1533:
1838:
516:
2192:
694:
348:
170:
1346:
1324:
1221:
1678:
859:
2000:
1124:
1044:
376:
2016:
527:
198:
58:
1670:
970:
923:
2389:
2258:
1572:
1528:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}
1599:
1601:
to make them remain real-valued for imaginary argument. The orthogonality relation is simpler when expressed in terms of a modified set of polynomials defined by
1228:
1833:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }B_{m}(x)B_{n}(x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}
1131:
725:
1854:
189:
1051:
977:
511:{\displaystyle F_{n}^{m}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))}
2518:
2471:
2349:
2187:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)=(1-t)^{z}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}};1;t^{2}\right),}
689:{\displaystyle F_{n}^{m}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+m+1)\\1,~m+1\end{array}};1\right).}
1574:
occurs on the right-hand side of this equation because the
Bateman polynomials as defined here must be scaled by a factor
865:
343:{\displaystyle F_{n}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+1)\\1,~1\end{array}};1\right).}
521:
These generalized polynomials also have a representation in terms of generalized hypergeometric functions, namely
165:{\displaystyle F_{n}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x)).}
2324:
1604:
30:
716:
185:
2398:
930:
886:
2490:
2418:
2368:
2347:
Carlitz, Leonard (1957), "Some polynomials of
Touchard connected with the Bernoulli numbers",
2227:
1541:
2480:
2450:
2408:
2358:
2336:
2309:
2502:
2462:
2430:
2380:
1577:
2498:
2458:
2426:
2376:
2340:
1319:{\displaystyle F_{5}(x)=-{\frac {407}{960}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}}
2512:
1216:{\displaystyle F_{4}(x)={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}}
34:
2413:
719:, are the same as Bateman polynomials up to a change of variable: more precisely
2454:
2494:
2422:
2372:
2485:
2443:
London, Edinburgh, and Dublin
Philosophical Magazine and Journal of Science
2363:
2469:
Touchard, Jacques (1956), "Nombres exponentiels et nombres de
Bernoulli",
864:
Bateman and
Pasternack's polynomials are special cases of the symmetric
854:{\displaystyle Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)}
2314:
2297:
2223:
1848:
The sequence of
Bateman polynomials satisfies the recurrence relation
2403:
1995:{\displaystyle (n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z).}
2387:
Koelink, H. T. (1996), "On Jacobi and continuous Hahn polynomials",
2437:
Pasternack, Simon (1939), "A generalization of the polynomial F
1119:{\displaystyle F_{3}(x)=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}}
1340:
The
Bateman polynomials satisfy the orthogonality relation
1039:{\displaystyle F_{2}(x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}}
2010:
The
Bateman polynomials also have the generating function
614:
583:
280:
249:
2230:
2019:
1857:
1681:
1607:
1580:
1544:
1349:
1231:
1134:
1054:
980:
933:
889:
728:
530:
379:
201:
61:
356:generalized the Bateman polynomials to polynomials
52:Bateman polynomials can be defined by the relation
2325:"Some properties of a certain set of polynomials."
2252:
2186:
1994:
1832:
1664:
1593:
1566:
1527:
1318:
1215:
1118:
1038:
964:
917:
853:
688:
510:
342:
164:
808:
790:
2390:Proceedings of the American Mathematical Society
8:
353:
46:
2484:
2412:
2402:
2362:
2313:
2235:
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2170:
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2118:
2107:
2097:
2096:
2089:
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2045:
2035:
2024:
2018:
1968:
1958:
1936:
1884:
1874:
1856:
1818:
1784:
1774:
1755:
1742:
1723:
1704:
1694:
1686:
1680:
1644:
1634:
1612:
1606:
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1579:
1558:
1543:
1513:
1477:
1458:
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1416:
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1362:
1354:
1348:
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1287:
1273:
1257:
1236:
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1184:
1170:
1157:
1139:
1133:
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1080:
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1053:
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225:
206:
200:
132:
76:
66:
60:
2197:which is sometimes used to define them.
712:
2298:"A class of hypergeometric polynomials"
2206:
1665:{\displaystyle B_{n}(x)=i^{n}F_{n}(ix)}
699:
38:
7:
190:generalized hypergeometric functions
45:are a generalization introduced by
2036:
1695:
1690:
1363:
1358:
794:
14:
2472:Canadian Journal of Mathematics
2350:Canadian Journal of Mathematics
2247:
2241:
2086:
2073:
2067:
2061:
1986:
1980:
1948:
1942:
1926:
1911:
1902:
1896:
1871:
1858:
1808:
1793:
1735:
1729:
1716:
1710:
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1650:
1624:
1618:
1555:
1545:
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1400:
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1378:
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1065:
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900:
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751:
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502:
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437:
303:
291:
218:
212:
156:
153:
147:
138:
125:
119:
107:
101:
43:Bateman–Pasternack polynomials
1:
2414:10.1090/S0002-9939-96-03190-5
2296:Al-Salam, Nadhla A. (1967).
702:showed that the polynomials
2329:TĂ´hoku Mathematical Journal
965:{\displaystyle F_{1}(x)=-x}
866:continuous Hahn polynomials
2535:
918:{\displaystyle F_{0}(x)=1}
2455:10.1080/14786443908521175
876:The polynomials of small
2253:{\displaystyle F_{n}(x)}
1567:{\displaystyle (-1)^{n}}
1672:, for which it becomes
2519:Orthogonal polynomials
2486:10.4153/cjm-1956-034-1
2364:10.4153/CJM-1957-021-9
2287:Bateman (1933), p. 23.
2278:Bateman (1933), p. 28.
2254:
2188:
2040:
1996:
1834:
1666:
1595:
1568:
1529:
1320:
1217:
1120:
1040:
966:
919:
855:
690:
512:
344:
166:
31:orthogonal polynomials
2255:
2189:
2020:
1997:
1835:
1667:
1596:
1594:{\displaystyle i^{n}}
1569:
1530:
1321:
1218:
1121:
1041:
967:
920:
856:
691:
513:
345:
192:, they are given by
167:
2323:Bateman, H. (1933),
2228:
2222:Bateman, H. (1934),
2017:
1855:
1679:
1605:
1578:
1542:
1347:
1229:
1132:
1052:
978:
931:
887:
726:
717:Touchard polynomials
528:
377:
199:
59:
16:In mathematics, the
2302:Ann. Mat. Pura Appl
2006:Generating function
1844:Recurrence relation
1699:
1367:
545:
394:
186:Legendre polynomial
18:Bateman polynomials
2315:10.1007/BF02416800
2250:
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1992:
1830:
1682:
1662:
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915:
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531:
508:
380:
340:
324:
289:
162:
2155:
2134:
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1768:
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1304:
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1265:
1201:
1178:
1165:
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1011:
806:
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622:
612:
597:
412:
354:Pasternack (1939)
318:
288:
278:
263:
89:
47:Pasternack (1939)
2526:
2505:
2488:
2465:
2449:(187): 209–226,
2433:
2416:
2406:
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2366:
2343:
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2317:
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2270:
2259:
2257:
2256:
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2240:
2239:
2224:"The polynomial
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2193:
2191:
2190:
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2140:
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2101:
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2059:
2050:
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2039:
2034:
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1361:
1325:
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2282:
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2273:
2231:
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2117:
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2015:
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1954:
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1751:
1738:
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1345:
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1226:
1203:
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