})^{2}=A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A+(Bk^{T})^{2}=A^{2}-ABk^{T}-(Bk^{T})=A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A_{CL}\\\vdots \\(A_{CL})^{n}&=(A-Bk^{T})^{n}=A^{n}-A^{n-1}Bk^{T}-A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}-\cdots -Bk^{T}A_{CL}^{n-1}\end{aligned}}}
33:
974:
Computing the characteristic polynomial and choosing a suitable feedback matrix can be a challenging task, especially in larger systems. One way to make computations easier is through
Ackermann's formula. For simplicity's sake, consider a single input vector with no reference parameter
102:. One of the primary problems in control system design is the creation of controllers that will change the dynamics of a system by changing the eigenvalues of the matrix representing the dynamics of the closed-loop system. This is equivalent to changing the poles of the associated
5744:
406:
1570:
1280:
4110:
4700:
5142:
4630:
4214:
964:
5545:
3459:
3854:
2347:
1616:
4460:
5338:
767:
1141:
5611:
3513:
4875:
4796:
192:
4327:
1319:
5809:
3646:
3734:
1441:
2337:
1053:
615:
5774:
3762:
1363:
51:
854:
4947:
5393:
818:
240:
5836:
4544:
1603:
3940:
3884:
3300:
1171:
524:
883:
553:
497:
5871:
5626:
4566:
4480:
4349:
1339:
993:
274:
1173:
is a feedback vector of compatible dimensions. Ackermann's formula states that the design process can be simplified by only computing the following equation:
435:, or has a slow response or any other characteristic that does not specify the design criteria, it could be advantageous to make changes to it. The matrices
1449:
431:(note that the converse is not necessarily true, since there may be cancellations between terms of the numerator and the denominator). If the system is
5992:
1179:
265:
are matrices of compatible dimensions that represent the dynamics of the system. An input-output description of this system is given by the
3308:
1378:
447:, however, may represent physical parameters of a system that cannot be altered. Thus, one approach to this problem might be to create a
5938:
69:
3948:
4638:
4957:
4571:
4121:
891:
5413:
6007:
3770:
6012:
4568:
that will change the system so that its characteristic equation will be equal to a desired polynomial. Suppose we want
4354:
3465:
5148:
623:
1059:
115:
21:
5551:
3471:
412:
4801:
4708:
123:
4229:
1288:
6017:
5783:
3520:
3653:
1388:
432:
4143:
4039:
3957:
3898:
99:
2303:
1001:
558:
5755:
3743:
1344:
5850:
826:
95:
4883:
5902:
5344:
773:
17:
4482:
will only have positive eigenvalues. Thus, to stabilize the system we shall put a feedback gain
198:
5814:
5944:
5934:
5894:
4485:
266:
103:
5886:
1578:
5739:{\displaystyle L^{\top }=\left({\mathcal {O}}^{\top })^{-1}\Delta _{\text{new}}(A^{\top })}
3889:
3862:
3278:
1149:
502:
3737:
1382:
1366:
859:
529:
473:
467:
401:{\displaystyle G(s)=C(sI-A)^{-1}B=C\ {\frac {\operatorname {Adj} (sI-A)}{\det(sI-A)}}\ B.}
5993:
Chapter about
Ackermann's Formula on Wikibook of Control Systems and Control Engineering
5776:. Here it is important to note, that the observability matrix and the system matrix are
5962:
5404:
4551:
4465:
4334:
1324:
978:
555:. With that in mind, a feedback loop can be added to the system with the control input
91:
83:
823:
In this new realization, the poles will be dependent on the characteristic polynomial
6001:
5906:
5750:
1565:{\displaystyle \Delta (A_{CL})=(A_{CL})^{n}+\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A_{CL}^{k}}
5366:
5296:
5272:
5233:
5194:
5170:
5089:
5047:
5003:
4979:
4905:
4830:
4757:
4727:
4500:
4253:
5890:
424:
5948:
5898:
5841:
Ackermann's formula can also be applied on continuous-time observed systems.
5919:
Modern
Control System Theory and Design, 2nd Edition by Stanley M. Shinners
3275:
Rewriting the above equation as a matrix product and omitting terms that
5620:. Then Ackermann's formula for the design of state observers is noted as
448:
1275:{\displaystyle k^{T}=\left{\mathcal {C}}^{-1}\Delta _{\text{new}}(A),}
106:
in the case that there is no cancellation of poles and zeros.
26:
4105:{\displaystyle \left\left=\left{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)}
1321:
is the desired characteristic polynomial evaluated at matrix
5790:
5761:
5686:
4808:
4714:
4180:
4076:
3820:
3749:
3659:
1381:
entry on Pole
Placement Control. Assume that the system is
1350:
1236:
411:
Since the denominator of the right equation is given by the
114:
Consider a linear continuous-time invariant system with a
4695:{\displaystyle \Delta _{\text{desired}}(A)=A^{2}+11A+30I}
5137:{\displaystyle k^{T}=\left\left\left+11\left+30I\right]}
4625:{\displaystyle \Delta _{\text{desired}}(s)=s^{2}+11s+30}
4209:{\displaystyle k^{T}=\left{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)}
959:{\displaystyle \Delta _{\text{new}}(s)=\det(sI-(A-BK)).}
5872:"Der Entwurf linearer Regelungssysteme im Zustandsraum"
5403:
Ackermann's formula can also be used for the design of
47:
5933:. Unbehauen, Heinz. Oxford: Eolss Publishers Co. Ltd.
5540:{\displaystyle {\hat {x}}(n+1)=A{\hat {x}}(n)+Bu(n)+L}
4295:
3996:
3779:
3588:
3416:
5817:
5786:
5758:
5629:
5554:
5416:
5347:
5151:
4960:
4886:
4804:
4711:
4641:
4574:
4554:
4488:
4468:
4357:
4337:
4232:
4124:
3951:
3892:
3865:
3773:
3746:
3656:
3523:
3474:
3454:{\displaystyle \Delta (A_{CL})=\Delta (A)-\left\left}
3311:
3281:
2345:
2306:
1614:
1581:
1452:
1391:
1347:
1327:
1291:
1182:
1152:
1062:
1004:
981:
894:
862:
829:
776:
626:
561:
532:
505:
476:
277:
201:
126:
5407:. Consider the linear discrete-time observed system
5929:Ackermann, J. E. (2009). "Pole Placement Control".
3849:{\displaystyle \left={\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)}
617:, such that the new dynamics of the system will be
42:
may be too technical for most readers to understand
5830:
5803:
5768:
5738:
5605:
5539:
5387:
5332:
5136:
4941:
4869:
4790:
4694:
4624:
4560:
4538:
4474:
4454:
4343:
4321:
4208:
4104:
3934:
3878:
3848:
3756:
3740:of the system. Since the system is controllable,
3728:
3640:
3507:
3453:
3294:
3267:
2331:
2288:
1597:
1564:
1435:
1357:
1333:
1313:
1274:
1165:
1135:
1047:
987:
958:
877:
848:
812:
761:
609:
547:
518:
491:
400:
234:
186:
4455:{\displaystyle det(sI-A)=(s-1)(s-2)-1=s^{2}-3s+2}
5333:{\displaystyle k^{T}=\left\left\left=\left\left}
4702:and computing the controllability matrix yields
917:
762:{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+B=x(t)+Br(t)}
365:
4548:From Ackermann's formula, we can find a matrix
1136:{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)-Bk^{T}x(t),}
4331:We know from the characteristic polynomial of
3886:, both sides can be multiplied by the vector
8:
5606:{\displaystyle {\hat {y}}(n)=C{\hat {x}}(n)}
3508:{\displaystyle \Delta \left(A_{CL}\right)=0}
4870:{\displaystyle {\mathcal {C}}^{-1}=\left.}
4791:{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left=\left}
5963:"Topic #13 : 16.31 Feedback Control"
5822:
5816:
5795:
5789:
5788:
5785:
5760:
5759:
5757:
5727:
5714:
5701:
5691:
5685:
5684:
5634:
5628:
5583:
5582:
5556:
5555:
5553:
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5513:
5451:
5450:
5418:
5417:
5415:
5365:
5352:
5346:
5295:
5271:
5232:
5193:
5169:
5156:
5150:
5088:
5046:
5002:
4978:
4965:
4959:
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4885:
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4806:
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4726:
4713:
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4668:
4646:
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4601:
4579:
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4553:
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4507:
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4467:
4431:
4356:
4336:
4294:
4252:
4234:
4233:
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4179:
4178:
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4074:
4038:
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3995:
3956:
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3897:
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3658:
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3655:
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3587:
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3522:
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3144:
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3040:
2999:
2983:
2964:
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2035:
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2000:
1975:
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560:
531:
510:
504:
475:
336:
315:
276:
200:
187:{\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}
128:
127:
125:
70:Learn how and when to remove this message
54:, without removing the technical details.
5931:Control systems, robotics and automation
4322:{\displaystyle {\dot {x}}=\leftx+\leftu}
5862:
1314:{\displaystyle \Delta _{\text{new}}(A)}
5804:{\displaystyle {\mathcal {O}}^{\top }}
2300:Replacing the previous equations into
526:can be transferred to any other state
98:problem for invariant-time systems by
3641:{\displaystyle \left\left=\Delta (A)}
52:make it understandable to non-experts
7:
3729:{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left}
1379:Encyclopedia of Life Support Systems
1385:. The characteristic polynomial of
5823:
5796:
5728:
5711:
5692:
5635:
4951:Finally, from Ackermann's formula
4643:
4576:
4351:that the system is unstable since
4194:
4090:
3834:
3626:
3475:
3337:
3312:
3018:
2350:
2307:
1453:
1436:{\displaystyle A_{CL}:=(A-Bk^{T})}
1293:
1251:
896:
831:
455:that will feed the state variable
14:
3302:does not appear isolated yields
31:
2332:{\displaystyle \Delta (A_{CL})}
1048:{\displaystyle u(t)=-k^{T}x(t)}
610:{\displaystyle u(t)=r(t)-Kx(t)}
5769:{\displaystyle {\mathcal {O}}}
5733:
5720:
5698:
5680:
5600:
5594:
5588:
5573:
5567:
5561:
5534:
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5507:
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5495:
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4403:
4400:
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4367:
4203:
4197:
4099:
4093:
3843:
3837:
3757:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
3635:
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3346:
3340:
3331:
3315:
3258:
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3027:
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1358:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
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94:design method for solving the
1:
849:{\displaystyle \Delta _{new}}
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5879:At - Automatisierungstechnik
4942:{\displaystyle A^{2}=\left.}
16:Not to be confused with the
5388:{\displaystyle k^{T}=\left}
813:{\displaystyle y(t)=Cx(t).}
470:, there is always an input
6034:
1575:Calculating the powers of
235:{\displaystyle y(t)=Cx(t)}
116:state-space representation
22:Ackermann (disambiguation)
15:
5831:{\displaystyle A^{\top }}
413:characteristic polynomial
253:is the input vector, and
4539:{\displaystyle K=\left.}
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