25:
1996:
1676:
1510:
1991:{\displaystyle {\begin{aligned}T(x)&\in \Theta \left(x^{p}\left(1+\int _{1}^{x}{\frac {g(u)}{u^{p+1}}}\,du\right)\right)\\&=\Theta \left(x^{2}\left(1+\int _{1}^{x}{\frac {u^{2}}{u^{3}}}\,du\right)\right)\\&=\Theta (x^{2}(1+\ln x))\\&=\Theta (x^{2}\log x).\end{aligned}}}
2162:
2006:
The Akra–Bazzi method is more useful than most other techniques for determining asymptotic behavior because it covers such a wide variety of cases. Its primary application is the approximation of the running time of many divide-and-conquer algorithms. For example, in the
939:
272:
1642:
640:
1330:
1098:
1404:
2052:
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355:
2369:
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1007:
2240:
105:
46:
2157:{\displaystyle T(n)=T\left(\left\lfloor {\frac {1}{2}}n\right\rfloor \right)+T\left(\left\lceil {\frac {1}{2}}n\right\rceil \right)+n-1}
2328:
68:
2011:, the number of comparisons required in the worst case, which is roughly proportional to its runtime, is given recursively as
2374:
1199:
2364:
98:
746:
39:
33:
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1103:
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2245:
2196:
934:{\displaystyle T(x)\in \Theta \left(x^{p}\left(1+\int _{1}^{x}{\frac {g(u)}{u^{p+1}}}du\right)\right)}
415:
1372:
94:
109:
2346:
2284:
113:
361:
267:{\displaystyle T(x)=g(x)+\sum _{i=1}^{k}a_{i}T(b_{i}x+h_{i}(x))\qquad {\text{for }}x\geq x_{0}.}
1637:{\displaystyle {\frac {7}{4}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{p}+\left({\frac {3}{4}}\right)^{p}=1}
2324:
1155:
951:
2276:
2170:
2014:
1515:
1193:
82:
666:
313:
286:
2267:
Akra, Mohamad; Bazzi, Louay (May 1998). "On the solution of linear recurrence equations".
1343:
697:
104:
where the sub-problems have substantially different sizes. It is a generalization of the
1647:
108:, which assumes that the sub-problems have equal size. It is named after mathematicians
1541:
1189:
987:
945:
726:
645:
547:
454:
394:
340:
2358:
2288:
1670:. Then, using the formula, the asymptotic behavior can be determined as follows:
635:{\displaystyle \left|h_{i}(x)\right|\in O\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right)}
1325:{\displaystyle T(n)=n+T\left(\left\lfloor {\frac {1}{2}}n\right\rfloor \right)}
2280:
2008:
1538:. In applying the Akra–Bazzi method, the first step is to find the value of
1093:{\displaystyle \lfloor b_{i}x\rfloor =b_{i}x+(\lfloor b_{i}x\rfloor -b_{i}x)}
2319:
Cormen, Thomas; Leiserson, Charles; Rivest, Ronald; Stein, Clifford (2009).
101:
1332:
will, as per the Akra–Bazzi theorem, have the same asymptotic behavior.
124:
The Akra–Bazzi method applies to recurrence formulas of the form:
93:, is used to analyze the asymptotic behavior of the mathematical
2347:
O Método de Akra-Bazzi na Resolução de Equações de Recorrência
18:
2193:, and can thus be computed using the Akra–Bazzi method to be
2199:
2173:
2055:
2017:
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1253:{\displaystyle T(n)=n+T\left({\frac {1}{2}}n\right)}
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2156:
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1504:
1393:
1361:
1324:
1252:
1192:in the index. Similarly, one can also ignore the
1180:
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106:master theorem for divide-and-conquer recurrences
984:represents a small perturbation in the index of
805:{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}^{p}=1}
531:{\displaystyle \left|g'(x)\right|\in O(x^{c})}
1145:{\displaystyle \lfloor b_{i}x\rfloor -b_{i}x}
8:
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1068:
1052:
1027:
1011:
2269:Computational Optimization and Applications
812:and plugging that value into the equation:
2198:
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2083:
2054:
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69:Learn how and when to remove this message
32:This article includes a list of general
2303:"Proof and application on few examples"
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2241:Master theorem (analysis of algorithms)
723:is found by determining the value of
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281:sufficient base cases are provided
38:it lacks sufficient corresponding
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2370:Theorems in discrete mathematics
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1100:and that the absolute value of
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97:that appear in the analysis of
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1369:is defined as 1 for integers
1152:is always between 0 and 1,
694:The asymptotic behavior of
2396:
2321:Introduction to Algorithms
1188:can be used to ignore the
384:{\displaystyle a_{i}>0}
16:Method in computer science
1181:{\displaystyle h_{i}(x)}
977:{\displaystyle h_{i}(x)}
2281:10.1023/A:1018373005182
53:more precise citations.
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1004:. By noting that
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87:Akra–Bazzi method
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948:). Intuitively,
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