1673:
1356:
1208:
1668:{\displaystyle {\dot {A}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\k_{1}&k_{2}&k_{3}&k_{4}&\cdots &k_{n-1}&0\end{bmatrix}}A=CA.}
1000:
764:
341:
1337:
1203:{\displaystyle 0=\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}{\dot {}}\,=\det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n+1)}\end{bmatrix}}}
989:
527:
658:
235:
100:
622:
1237:
839:
560:
220:
167:
874:
458:
466:
759:{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}=\pm 1.}
336:{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}=\pm 1.}
463:
determines a mapping into the special affine group, known as a special affine frame for the curve. That is, at each point of the quantities
636:
along this map gives a complete set of affine structural invariants of the curve. In the plane, this gives a single scalar invariant, the
46:
1332:{\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }},&{\ddot {\mathbf {x} }},&\dots ,&{\mathbf {x} }^{(n)}\end{bmatrix}}}
569:
1752:
1730:
116:
along a curve which plays a similar decisive role. The theory was developed in the early 20th century, largely from the efforts of
1683:
629:
112:. In affine geometry, the Frenet–Serret frame is no longer well-defined, but it is possible to define another canonical
1776:
105:
1781:
109:
37:
633:
21:
815:
777:≡3 (mod 4) then the sign of this determinant is a discrete invariant of the curve. A curve is called
536:
196:
143:
1229:
182:
41:
984:{\displaystyle \mathbf {x} ^{(n+1)}=k_{1}{\dot {\mathbf {x} }}+\cdots +k_{n-1}\mathbf {x} ^{(n-1)}.}
1686:
of the Maurer–Cartan form of the special linear group along the frame given by the first
358:
1748:
1726:
843:
637:
348:
117:
994:
That such an expression is possible follows by computing the derivative of the determinant
1771:
1740:
1765:
1708:
1703:
530:
113:
33:
227:
121:
17:
522:{\displaystyle \mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }},\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}}
95:{\displaystyle {\mbox{SL}}(n,\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{n}.}
797:
29:
1745:
A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 2)
617:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }},\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}}
169:. Assume, as one does in the Euclidean case, that the first
193:) does not lie in any lower-dimensional affine subspace of
36:, and specifically the properties of such curves which are
1350:(still parameterized by special affine arclength). Then,
1380:
1252:
1117:
1018:
800:
is dextrorse, and a left-handed helix is sinistrorse.
670:
247:
51:
1359:
1240:
1003:
877:
818:
661:
572:
539:
469:
361:
238:
199:
146:
49:
1667:
1331:
1202:
983:
833:
758:
616:
554:
521:
452:
335:
214:
161:
94:
1109:
1010:
841:is parameterized by affine arclength. Then the
662:
239:
346:Such a curve is said to be parametrized by its
8:
1625:
1608:
1596:
1584:
1572:
1375:
1361:
1360:
1358:
1309:
1303:
1302:
1277:
1275:
1274:
1258:
1256:
1255:
1247:
1239:
1174:
1168:
1167:
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1140:
1139:
1123:
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1120:
1112:
1105:
1096:
1095:
1075:
1069:
1068:
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1041:
1040:
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1022:
1021:
1013:
1002:
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720:
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693:
692:
676:
674:
673:
665:
660:
648:The normalization of the curve parameter
602:
597:
576:
574:
573:
571:
546:
542:
541:
538:
507:
502:
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478:
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468:
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388:
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250:
242:
237:
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202:
201:
198:
153:
149:
148:
145:
83:
79:
78:
67:
66:
50:
48:
566:of the space and a special linear basis
7:
796:In three-dimensions, a right-handed
793:in German) if it is −1.
14:
1304:
1278:
1259:
1169:
1143:
1124:
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1044:
1025:
956:
919:
880:
834:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
722:
696:
677:
598:
577:
555:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
503:
482:
471:
422:
392:
372:
352:. For such a parameterization,
299:
273:
254:
215:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
162:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1721:Guggenheimer, Heinrich (1977).
1678:In concrete terms, the matrix
1316:
1310:
1187:
1175:
1082:
1076:
973:
961:
897:
885:
734:
728:
609:
603:
514:
508:
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438:
433:
427:
408:
402:
382:
376:
368:
365:
311:
305:
108:, the fundamental tool is the
71:
57:
1:
226:can be normalized by setting
1342:whose columns are the first
785:in German) if it is +1, and
652:was selected above so that
222:. Then the curve parameter
106:Euclidean geometry of curves
1217:is a linear combination of
781:(right winding, frequently
1798:
789:(left winding, frequently
624:attached to the point at
453:{\displaystyle t\mapsto }
110:Frenet–Serret frame
26:affine geometry of curves
634:Maurer–Cartan form
562:, consisting of a point
185:so that, in particular,
808:Suppose that the curve
1669:
1333:
1204:
985:
835:
760:
618:
556:
523:
454:
337:
216:
163:
96:
1777:Differential geometry
1747:. Publish or Perish.
1723:Differential Geometry
1670:
1334:
1205:
986:
836:
761:
619:
557:
533:for the affine space
524:
455:
338:
217:
164:
97:
22:differential geometry
1357:
1238:
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875:
816:
659:
570:
537:
467:
359:
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197:
183:linearly independent
144:
47:
42:special affine group
1665:
1644:
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1323:
1200:
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981:
831:
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741:
644:Discrete invariant
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318:
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584:
529:define a special
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104:In the classical
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1758:
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685:
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166:
165:
160:
158:
157:
152:
140:) be a curve in
128:The affine frame
118:Wilhelm Blaschke
101:
99:
98:
93:
88:
87:
82:
70:
56:
52:
28:is the study of
1797:
1796:
1792:
1791:
1790:
1788:
1787:
1786:
1782:Affine geometry
1762:
1761:
1755:
1741:Spivak, Michael
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1733:
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1717:
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1690:derivatives of
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1346:derivatives of
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