35:
254:
84:
recognized its application to linear feedback shift registers and simplified the algorithm. Massey termed the algorithm the LFSR Synthesis
Algorithm (Berlekamp Iterative Algorithm), but it is now known as the Berlekamp–Massey algorithm.
1320:
813:
573:
426:
1006:
685:
1775:
1140:
66:. The field requirement means that the Berlekamp–Massey algorithm requires all non-zero elements to have a multiplicative inverse. Reeds and Sloane offer an extension to handle a
121:
1393:
2144:
1973:
2427:
1183:
696:
2657:
437:
293:
2600:
2453:
2194:
In the case of binary GF(2) BCH code, the discrepancy d will be zero on all odd steps, so a check can be added to avoid calculating it.
2315:
911:
94:
2662:
2329:
55:
599:
51:
2593:
1713:
2588:
2320:
1056:
1406:
equals the actual number of errors, then during the iteration process, the discrepancies will become zero before
2583:
28:
249:{\displaystyle S_{i+\nu }+\Lambda _{1}S_{i+\nu -1}+\cdots +\Lambda _{\nu -1}S_{i+1}+\Lambda _{\nu }S_{i}=0.}
2532:
2382:
1331:
34:
1454:
to the number of available syndromes used to calculate discrepancies, and also handles the case where
2537:
2387:
63:
59:
2550:
2522:
2492:
2109:
1938:
67:
2637:
2615:
2612:
2449:
2421:
2542:
2484:
2392:
591:
97:
for solving the set of linear equations. It can be summarized as finding the coefficients Λ
2441:
2409:
2363:
73:
17:
2473:
2651:
2554:
1315:{\displaystyle d\gets S_{k}+C_{1}S_{k-1}+\cdots -(d/b)(S_{j}+B_{1}S_{j-1}+\cdots ).}
2496:
2469:
81:
2642:
808:{\displaystyle S_{n}+C_{1}S_{n-1}+\cdots +C_{L}S_{n-L}=0,\qquad L\leq n\leq N-1.}
2510:
2604:
2546:
2488:
2620:
54:(LFSR) for a given binary output sequence. The algorithm will also find the
47:
568:{\displaystyle C(x)=1+C_{1}x+C_{2}x^{2}+\cdots +C_{L-1}x^{L-1}+C_{L}x^{L}.}
421:{\displaystyle C(x)=C_{L}x^{L}+C_{L-1}x^{L-1}+\cdots +C_{2}x^{2}+C_{1}x+1}
77:
2367:
2396:
2527:
2509:
Ben Atti, Nadia; Diaz-Toca, Gema M.; Lombardi, Henri (April 2006),
2244:/* if odd step number, discrepancy == 0, no need to calculate it */
2629:
838:
is used as the main iterator and to index the syndromes from 0 to
830:
is the current number of assumed errors, and initialized to zero.
33:
2416:, International Symposium on Information Theory, San Remo, Italy
1508:/* coeffs are s_j; output sequence as N-1 degree polynomial) */
1001:{\displaystyle d\gets S_{k}+C_{1}S_{k-1}+\cdots +C_{L}S_{k-L}.}
2515:
Applicable
Algebra in Engineering, Communication and Computing
578:
The goal of the algorithm is to determine the minimal degree
2448:(Revised ed.), Laguna Hills, CA: Aegean Park Press,
1802:/* step 3. discrepancy is zero; annihilation continues */
897:
Each iteration of the algorithm calculates a discrepancy
93:
The
Berlekamp–Massey algorithm is an alternative to the
680:{\displaystyle S_{n}+C_{1}S_{n-1}+\cdots +C_{L}S_{n-L}}
2112:
1941:
1716:
1334:
1186:
1059:
914:
699:
602:
440:
296:
124:
2323:, an extension for sequences over integers mod
2138:
1967:
1769:
1387:
1314:
1153:B(x) so it follows the syndromes corresponding to
1134:
1000:
807:
679:
567:
420:
248:
1770:{\displaystyle \sum _{i=1}^{L}c_{i}\cdot s_{n-i}}
1325:This would change a recalculated discrepancy to:
2459:. Previous publisher McGraw-Hill, New York, NY.
1135:{\displaystyle C(x)\gets C(x)-(d/b)x^{m}B(x).}
8:
2474:"Shift-register synthesis and BCH decoding"
2349:
1177:, and a recalculated discrepancy would be:
2511:"The Berlekamp–Massey Algorithm revisited"
2426:: CS1 maint: location missing publisher (
2536:
2526:
2386:
2130:
2117:
2111:
1959:
1946:
1940:
1755:
1742:
1732:
1721:
1715:
1353:
1333:
1288:
1278:
1265:
1247:
1220:
1210:
1197:
1185:
1111:
1096:
1058:
983:
973:
948:
938:
925:
913:
762:
752:
727:
717:
704:
698:
665:
655:
630:
620:
607:
601:
556:
546:
527:
511:
492:
482:
466:
439:
403:
390:
380:
355:
339:
326:
316:
295:
234:
224:
205:
189:
158:
148:
129:
123:
2643:Online GF(2) Berlekamp-Massey calculator
2481:IEEE Transactions on Information Theory
2342:
1470:, p. 124) for an arbitrary field:
1027:are correct for the moment, increments
2566:
2419:
1467:
78:Bose–Chaudhuri–Hocquenghem (BCH) codes
2368:"Shift-Register Synthesis (Modulo n)"
1418:is updated and algorithm will update
1398:The algorithm also needs to increase
7:
1015:is zero, the algorithm assumes that
2630:GF(2) implementation in Mathematica
1691:/* step 2. calculate discrepancy */
1038:is not zero, the algorithm adjusts
894:were updated and initialized to 1.
76:invented an algorithm for decoding
1410:becomes greater than or equal to 2
878:is the number of iterations since
874:was updated and initialized to 1.
866:is a copy of the last discrepancy
862:was updated and initialized to 1.
834:is the total number of syndromes.
221:
186:
145:
25:
2638:Applet Berlekamp–Massey algorithm
2330:Nonlinear-feedback shift register
1402:(number of errors) as needed. If
1388:{\displaystyle d=d-(d/b)b=d-d=0.}
275:). The error locator polynomial
783:
2658:Error detection and correction
1361:
1347:
1306:
1258:
1255:
1241:
1190:
1126:
1120:
1104:
1090:
1084:
1078:
1072:
1069:
1063:
918:
450:
444:
306:
300:
52:linear-feedback shift register
1:
2316:Reed–Solomon error correction
1046:) so that a recalculation of
267:) is a potential instance of
95:Reed–Solomon Peterson decoder
2616:"Berlekamp–Massey Algorithm"
2584:"Berlekamp-Massey algorithm"
1859:/* temporary copy of C(x) */
1157:. If the previous update of
259:In the code examples below,
107:) so that for all positions
50:that will find the shortest
2589:Encyclopedia of Mathematics
2139:{\displaystyle b^{-1}x^{m}}
1968:{\displaystyle b^{-1}x^{m}}
1511:/* connection polynomial */
2679:
2601:Berlekamp–Massey algorithm
1458:increases by more than 1.
44:Berlekamp–Massey algorithm
38:Berlekamp–Massey algorithm
26:
18:Berlekamp-Massey algorithm
2547:10.1007/s00200-005-0190-z
2375:SIAM Journal on Computing
2663:Cryptanalytic algorithms
2489:10.1109/TIT.1969.1054260
2196:
1472:
870:(explained below) since
850:) is a copy of the last
89:Description of algorithm
27:Not to be confused with
2446:Algebraic Coding Theory
2350:Reeds & Sloane 1985
826:) is initialized to 1,
590:) which results in all
2483:, IT-15 (1): 122–127,
2414:Nonbinary BCH decoding
2321:Reeds–Sloane algorithm
2140:
1969:
1771:
1737:
1389:
1316:
1161:occurred on iteration
1136:
1002:
809:
681:
569:
422:
287:errors is defined as:
250:
39:
2141:
1970:
1772:
1717:
1646:/* steps 2. and 6. */
1390:
1317:
1137:
1003:
810:
682:
570:
423:
251:
37:
29:Berlekamp's algorithm
2110:
1939:
1714:
1550:/* coeffs are c_j */
1332:
1184:
1057:
912:
697:
600:
438:
294:
122:
2442:Berlekamp, Elwyn R.
2410:Berlekamp, Elwyn R.
1466:The algorithm from
111:in an input stream
2613:Weisstein, Eric W.
2136:
1965:
1767:
1385:
1312:
1132:
998:
805:
690:being equal to 0:
677:
565:
418:
246:
103:of a polynomial Λ(
60:recurrent sequence
56:minimal polynomial
40:
2455:978-0-89412-063-3
1438:= 1. The formula
1031:, and continues.
16:(Redirected from
2670:
2636:
2626:
2625:
2597:
2570:
2564:
2558:
2557:
2540:
2530:
2506:
2500:
2499:
2478:
2472:(January 1969),
2466:
2460:
2458:
2438:
2432:
2431:
2425:
2417:
2406:
2400:
2399:
2390:
2372:
2364:Sloane, N. J. A.
2359:
2353:
2347:
2305:
2302:
2299:
2296:
2293:
2290:
2287:
2284:
2281:
2278:
2275:
2272:
2269:
2266:
2263:
2260:
2257:
2254:
2251:
2248:
2245:
2242:
2239:
2236:
2233:
2230:
2227:
2224:
2221:
2218:
2215:
2212:
2209:
2206:
2203:
2200:
2190:
2187:
2184:
2181:
2178:
2175:
2172:
2169:
2166:
2163:
2160:
2157:
2154:
2151:
2148:
2145:
2143:
2142:
2137:
2135:
2134:
2125:
2124:
2106:
2103:
2100:
2097:
2094:
2091:
2088:
2085:
2082:
2079:
2076:
2073:
2070:
2067:
2064:
2061:
2058:
2055:
2052:
2049:
2046:
2043:
2040:
2037:
2034:
2031:
2028:
2025:
2022:
2019:
2016:
2013:
2010:
2007:
2004:
2001:
1998:
1995:
1992:
1989:
1986:
1983:
1980:
1977:
1974:
1972:
1971:
1966:
1964:
1963:
1954:
1953:
1935:
1932:
1929:
1926:
1923:
1920:
1917:
1914:
1911:
1908:
1905:
1902:
1899:
1896:
1893:
1890:
1887:
1884:
1881:
1878:
1875:
1872:
1869:
1866:
1863:
1860:
1857:
1854:
1851:
1848:
1845:
1842:
1839:
1836:
1833:
1830:
1827:
1824:
1821:
1818:
1815:
1812:
1809:
1806:
1803:
1800:
1797:
1794:
1791:
1788:
1785:
1782:
1779:
1776:
1774:
1773:
1768:
1766:
1765:
1747:
1746:
1736:
1731:
1710:
1707:
1704:
1701:
1698:
1695:
1692:
1689:
1686:
1683:
1680:
1677:
1674:
1671:
1668:
1665:
1662:
1659:
1656:
1653:
1650:
1647:
1644:
1641:
1638:
1635:
1632:
1629:
1626:
1623:
1620:
1617:
1614:
1611:
1608:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1590:
1587:
1584:
1581:
1578:
1575:
1572:
1569:
1566:
1563:
1560:
1557:
1554:
1551:
1548:
1545:
1542:
1539:
1536:
1533:
1530:
1527:
1524:
1521:
1518:
1515:
1512:
1509:
1506:
1503:
1500:
1497:
1494:
1491:
1488:
1485:
1482:
1479:
1476:
1394:
1392:
1391:
1386:
1357:
1321:
1319:
1318:
1313:
1299:
1298:
1283:
1282:
1270:
1269:
1251:
1231:
1230:
1215:
1214:
1202:
1201:
1141:
1139:
1138:
1133:
1116:
1115:
1100:
1007:
1005:
1004:
999:
994:
993:
978:
977:
959:
958:
943:
942:
930:
929:
814:
812:
811:
806:
773:
772:
757:
756:
738:
737:
722:
721:
709:
708:
686:
684:
683:
678:
676:
675:
660:
659:
641:
640:
625:
624:
612:
611:
574:
572:
571:
566:
561:
560:
551:
550:
538:
537:
522:
521:
497:
496:
487:
486:
471:
470:
427:
425:
424:
419:
408:
407:
395:
394:
385:
384:
366:
365:
350:
349:
331:
330:
321:
320:
255:
253:
252:
247:
239:
238:
229:
228:
216:
215:
200:
199:
175:
174:
153:
152:
140:
139:
62:in an arbitrary
21:
2678:
2677:
2673:
2672:
2671:
2669:
2668:
2667:
2648:
2647:
2634:
2611:
2610:
2582:
2579:
2574:
2573:
2565:
2561:
2508:
2507:
2503:
2476:
2468:
2467:
2463:
2456:
2440:
2439:
2435:
2418:
2408:
2407:
2403:
2397:10.1137/0214038
2370:
2361:
2360:
2356:
2348:
2344:
2339:
2312:
2307:
2306:
2303:
2300:
2297:
2294:
2291:
2288:
2285:
2282:
2279:
2276:
2273:
2270:
2267:
2264:
2261:
2258:
2255:
2252:
2249:
2246:
2243:
2240:
2237:
2234:
2231:
2228:
2225:
2222:
2219:
2216:
2213:
2210:
2207:
2204:
2201:
2198:
2192:
2191:
2188:
2185:
2182:
2179:
2176:
2173:
2170:
2167:
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