24:
243:
73:
recognized its application to linear feedback shift registers and simplified the algorithm. Massey termed the algorithm the LFSR Synthesis
Algorithm (Berlekamp Iterative Algorithm), but it is now known as the Berlekamp–Massey algorithm.
1309:
802:
562:
415:
995:
674:
1764:
1129:
55:. The field requirement means that the Berlekamp–Massey algorithm requires all non-zero elements to have a multiplicative inverse. Reeds and Sloane offer an extension to handle a
110:
1382:
2133:
1962:
2416:
1172:
685:
2646:
426:
282:
2589:
2442:
2183:
In the case of binary GF(2) BCH code, the discrepancy d will be zero on all odd steps, so a check can be added to avoid calculating it.
2304:
900:
83:
2651:
2318:
44:
588:
40:
2582:
1702:
2577:
2309:
1045:
1395:
equals the actual number of errors, then during the iteration process, the discrepancies will become zero before
2572:
17:
238:{\displaystyle S_{i+\nu }+\Lambda _{1}S_{i+\nu -1}+\cdots +\Lambda _{\nu -1}S_{i+1}+\Lambda _{\nu }S_{i}=0.}
2521:
2371:
1320:
23:
1443:
to the number of available syndromes used to calculate discrepancies, and also handles the case where
2526:
2376:
52:
48:
2539:
2511:
2481:
2098:
1927:
56:
2626:
2604:
2601:
2438:
2410:
2531:
2473:
2381:
580:
86:
for solving the set of linear equations. It can be summarized as finding the coefficients Λ
2430:
2398:
2352:
62:
2462:
2640:
2543:
1304:{\displaystyle d\gets S_{k}+C_{1}S_{k-1}+\cdots -(d/b)(S_{j}+B_{1}S_{j-1}+\cdots ).}
2485:
2458:
70:
2631:
797:{\displaystyle S_{n}+C_{1}S_{n-1}+\cdots +C_{L}S_{n-L}=0,\qquad L\leq n\leq N-1.}
2499:
2593:
2535:
2477:
2609:
43:(LFSR) for a given binary output sequence. The algorithm will also find the
36:
557:{\displaystyle C(x)=1+C_{1}x+C_{2}x^{2}+\cdots +C_{L-1}x^{L-1}+C_{L}x^{L}.}
410:{\displaystyle C(x)=C_{L}x^{L}+C_{L-1}x^{L-1}+\cdots +C_{2}x^{2}+C_{1}x+1}
66:
2356:
2385:
2516:
2498:
Ben Atti, Nadia; Diaz-Toca, Gema M.; Lombardi, Henri (April 2006),
2233:/* if odd step number, discrepancy == 0, no need to calculate it */
2618:
827:
is used as the main iterator and to index the syndromes from 0 to
819:
is the current number of assumed errors, and initialized to zero.
22:
2405:, International Symposium on Information Theory, San Remo, Italy
1497:/* coeffs are s_j; output sequence as N-1 degree polynomial) */
990:{\displaystyle d\gets S_{k}+C_{1}S_{k-1}+\cdots +C_{L}S_{k-L}.}
2504:
Applicable
Algebra in Engineering, Communication and Computing
567:
The goal of the algorithm is to determine the minimal degree
2437:(Revised ed.), Laguna Hills, CA: Aegean Park Press,
1791:/* step 3. discrepancy is zero; annihilation continues */
886:
Each iteration of the algorithm calculates a discrepancy
82:
The
Berlekamp–Massey algorithm is an alternative to the
669:{\displaystyle S_{n}+C_{1}S_{n-1}+\cdots +C_{L}S_{n-L}}
2101:
1930:
1705:
1323:
1175:
1048:
903:
688:
591:
429:
285:
113:
2312:, an extension for sequences over integers mod
2127:
1956:
1758:
1376:
1303:
1142:B(x) so it follows the syndromes corresponding to
1123:
989:
796:
668:
556:
409:
237:
1759:{\displaystyle \sum _{i=1}^{L}c_{i}\cdot s_{n-i}}
1314:This would change a recalculated discrepancy to:
2448:. Previous publisher McGraw-Hill, New York, NY.
1124:{\displaystyle C(x)\gets C(x)-(d/b)x^{m}B(x).}
8:
2463:"Shift-register synthesis and BCH decoding"
2338:
1166:, and a recalculated discrepancy would be:
2500:"The Berlekamp–Massey Algorithm revisited"
2415:: CS1 maint: location missing publisher (
2525:
2515:
2375:
2119:
2106:
2100:
1948:
1935:
1929:
1744:
1731:
1721:
1710:
1704:
1342:
1322:
1277:
1267:
1254:
1236:
1209:
1199:
1186:
1174:
1100:
1085:
1047:
972:
962:
937:
927:
914:
902:
751:
741:
716:
706:
693:
687:
654:
644:
619:
609:
596:
590:
545:
535:
516:
500:
481:
471:
455:
428:
392:
379:
369:
344:
328:
315:
305:
284:
223:
213:
194:
178:
147:
137:
118:
112:
2632:Online GF(2) Berlekamp-Massey calculator
2470:IEEE Transactions on Information Theory
2331:
1459:, p. 124) for an arbitrary field:
1016:are correct for the moment, increments
2555:
2408:
1456:
67:Bose–Chaudhuri–Hocquenghem (BCH) codes
2357:"Shift-Register Synthesis (Modulo n)"
1407:is updated and algorithm will update
1387:The algorithm also needs to increase
7:
1004:is zero, the algorithm assumes that
2619:GF(2) implementation in Mathematica
1680:/* step 2. calculate discrepancy */
1027:is not zero, the algorithm adjusts
883:were updated and initialized to 1.
65:invented an algorithm for decoding
1399:becomes greater than or equal to 2
867:is the number of iterations since
863:was updated and initialized to 1.
855:is a copy of the last discrepancy
851:was updated and initialized to 1.
823:is the total number of syndromes.
210:
175:
134:
14:
2627:Applet Berlekamp–Massey algorithm
2319:Nonlinear-feedback shift register
1391:(number of errors) as needed. If
1377:{\displaystyle d=d-(d/b)b=d-d=0.}
264:). The error locator polynomial
772:
2647:Error detection and correction
1350:
1336:
1295:
1247:
1244:
1230:
1179:
1115:
1109:
1093:
1079:
1073:
1067:
1061:
1058:
1052:
907:
439:
433:
295:
289:
41:linear-feedback shift register
1:
2305:Reed–Solomon error correction
1035:) so that a recalculation of
256:) is a potential instance of
84:Reed–Solomon Peterson decoder
2605:"Berlekamp–Massey Algorithm"
2573:"Berlekamp-Massey algorithm"
1848:/* temporary copy of C(x) */
1146:. If the previous update of
248:In the code examples below,
96:) so that for all positions
39:that will find the shortest
2578:Encyclopedia of Mathematics
2128:{\displaystyle b^{-1}x^{m}}
1957:{\displaystyle b^{-1}x^{m}}
1500:/* connection polynomial */
2668:
2590:Berlekamp–Massey algorithm
1447:increases by more than 1.
33:Berlekamp–Massey algorithm
27:Berlekamp–Massey algorithm
15:
2536:10.1007/s00200-005-0190-z
2364:SIAM Journal on Computing
2652:Cryptanalytic algorithms
2478:10.1109/TIT.1969.1054260
2185:
1461:
859:(explained below) since
839:) is a copy of the last
78:Description of algorithm
16:Not to be confused with
2435:Algebraic Coding Theory
2339:Reeds & Sloane 1985
815:) is initialized to 1,
579:) which results in all
2472:, IT-15 (1): 122–127,
2403:Nonbinary BCH decoding
2310:Reeds–Sloane algorithm
2129:
1958:
1760:
1726:
1378:
1305:
1150:occurred on iteration
1125:
991:
798:
670:
558:
411:
276:errors is defined as:
239:
28:
2130:
1959:
1761:
1706:
1635:/* steps 2. and 6. */
1379:
1306:
1126:
992:
799:
671:
559:
412:
240:
26:
18:Berlekamp's algorithm
2099:
1928:
1703:
1539:/* coeffs are c_j */
1321:
1173:
1046:
901:
686:
589:
427:
283:
111:
2431:Berlekamp, Elwyn R.
2399:Berlekamp, Elwyn R.
1455:The algorithm from
100:in an input stream
2602:Weisstein, Eric W.
2125:
1954:
1756:
1374:
1301:
1121:
987:
794:
679:being equal to 0:
666:
554:
407:
235:
92:of a polynomial Λ(
49:recurrent sequence
45:minimal polynomial
29:
2444:978-0-89412-063-3
1427:= 1. The formula
1020:, and continues.
2659:
2625:
2615:
2614:
2586:
2559:
2553:
2547:
2546:
2529:
2519:
2495:
2489:
2488:
2467:
2461:(January 1969),
2455:
2449:
2447:
2427:
2421:
2420:
2414:
2406:
2395:
2389:
2388:
2379:
2361:
2353:Sloane, N. J. A.
2348:
2342:
2336:
2294:
2291:
2288:
2285:
2282:
2279:
2276:
2273:
2270:
2267:
2264:
2261:
2258:
2255:
2252:
2249:
2246:
2243:
2240:
2237:
2234:
2231:
2228:
2225:
2222:
2219:
2216:
2213:
2210:
2207:
2204:
2201:
2198:
2195:
2192:
2189:
2179:
2176:
2173:
2170:
2167:
2164:
2161:
2158:
2155:
2152:
2149:
2146:
2143:
2140:
2137:
2134:
2132:
2131:
2126:
2124:
2123:
2114:
2113:
2095:
2092:
2089:
2086:
2083:
2080:
2077:
2074:
2071:
2068:
2065:
2062:
2059:
2056:
2053:
2050:
2047:
2044:
2041:
2038:
2035:
2032:
2029:
2026:
2023:
2020:
2017:
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2011:
2008:
2005:
2002:
1999:
1996:
1993:
1990:
1987:
1984:
1981:
1978:
1975:
1972:
1969:
1966:
1963:
1961:
1960:
1955:
1953:
1952:
1943:
1942:
1924:
1921:
1918:
1915:
1912:
1909:
1906:
1903:
1900:
1897:
1894:
1891:
1888:
1885:
1882:
1879:
1876:
1873:
1870:
1867:
1864:
1861:
1858:
1855:
1852:
1849:
1846:
1843:
1840:
1837:
1834:
1831:
1828:
1825:
1822:
1819:
1816:
1813:
1810:
1807:
1804:
1801:
1798:
1795:
1792:
1789:
1786:
1783:
1780:
1777:
1774:
1771:
1768:
1765:
1763:
1762:
1757:
1755:
1754:
1736:
1735:
1725:
1720:
1699:
1696:
1693:
1690:
1687:
1684:
1681:
1678:
1675:
1672:
1669:
1666:
1663:
1660:
1657:
1654:
1651:
1648:
1645:
1642:
1639:
1636:
1633:
1630:
1627:
1624:
1621:
1618:
1615:
1612:
1609:
1606:
1603:
1600:
1597:
1594:
1591:
1588:
1585:
1582:
1579:
1576:
1573:
1570:
1567:
1564:
1561:
1558:
1555:
1552:
1549:
1546:
1543:
1540:
1537:
1534:
1531:
1528:
1525:
1522:
1519:
1516:
1513:
1510:
1507:
1504:
1501:
1498:
1495:
1492:
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1480:
1477:
1474:
1471:
1468:
1465:
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1381:
1380:
1375:
1346:
1310:
1308:
1307:
1302:
1288:
1287:
1272:
1271:
1259:
1258:
1240:
1220:
1219:
1204:
1203:
1191:
1190:
1130:
1128:
1127:
1122:
1105:
1104:
1089:
996:
994:
993:
988:
983:
982:
967:
966:
948:
947:
932:
931:
919:
918:
803:
801:
800:
795:
762:
761:
746:
745:
727:
726:
711:
710:
698:
697:
675:
673:
672:
667:
665:
664:
649:
648:
630:
629:
614:
613:
601:
600:
563:
561:
560:
555:
550:
549:
540:
539:
527:
526:
511:
510:
486:
485:
476:
475:
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459:
416:
414:
413:
408:
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396:
384:
383:
374:
373:
355:
354:
339:
338:
320:
319:
310:
309:
244:
242:
241:
236:
228:
227:
218:
217:
205:
204:
189:
188:
164:
163:
142:
141:
129:
128:
51:in an arbitrary
2667:
2666:
2662:
2661:
2660:
2658:
2657:
2656:
2637:
2636:
2623:
2600:
2599:
2571:
2568:
2563:
2562:
2554:
2550:
2497:
2496:
2492:
2465:
2457:
2456:
2452:
2445:
2429:
2428:
2424:
2407:
2397:
2396:
2392:
2386:10.1137/0214038
2359:
2350:
2349:
2345:
2337:
2333:
2328:
2301:
2296:
2295:
2292:
2289:
2286:
2283:
2280:
2277:
2274:
2271:
2268:
2265:
2262:
2259:
2256:
2253:
2250:
2247:
2244:
2241:
2238:
2235:
2232:
2229:
2226:
2223:
2220:
2217:
2214:
2211:
2208:
2205:
2202:
2199:
2196:
2193:
2190:
2187:
2181:
2180:
2177:
2174:
2171:
2168:
2165:
2162:
2159:
2156:
2153:
2150:
2147:
2144:
2141:
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