431:
566:
150:
448:. In fact, both the Bateman and the Havelock functions were first introduced by Havelock in 1927, while investigating the surface elevation of the uniform stream past an immersed circular cylinder. The Havelock function is defined by
777:
289:
1319:
Havelock, T. H. (1927). The method of images in some problems of surface waves. Proceedings of the Royal
Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 115(771),
1168:
241:
454:
38:
865:
1308:
701:
636:
918:
1004:
1234:
1207:
1030:
277:
1050:
958:
938:
1210:
1335:
1309:
http://www.math.ust.hk/~machiang/papers_folder/http___www.ima.org.uk_mathematics_mt_april10_harry_bateman_from_manchester_to_manuscript_project.pdf
426:{\displaystyle k_{\nu }(x)={\frac {e^{-x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{2}}\nu \right)}}U\left(-{\frac {1}{2}}\nu ,0,2x\right),\quad x>0.}
707:
280:
25:
1294:
1057:
171:
561:{\displaystyle \displaystyle h_{\nu }(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\tan \theta -\nu \theta )\,d\theta .}
145:{\displaystyle \displaystyle k_{\nu }(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\cos(x\tan \theta -\nu \theta )\,d\theta .}
1289:
1340:
246:
and
Bateman found this function as one of the solutions. Bateman denoted this function as "k" function in honor of
247:
159:
1307:
Martin, P. A., & Bateman, H. (2010). from
Manchester to Manuscript Project. Mathematics Today, 46, 82-85.
783:
642:
445:
579:
1284:
871:
436:
This is not to be confused with another function of the same name which is used in
Pharmacokinetics.
1259:
964:
1173:
1251:
444:
Complementary to the
Bateman function, one may also define the Havelock function, named after
162:
asked for the solution of the following differential equation which appeared in the theory of
1243:
1009:
256:
1271:
1267:
1035:
943:
923:
1232:(1931), "The k-function, a particular case of the confluent hypergeometric function",
1329:
1229:
155:
29:
163:
1255:
1263:
1247:
772:{\displaystyle k_{n}(0)={\frac {2}{n\pi }}\sin {\frac {n\pi }{2}}}
1176:
1060:
1038:
1012:
967:
946:
926:
874:
786:
710:
645:
582:
458:
457:
292:
259:
174:
42:
41:
1163:{\displaystyle k_{1}(x)={\frac {2x}{\pi }},\ x<0}
236:{\displaystyle x{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=(x-\nu )u}
1201:
1162:
1044:
1024:
998:
952:
932:
912:
859:
771:
695:
630:
560:
425:
271:
235:
144:
1235:Transactions of the American Mathematical Society
8:
1211:Modified Bessel function of the second kind
1181:
1175:
1127:
1105:
1083:
1065:
1059:
1037:
1011:
972:
966:
945:
925:
899:
884:
875:
873:
850:
842:
838:
826:
818:
791:
785:
754:
733:
715:
709:
675:
650:
644:
621:
613:
609:
587:
581:
547:
504:
500:
495:
481:
463:
456:
377:
345:
321:
315:
297:
291:
258:
203:
185:
178:
173:
131:
88:
84:
79:
65:
47:
40:
860:{\displaystyle k_{2}(x)=(x+|x|)e^{-|x|}}
1221:
24:-function) is a special case of the
7:
696:{\displaystyle k_{-n}(x)=k_{n}(-x)}
331:
14:
631:{\displaystyle k_{0}(x)=e^{-|x|}}
281:Confluent hypergeometric function
26:confluent hypergeometric function
1336:Special hypergeometric functions
913:{\displaystyle |k_{n}(x)|\leq 1}
413:
158:discovered this function, when
32:(1931). Bateman defined it by
1196:
1187:
1142:
1139:
1133:
1117:
1111:
1098:
1077:
1071:
987:
981:
900:
896:
890:
876:
851:
843:
831:
827:
819:
809:
803:
797:
727:
721:
690:
681:
665:
659:
622:
614:
599:
593:
544:
520:
475:
469:
309:
303:
283:of the second kind as follows
227:
215:
128:
104:
59:
53:
1:
1290:Encyclopedia of Mathematics
999:{\displaystyle k_{2n}(x)=0}
1357:
1202:{\displaystyle K_{n}(-x)}
253:The Bateman function for
1203:
1164:
1046:
1026:
1025:{\displaystyle x<0}
1000:
954:
934:
914:
861:
773:
697:
632:
562:
427:
279:is the related to the
273:
272:{\displaystyle x>0}
237:
146:
1204:
1165:
1052:is a positive integer
1047:
1027:
1001:
955:
935:
915:
862:
774:
698:
633:
563:
446:Thomas Henry Havelock
428:
274:
238:
147:
1174:
1058:
1036:
1010:
965:
944:
924:
872:
784:
708:
643:
580:
455:
290:
257:
172:
39:
16:In mathematics, the
920:for real values of
513:
248:Theodore von Kármán
160:Theodore von Kármán
97:
1285:"Bateman function"
1199:
1160:
1042:
1022:
996:
950:
930:
910:
857:
769:
693:
628:
558:
557:
491:
423:
269:
233:
142:
141:
75:
1341:Special functions
1150:
1096:
1045:{\displaystyle n}
953:{\displaystyle x}
933:{\displaystyle n}
767:
746:
489:
440:Havelock function
385:
364:
353:
210:
73:
1348:
1321:
1317:
1311:
1305:
1299:
1298:
1281:
1275:
1274:
1226:
1208:
1206:
1205:
1200:
1186:
1185:
1169:
1167:
1166:
1161:
1148:
1132:
1131:
1110:
1109:
1097:
1092:
1084:
1070:
1069:
1051:
1049:
1048:
1043:
1031:
1029:
1028:
1023:
1005:
1003:
1002:
997:
980:
979:
959:
957:
956:
951:
939:
937:
936:
931:
919:
917:
916:
911:
903:
889:
888:
879:
866:
864:
863:
858:
856:
855:
854:
846:
830:
822:
796:
795:
778:
776:
775:
770:
768:
763:
755:
747:
745:
734:
720:
719:
702:
700:
699:
694:
680:
679:
658:
657:
637:
635:
634:
629:
627:
626:
625:
617:
592:
591:
567:
565:
564:
559:
512:
508:
499:
490:
482:
468:
467:
432:
430:
429:
424:
409:
405:
386:
378:
365:
363:
362:
358:
354:
346:
329:
328:
316:
302:
301:
278:
276:
275:
270:
242:
240:
239:
234:
211:
209:
208:
207:
194:
190:
189:
179:
151:
149:
148:
143:
96:
92:
83:
74:
66:
52:
51:
18:Bateman function
1356:
1355:
1351:
1350:
1349:
1347:
1346:
1345:
1326:
1325:
1324:
1318:
1314:
1306:
1302:
1283:
1282:
1278:
1248:10.2307/1989510
1228:
1227:
1223:
1219:
1177:
1172:
1171:
1123:
1101:
1085:
1061:
1056:
1055:
1034:
1033:
1008:
1007:
968:
963:
962:
942:
941:
922:
921:
880:
870:
869:
834:
787:
782:
781:
756:
738:
711:
706:
705:
671:
646:
641:
640:
605:
583:
578:
577:
574:
459:
453:
452:
442:
373:
369:
338:
334:
330:
317:
293:
288:
287:
255:
254:
199:
195:
181:
180:
170:
169:
43:
37:
36:
12:
11:
5:
1354:
1352:
1344:
1343:
1338:
1328:
1327:
1323:
1322:
1312:
1300:
1276:
1242:(4): 817–831,
1220:
1218:
1215:
1214:
1213:
1198:
1195:
1192:
1189:
1184:
1180:
1159:
1156:
1153:
1147:
1144:
1141:
1138:
1135:
1130:
1126:
1122:
1119:
1116:
1113:
1108:
1104:
1100:
1095:
1091:
1088:
1082:
1079:
1076:
1073:
1068:
1064:
1053:
1041:
1021:
1018:
1015:
995:
992:
989:
986:
983:
978:
975:
971:
960:
949:
929:
909:
906:
902:
898:
895:
892:
887:
883:
878:
867:
853:
849:
845:
841:
837:
833:
829:
825:
821:
817:
814:
811:
808:
805:
802:
799:
794:
790:
779:
766:
762:
759:
753:
750:
744:
741:
737:
732:
729:
726:
723:
718:
714:
703:
692:
689:
686:
683:
678:
674:
670:
667:
664:
661:
656:
653:
649:
638:
624:
620:
616:
612:
608:
604:
601:
598:
595:
590:
586:
573:
570:
569:
568:
556:
553:
550:
546:
543:
540:
537:
534:
531:
528:
525:
522:
519:
516:
511:
507:
503:
498:
494:
488:
485:
480:
477:
474:
471:
466:
462:
441:
438:
434:
433:
422:
419:
416:
412:
408:
404:
401:
398:
395:
392:
389:
384:
381:
376:
372:
368:
361:
357:
352:
349:
344:
341:
337:
333:
327:
324:
320:
314:
311:
308:
305:
300:
296:
268:
265:
262:
244:
243:
232:
229:
226:
223:
220:
217:
214:
206:
202:
198:
193:
188:
184:
177:
153:
152:
140:
137:
134:
130:
127:
124:
121:
118:
115:
112:
109:
106:
103:
100:
95:
91:
87:
82:
78:
72:
69:
64:
61:
58:
55:
50:
46:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1353:
1342:
1339:
1337:
1334:
1333:
1331:
1316:
1313:
1310:
1304:
1301:
1296:
1292:
1291:
1286:
1280:
1277:
1273:
1269:
1265:
1261:
1257:
1253:
1249:
1245:
1241:
1237:
1236:
1231:
1225:
1222:
1216:
1212:
1193:
1190:
1182:
1178:
1157:
1154:
1151:
1145:
1136:
1128:
1124:
1120:
1114:
1106:
1102:
1093:
1089:
1086:
1080:
1074:
1066:
1062:
1054:
1039:
1019:
1016:
1013:
993:
990:
984:
976:
973:
969:
961:
947:
927:
907:
904:
893:
885:
881:
868:
847:
839:
835:
823:
815:
812:
806:
800:
792:
788:
780:
764:
760:
757:
751:
748:
742:
739:
735:
730:
724:
716:
712:
704:
687:
684:
676:
672:
668:
662:
654:
651:
647:
639:
618:
610:
606:
602:
596:
588:
584:
576:
575:
571:
554:
551:
548:
541:
538:
535:
532:
529:
526:
523:
517:
514:
509:
505:
501:
496:
492:
486:
483:
478:
472:
464:
460:
451:
450:
449:
447:
439:
437:
420:
417:
414:
410:
406:
402:
399:
396:
393:
390:
387:
382:
379:
374:
370:
366:
359:
355:
350:
347:
342:
339:
335:
325:
322:
318:
312:
306:
298:
294:
286:
285:
284:
282:
266:
263:
260:
251:
249:
230:
224:
221:
218:
212:
204:
200:
196:
191:
186:
182:
175:
168:
167:
166:
165:
161:
157:
138:
135:
132:
125:
122:
119:
116:
113:
110:
107:
101:
98:
93:
89:
85:
80:
76:
70:
67:
62:
56:
48:
44:
35:
34:
33:
31:
30:Harry Bateman
27:
23:
19:
1315:
1303:
1288:
1279:
1239:
1233:
1224:
443:
435:
252:
245:
154:
21:
17:
15:
1230:Bateman, H.
28:studied by
1330:Categories
1217:References
572:Properties
164:turbulence
1295:EMS Press
1256:0002-9947
1191:−
1094:π
905:≤
840:−
761:π
752:
743:π
685:−
652:−
611:−
552:θ
542:θ
539:ν
536:−
533:θ
530:
518:
502:π
493:∫
487:π
465:ν
388:ν
375:−
356:ν
332:Γ
323:−
299:ν
225:ν
222:−
136:θ
126:θ
123:ν
120:−
117:θ
114:
102:
86:π
77:∫
71:π
49:ν
1320:268-280.
1170:, where
1297:, 2001
1272:1501618
1264:1989510
1209:is the
156:Bateman
1270:
1262:
1254:
1149:
1260:JSTOR
1252:ISSN
1155:<
1017:<
1006:for
940:and
418:>
264:>
20:(or
1244:doi
1032:if
749:sin
527:tan
515:sin
111:tan
99:cos
1332::
1293:,
1287:,
1268:MR
1266:,
1258:,
1250:,
1240:33
1238:,
421:0.
250:.
1246::
1197:)
1194:x
1188:(
1183:n
1179:K
1158:0
1152:x
1146:,
1143:]
1140:)
1137:x
1134:(
1129:0
1125:K
1121:+
1118:)
1115:x
1112:(
1107:1
1103:K
1099:[
1090:x
1087:2
1081:=
1078:)
1075:x
1072:(
1067:1
1063:k
1040:n
1020:0
1014:x
994:0
991:=
988:)
985:x
982:(
977:n
974:2
970:k
948:x
928:n
908:1
901:|
897:)
894:x
891:(
886:n
882:k
877:|
852:|
848:x
844:|
836:e
832:)
828:|
824:x
820:|
816:+
813:x
810:(
807:=
804:)
801:x
798:(
793:2
789:k
765:2
758:n
740:n
736:2
731:=
728:)
725:0
722:(
717:n
713:k
691:)
688:x
682:(
677:n
673:k
669:=
666:)
663:x
660:(
655:n
648:k
623:|
619:x
615:|
607:e
603:=
600:)
597:x
594:(
589:0
585:k
555:.
549:d
545:)
524:x
521:(
510:2
506:/
497:0
484:2
479:=
476:)
473:x
470:(
461:h
415:x
411:,
407:)
403:x
400:2
397:,
394:0
391:,
383:2
380:1
371:(
367:U
360:)
351:2
348:1
343:+
340:1
336:(
326:x
319:e
313:=
310:)
307:x
304:(
295:k
267:0
261:x
231:u
228:)
219:x
216:(
213:=
205:2
201:x
197:d
192:u
187:2
183:d
176:x
139:.
133:d
129:)
108:x
105:(
94:2
90:/
81:0
68:2
63:=
60:)
57:x
54:(
45:k
22:k
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.