3430:
2656:
3425:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {top}}({\rm {pop}}({\rm {pop}}({\rm {push}}(1,~{\rm {push}}(2,~{\rm {push}}(3,~{\rm {pop}}({\rm {new}})))))))&\\\Rrightarrow ~&{\rm {top}}({\rm {pop}}({\rm {pop}}({\rm {push}}(1,~{\rm {push}}(2,~{\rm {push}}(3,~{\rm {new}}))))))&({\rm {by~Axiom~}}A4)\\\Rrightarrow ~&{\rm {top}}({\rm {pop}}({\rm {push}}(2,~{\rm {push}}(3,~{\rm {new}}))))&({\rm {by~Axiom~}}A1)\\\Rrightarrow ~&{\rm {top}}({\rm {push}}(3,~{\rm {new}}))&({\rm {by~Axiom~}}A1)\\\Rrightarrow ~&3&({\rm {by~Axiom~}}A3)\\\end{aligned}}}
2521:
2011:
1879:
1084:
2516:{\displaystyle {\begin{aligned}&A1:~~{\rm {pop}}({\rm {push}}(z,s))=s\\&A2:~~{\rm {depth}}({\rm {push}}(z,s))={\rm {depth}}(s)+1\\&A3:~~{\rm {top}}({\rm {push}}(z,s))=z\\&A4:~~{\rm {pop}}({\rm {new}})={\rm {new}}\\&A5:~~{\rm {depth}}({\rm {new}})=0\\&A6:~~{\rm {top}}(s)=-404~{\rm {if~depth}}(s)=0\\\end{aligned}}}
1581:
757:
1874:{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {new}}&:~\to Stack\\{\rm {push}}&:~\mathbb {Z} \times Stack\to Stack\\{\rm {pop}}&:~Stack\to Stack\\{\rm {depth}}&:~Stack\to \mathbb {Z} \\{\rm {top}}&:~Stack\to \mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
1079:{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma _{\Lambda ,~stack}&=\{{\rm {new}}\}\\\Sigma _{int~stack,~stack}&=\{{\rm {push}}\}\\\Sigma _{stack,~stack}&=\{{\rm {pop}}\}\\\Sigma _{stack,~int}&=\{{\rm {depth}},{\rm {top}}\}\\\end{aligned}}}
1432:
2661:
2016:
1586:
762:
1327:
573:
653:
3472:
As a result, canonical algebraic specifications have been widely applied to address program correctness issues. For example, numerous researchers have applied such specifications to the
1964:
3462:) if it is both confluent and terminating. In other words, it is canonical if the rewriting of any ground term leads to a unique normal form after a finite number of steps.
2646:
1507:
2002:
1109:
1255:
497:
679:
1571:
1539:
1195:
747:
3585:; J.W. Thatcher; E.G. Wagner (1978). "An initial algebra approach to the specification, correctness and implementation of abstract data types". In R.T. Yeh (ed.).
2550:
1485:
715:
1456:
1235:
1215:
1168:
1144:
466:
422:
is formulated in two steps: (1) defining a formal signature of data types and operation symbols, and (2) interpreting the signature through sets and functions.
2617:. The operational semantics of an algebraic specification refers to how ground terms can be transformed using the given equational axioms as left-to-right
1332:
3770:
3501:
3836:
3831:
3766:"Equality to equals and unequals: A revisit of the equivalence and nonequivalence criteria in class-level testing of object-oriented software"
3748:
3632:
165:
3454:
if the rewriting of any ground term will lead to a normal form after a finite number of steps. The algebraic specification is said to be
365:
3826:
3691:
3666:
160:
3732:
3616:
2622:
3725:
S. Lucas; J. Meseguer (2014). "Strong and Weak
Operational Termination of Order-Sorted Rewrite Theories". In S. Escobar (ed.).
297:
97:
3443:
415:
29:
3459:
1891:
236:
3710:(1981). "A structural approach to operational semantics" (Technical Report DAIMI FN-19). Computer Science Department,
3485:
2614:
1260:
506:
3506:
688:
578:
3481:
3477:
2583:
2578:
of all algebras that satisfy the specification. In particular, the classic approach by Goguen et al. takes the
155:
34:
3821:
1435:
419:
358:
319:
314:
56:
434:
of an algebraic specification defines its formal syntax. The word "signature" is used like the concept of "
2568:
2564:
1147:
282:
138:
107:
3652:
2599:
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75:
1941:
2610:
1923:
182:
80:
1573:
of integer stacks. We further interpret the family of operation symbols as the following functions:
2631:
1907:
387:
267:
202:
65:
1490:
3797:
3561:
3542:
2575:
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3744:
3711:
3707:
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3628:
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3608:
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3787:
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3736:
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3551:
3489:
3473:
658:
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3726:
1544:
1512:
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720:
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2532:
1464:
694:
3455:
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1220:
1200:
1153:
1129:
477:
451:
403:
287:
207:
120:
3450:) if the rewriting of any ground term leads to the same normal form. It is said to be
3815:
3648:
3604:
3590:
3582:
3511:
3447:
435:
220:
3565:
2602:
of a specification means how to interpret it as a sequence of computational steps.
3801:
2618:
1112:
215:
133:
3740:
1427:{\displaystyle \sigma _{A}:A_{s_{1}}\times A_{s_{2}}\times ~...\times ~A_{s_{n}}}
3451:
2587:
339:
1932:
With respect to the signature of integer stacks, we have the following axioms:
69:
3624:
3658:
469:
19:
3492:
that provides a historical review of prominent research from 1981 to 2013.
3556:
3537:
1926:
1899:
334:
3792:
3783:
3465:
Given any canonical algebraic specification, the mathematical semantics
3613:
Proceedings of the First
Workshop on Conditional Term Rewriting Systems
1461:
With respect to the signature of integer stacks, we interpret the sort
685:
391:
3765:
2590:) as the "most representative" model of the algebraic specification.
500:
395:
3587:
Current Trends in
Programming Methodology, Vol. IV: Data Structuring
1919:
2574:
The mathematical semantics of an algebraic specification is the
3684:
Denotational
Semantics: A Methodology for Language Development
3607:; C. Kirchner; H. Kirchner; A. Megrelis; J. Meseguer (1988).
3536:
J.A. Goguen; J.W. Thatcher; E.G. Wagner; J.B. Wright (1977).
3731:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 8663. Cham:
1918:
The semantics of an algebraic specifications is defined by
575:
to denote the set of operation symbols relating the sorts
2571:) of a specification refers to its mathematical meaning.
1146:
interprets the sorts and operation symbols as sets and
2659:
2634:
2535:
2014:
1972:
1944:
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1176:
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760:
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581:
509:
485:
454:
3615:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 308.
3538:"Initial algebra semantics and continuous algebras"
3424:
2640:
2544:
2515:
1996:
1958:
1873:
1565:
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1103:
1078:
741:
709:
673:
647:
567:
503:(or simply symbols) that relate the sorts. We use
491:
460:
749:, and the following family of operation symbols:
1322:{\displaystyle \Sigma _{s_{1}s_{2}...s_{n},~s}}
568:{\displaystyle \Sigma _{s_{1}s_{2}...s_{n},~s}}
2628:Consider the axioms for integer stacks. Let "
648:{\displaystyle s_{1},~s_{2},~...,~s_{n}\in S}
359:
8:
3577:
3575:
3531:
3529:
3527:
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907:
888:
819:
803:
3654:Algebraic Semantics of Imperative Programs
366:
352:
245:
44:
15:
3791:
3771:IEEE Transactions on Software Engineering
3555:
3442:An algebraic specification is said to be
3379:
3378:
3319:
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1181:
1175:
1155:
1131:
1119:Set-theoretic interpretation of signature
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508:
484:
453:
3502:Algebraic semantics (mathematical logic)
3523:
2625:, where no more rewriting is possible.
306:
248:
235:
174:
146:
89:
47:
25:
18:
1902:. An algebraic specification provides
7:
3728:Rewriting Logic and Its Applications
1509:of integers, and interpret the sort
3401:
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899:
896:
893:
827:
814:
811:
808:
770:
766:
684:For example, for the signature of
511:
486:
14:
1959:{\displaystyle z\in \mathbb {Z} }
1197:, which is called the carrier of
3469:with the operational semantics.
1906:the meaning and behavior of the
3686:. William C. Brown Publishers.
2621:, until such terms reach their
691:, we define two sorts, namely,
3837:Programming language semantics
3832:Formal specification languages
3415:
3375:
3362:
3355:
3315:
3310:
3307:
3282:
3263:
3242:
3235:
3195:
3190:
3187:
3184:
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3156:
3128:
3109:
3093:
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3065:
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2757:
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2494:
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2067:
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1859:
1809:
1743:
1683:
1612:
1:
2641:{\displaystyle \Rrightarrow }
499:of sets, each set containing
3764:H.Y. Chen; T.H. Tse (2013).
3741:10.1007/978-3-319-12904-4_10
1502:{\displaystyle \mathbb {Z} }
3486:object-oriented programming
3853:
3507:OBJ (programming language)
1997:{\displaystyle s\in Stack}
445:A signature consists of a
298:Predicate transformational
3827:Logic in computer science
3682:David A. Schmidt (1986).
3609:"An introduction to OBJ3"
3478:observational equivalence
426:Definition of a signature
3625:10.1007/3-540-19242-5_22
3488:. See Chen and Tse as a
2648:" denote "rewrites to".
2552:" indicates "not found".
1329:is mapped to a function
1170:is interpreted as a set
1104:{\displaystyle \Lambda }
394:laws for describing and
1250:{\displaystyle \sigma }
492:{\displaystyle \Sigma }
420:algebraic specification
320:Abstract semantic graph
315:Abstract interpretation
3426:
2642:
2569:denotational semantics
2565:mathematical semantics
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