1984:
1537:
1163:
1532:{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}
1970:
865:
580:
514:
860:{\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}
290:
509:{\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi =\left(\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}\partial _{j}\partial _{j}\right)\varphi .}
1018:
920:
1105:
1894:
135:
1632:
171:
89:
1140:
568:
541:
233:
198:
2115:
925:
253:
1815:
1776:
1737:
1702:
1667:
1952:
1923:
285:
1023:
1983:
1831:
878:
94:
2050:
2034:
2019:
1828:, so are biharmonic functions in 2 variables. The general form of a biharmonic function in 2 variables can also be written as
1554:
140:
58:
28:
872:
574:
264:
1969:
570:
because the former makes clear which of the indices of the four nabla operators are contracted over.
44:
1118:
32:
516:
Because the formula here contains a summation of indices, many mathematicians prefer the notation
1975:
1955:
1825:
1821:
1779:
1740:
546:
519:
211:
176:
2088:
2069:
2046:
2030:
2015:
1997:
1157:
1150:
36:
238:
1785:
1746:
1707:
1672:
1637:
1540:
1928:
1899:
2091:
2072:
1989:
270:
2109:
1013:{\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}
40:
20:
1965:
2096:
2077:
205:
43:. Specifically, it is used in the modeling of thin structures that react
915:{\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} \right)}
1539:
which can be solved by separation of variables. The result is the
1100:{\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}
201:
2027:
1889:{\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}
1931:
1902:
1834:
1788:
1749:
1710:
1675:
1640:
1557:
1166:
1121:
1026:
928:
881:
583:
549:
522:
293:
273:
241:
214:
179:
143:
97:
61:
1153:
is biharmonic, but the converse is not always true.
1946:
1917:
1888:
1809:
1770:
1731:
1696:
1661:
1626:
1551:The general solution to the 2-dimensional case is
1531:
1145:A solution to the biharmonic equation is called a
1134:
1099:
1012:
914:
859:
562:
535:
508:
279:
247:
227:
192:
165:
129:
83:
130:{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}
1824:in 2 variables are closely related to complex
8:
1142:is a solution to the biharmonic equation.
1930:
1901:
1845:
1844:
1833:
1787:
1748:
1709:
1674:
1639:
1556:
1514:
1496:
1489:
1481:
1472:
1454:
1436:
1429:
1421:
1412:
1400:
1382:
1375:
1367:
1358:
1346:
1333:
1315:
1308:
1300:
1291:
1253:
1230:
1220:
1200:
1177:
1167:
1165:
1122:
1120:
1086:
1081:
1062:
1057:
1044:
1039:
1033:
1025:
1002:
988:
960:
943:
933:
927:
902:
893:
889:
888:
880:
842:
829:
811:
804:
789:
776:
758:
751:
736:
723:
705:
698:
683:
665:
658:
646:
628:
621:
609:
591:
584:
582:
554:
548:
527:
521:
489:
479:
469:
458:
438:
428:
418:
407:
386:
376:
366:
356:
346:
335:
325:
314:
298:
292:
272:
240:
219:
213:
184:
178:
148:
142:
112:
102:
96:
66:
60:
2116:Elliptic partial differential equations
2012:CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
899:
16:Fourth-order PDE in continuum mechanics
1627:{\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}
577:the biharmonic equation has the form
166:{\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}
84:{\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}
7:
200:, which is the fourth power of the
1507:
1493:
1460:
1447:
1433:
1393:
1379:
1339:
1326:
1312:
1264:
1256:
1236:
1232:
1206:
1202:
1183:
1179:
930:
835:
822:
808:
782:
769:
755:
729:
716:
702:
676:
662:
639:
625:
602:
588:
573:For example, in three dimensional
551:
524:
486:
476:
435:
425:
383:
373:
363:
353:
295:
242:
216:
181:
145:
109:
99:
63:
14:
1982:
1968:
903:
204:operator and the square of the
2045:. Courier Dover Publications.
2043:Advanced Strength of Materials
2041:J P Den Hartog (Jul 1, 1987).
1941:
1935:
1912:
1906:
1883:
1880:
1874:
1865:
1859:
1850:
1841:
1804:
1792:
1765:
1753:
1726:
1714:
1691:
1679:
1656:
1644:
1621:
1609:
1600:
1588:
1576:
1564:
1135:{\displaystyle {\frac {1}{r}}}
994:
966:
1:
1160:, the biharmonic equation is
29:partial differential equation
563:{\displaystyle \nabla ^{4}}
536:{\displaystyle \Delta ^{2}}
228:{\displaystyle \nabla ^{2}}
193:{\displaystyle \nabla ^{4}}
39:theory and the solution of
2132:
31:which arises in areas of
2029:, Marcel Dekker, 2000.
867:As another example, in
267:, it can be written in
248:{\displaystyle \Delta }
1948:
1919:
1890:
1811:
1810:{\displaystyle u(x,y)}
1772:
1771:{\displaystyle v(x,y)}
1733:
1732:{\displaystyle w(x,y)}
1698:
1697:{\displaystyle v(x,y)}
1663:
1662:{\displaystyle u(x,y)}
1628:
1533:
1136:
1101:
1014:
916:
861:
564:
537:
510:
474:
423:
351:
330:
281:
249:
229:
194:
167:
131:
85:
2092:"Biharmonic Operator"
2073:"Biharmonic Equation"
1949:
1920:
1891:
1812:
1773:
1734:
1699:
1664:
1629:
1534:
1137:
1102:
1015:
917:
873:real coordinate space
862:
575:Cartesian coordinates
565:
538:
511:
454:
403:
331:
310:
282:
265:Cartesian coordinates
250:
230:
195:
168:
132:
86:
1947:{\displaystyle g(z)}
1929:
1918:{\displaystyle f(z)}
1900:
1832:
1786:
1747:
1708:
1673:
1638:
1555:
1164:
1119:
1024:
926:
879:
581:
547:
520:
291:
271:
261:bilaplacian operator
239:
212:
177:
141:
95:
59:
47:to external forces.
2014:, CRC Press, 2002.
1547:2-dimensional space
1156:In two-dimensional
1147:biharmonic function
1091:
1067:
1049:
875:without the origin
257:biharmonic operator
255:), is known as the
33:continuum mechanics
25:biharmonic equation
2089:Weisstein, Eric W.
2070:Weisstein, Eric W.
2010:Eric W Weisstein,
1976:Mathematics portal
1956:analytic functions
1944:
1915:
1886:
1826:analytic functions
1822:harmonic functions
1807:
1780:harmonic conjugate
1768:
1741:harmonic functions
1729:
1694:
1659:
1624:
1529:
1132:
1097:
1077:
1053:
1035:
1010:
912:
857:
560:
533:
506:
277:
245:
225:
190:
163:
127:
81:
27:is a fourth-order
1998:Harmonic function
1853:
1521:
1487:
1467:
1427:
1407:
1373:
1353:
1306:
1271:
1243:
1228:
1213:
1190:
1175:
1158:polar coordinates
1151:harmonic function
1130:
1107:which shows, for
1092:
1008:
951:
849:
796:
743:
690:
653:
616:
280:{\displaystyle n}
55:It is written as
37:linear elasticity
2123:
2102:
2101:
2083:
2082:
2056:
1992:
1987:
1986:
1978:
1973:
1972:
1953:
1951:
1950:
1945:
1924:
1922:
1921:
1916:
1895:
1893:
1892:
1887:
1855:
1854:
1846:
1816:
1814:
1813:
1808:
1777:
1775:
1774:
1769:
1738:
1736:
1735:
1730:
1703:
1701:
1700:
1695:
1668:
1666:
1665:
1660:
1633:
1631:
1630:
1625:
1541:Michell solution
1538:
1536:
1535:
1530:
1522:
1520:
1519:
1518:
1505:
1501:
1500:
1490:
1488:
1486:
1485:
1473:
1468:
1466:
1459:
1458:
1445:
1441:
1440:
1430:
1428:
1426:
1425:
1413:
1408:
1406:
1405:
1404:
1391:
1387:
1386:
1376:
1374:
1372:
1371:
1359:
1354:
1352:
1351:
1350:
1338:
1337:
1324:
1320:
1319:
1309:
1307:
1305:
1304:
1292:
1287:
1283:
1282:
1278:
1277:
1273:
1272:
1270:
1262:
1254:
1244:
1242:
1231:
1229:
1221:
1214:
1212:
1201:
1191:
1189:
1178:
1176:
1168:
1141:
1139:
1138:
1133:
1131:
1123:
1106:
1104:
1103:
1098:
1093:
1090:
1085:
1066:
1061:
1048:
1043:
1034:
1019:
1017:
1016:
1011:
1009:
1007:
1006:
997:
993:
992:
961:
956:
952:
944:
938:
937:
921:
919:
918:
913:
911:
907:
906:
898:
897:
892:
866:
864:
863:
858:
850:
848:
847:
846:
834:
833:
820:
816:
815:
805:
797:
795:
794:
793:
781:
780:
767:
763:
762:
752:
744:
742:
741:
740:
728:
727:
714:
710:
709:
699:
691:
689:
688:
687:
674:
670:
669:
659:
654:
652:
651:
650:
637:
633:
632:
622:
617:
615:
614:
613:
600:
596:
595:
585:
569:
567:
566:
561:
559:
558:
542:
540:
539:
534:
532:
531:
515:
513:
512:
507:
499:
495:
494:
493:
484:
483:
473:
468:
448:
444:
443:
442:
433:
432:
422:
417:
391:
390:
381:
380:
371:
370:
361:
360:
350:
345:
329:
324:
303:
302:
286:
284:
283:
278:
254:
252:
251:
246:
234:
232:
231:
226:
224:
223:
199:
197:
196:
191:
189:
188:
172:
170:
169:
164:
153:
152:
136:
134:
133:
128:
117:
116:
107:
106:
90:
88:
87:
82:
71:
70:
2131:
2130:
2126:
2125:
2124:
2122:
2121:
2120:
2106:
2105:
2087:
2086:
2068:
2067:
2064:
2059:
2053:
2040:
2006:
1988:
1981:
1974:
1967:
1964:
1927:
1926:
1898:
1897:
1830:
1829:
1784:
1783:
1745:
1744:
1706:
1705:
1671:
1670:
1636:
1635:
1553:
1552:
1549:
1510:
1506:
1492:
1491:
1477:
1450:
1446:
1432:
1431:
1417:
1396:
1392:
1378:
1377:
1363:
1342:
1329:
1325:
1311:
1310:
1296:
1263:
1255:
1249:
1245:
1235:
1219:
1215:
1205:
1196:
1192:
1182:
1162:
1161:
1117:
1116:
1022:
1021:
998:
984:
962:
939:
929:
924:
923:
887:
886:
882:
877:
876:
838:
825:
821:
807:
806:
785:
772:
768:
754:
753:
732:
719:
715:
701:
700:
679:
675:
661:
660:
642:
638:
624:
623:
605:
601:
587:
586:
579:
578:
550:
545:
544:
523:
518:
517:
485:
475:
453:
449:
434:
424:
402:
398:
382:
372:
362:
352:
294:
289:
288:
287:dimensions as:
269:
268:
237:
236:
215:
210:
209:
180:
175:
174:
144:
139:
138:
108:
98:
93:
92:
62:
57:
56:
53:
17:
12:
11:
5:
2129:
2127:
2119:
2118:
2108:
2107:
2104:
2103:
2084:
2063:
2062:External links
2060:
2058:
2057:
2051:
2038:
2023:
2007:
2005:
2002:
2001:
2000:
1994:
1993:
1990:Physics portal
1979:
1963:
1960:
1943:
1940:
1937:
1934:
1914:
1911:
1908:
1905:
1885:
1882:
1879:
1876:
1873:
1870:
1867:
1864:
1861:
1858:
1852:
1849:
1843:
1840:
1837:
1806:
1803:
1800:
1797:
1794:
1791:
1767:
1764:
1761:
1758:
1755:
1752:
1728:
1725:
1722:
1719:
1716:
1713:
1693:
1690:
1687:
1684:
1681:
1678:
1658:
1655:
1652:
1649:
1646:
1643:
1623:
1620:
1617:
1614:
1611:
1608:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1590:
1587:
1584:
1581:
1578:
1575:
1572:
1569:
1566:
1563:
1560:
1548:
1545:
1528:
1525:
1517:
1513:
1509:
1504:
1499:
1495:
1484:
1480:
1476:
1471:
1465:
1462:
1457:
1453:
1449:
1444:
1439:
1435:
1424:
1420:
1416:
1411:
1403:
1399:
1395:
1390:
1385:
1381:
1370:
1366:
1362:
1357:
1349:
1345:
1341:
1336:
1332:
1328:
1323:
1318:
1314:
1303:
1299:
1295:
1290:
1286:
1281:
1276:
1269:
1266:
1261:
1258:
1252:
1248:
1241:
1238:
1234:
1227:
1224:
1218:
1211:
1208:
1204:
1199:
1195:
1188:
1185:
1181:
1174:
1171:
1129:
1126:
1096:
1089:
1084:
1080:
1076:
1073:
1070:
1065:
1060:
1056:
1052:
1047:
1042:
1038:
1032:
1029:
1005:
1001:
996:
991:
987:
983:
980:
977:
974:
971:
968:
965:
959:
955:
950:
947:
942:
936:
932:
910:
905:
901:
896:
891:
885:
856:
853:
845:
841:
837:
832:
828:
824:
819:
814:
810:
803:
800:
792:
788:
784:
779:
775:
771:
766:
761:
757:
750:
747:
739:
735:
731:
726:
722:
718:
713:
708:
704:
697:
694:
686:
682:
678:
673:
668:
664:
657:
649:
645:
641:
636:
631:
627:
620:
612:
608:
604:
599:
594:
590:
557:
553:
530:
526:
505:
502:
498:
492:
488:
482:
478:
472:
467:
464:
461:
457:
452:
447:
441:
437:
431:
427:
421:
416:
413:
410:
406:
401:
397:
394:
389:
385:
379:
375:
369:
365:
359:
355:
349:
344:
341:
338:
334:
328:
323:
320:
317:
313:
309:
306:
301:
297:
276:
244:
222:
218:
187:
183:
162:
159:
156:
151:
147:
126:
123:
120:
115:
111:
105:
101:
80:
77:
74:
69:
65:
52:
49:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
2128:
2117:
2114:
2113:
2111:
2099:
2098:
2093:
2090:
2085:
2080:
2079:
2074:
2071:
2066:
2065:
2061:
2054:
2052:0-486-65407-9
2048:
2044:
2039:
2036:
2035:0-8247-0466-5
2032:
2028:
2024:
2021:
2020:1-58488-347-2
2017:
2013:
2009:
2008:
2003:
1999:
1996:
1995:
1991:
1985:
1980:
1977:
1971:
1966:
1961:
1959:
1957:
1938:
1932:
1909:
1903:
1877:
1871:
1868:
1862:
1856:
1847:
1838:
1835:
1827:
1823:
1818:
1801:
1798:
1795:
1789:
1781:
1762:
1759:
1756:
1750:
1742:
1723:
1720:
1717:
1711:
1688:
1685:
1682:
1676:
1653:
1650:
1647:
1641:
1618:
1615:
1612:
1606:
1603:
1597:
1594:
1591:
1585:
1582:
1579:
1573:
1570:
1567:
1561:
1558:
1546:
1544:
1542:
1526:
1523:
1515:
1511:
1502:
1497:
1482:
1478:
1474:
1469:
1463:
1455:
1451:
1442:
1437:
1422:
1418:
1414:
1409:
1401:
1397:
1388:
1383:
1368:
1364:
1360:
1355:
1347:
1343:
1334:
1330:
1321:
1316:
1301:
1297:
1293:
1288:
1284:
1279:
1274:
1267:
1259:
1250:
1246:
1239:
1225:
1222:
1216:
1209:
1197:
1193:
1186:
1172:
1169:
1159:
1154:
1152:
1148:
1143:
1127:
1124:
1114:
1110:
1094:
1087:
1082:
1078:
1074:
1071:
1068:
1063:
1058:
1054:
1050:
1045:
1040:
1036:
1030:
1027:
1003:
999:
989:
985:
981:
978:
975:
972:
969:
963:
957:
953:
948:
945:
940:
934:
908:
894:
883:
874:
871:-dimensional
870:
854:
851:
843:
839:
830:
826:
817:
812:
801:
798:
790:
786:
777:
773:
764:
759:
748:
745:
737:
733:
724:
720:
711:
706:
695:
692:
684:
680:
671:
666:
655:
647:
643:
634:
629:
618:
610:
606:
597:
592:
576:
571:
555:
528:
503:
500:
496:
490:
480:
470:
465:
462:
459:
455:
450:
445:
439:
429:
419:
414:
411:
408:
404:
399:
395:
392:
387:
377:
367:
357:
347:
342:
339:
336:
332:
326:
321:
318:
315:
311:
307:
304:
299:
274:
266:
262:
258:
220:
207:
203:
185:
160:
157:
154:
149:
124:
121:
118:
113:
103:
78:
75:
72:
67:
50:
48:
46:
42:
38:
34:
30:
26:
22:
2095:
2076:
2042:
2026:
2011:
1819:
1550:
1155:
1146:
1144:
1112:
1108:
868:
572:
260:
256:
54:
41:Stokes flows
35:, including
24:
18:
2025:S I Hayek,
45:elastically
21:mathematics
2004:References
2097:MathWorld
2078:MathWorld
1851:¯
1839:
1580:−
1512:θ
1508:∂
1503:φ
1494:∂
1461:∂
1452:θ
1448:∂
1443:φ
1434:∂
1410:−
1398:θ
1394:∂
1389:φ
1380:∂
1340:∂
1331:θ
1327:∂
1322:φ
1313:∂
1265:∂
1260:φ
1257:∂
1237:∂
1233:∂
1207:∂
1203:∂
1184:∂
1180:∂
1115:=5 only,
1072:⋯
973:−
931:∇
900:∖
836:∂
823:∂
818:φ
809:∂
783:∂
770:∂
765:φ
756:∂
730:∂
717:∂
712:φ
703:∂
677:∂
672:φ
663:∂
640:∂
635:φ
626:∂
603:∂
598:φ
589:∂
552:∇
525:Δ
501:φ
487:∂
477:∂
456:∑
436:∂
426:∂
405:∑
393:φ
384:∂
374:∂
364:∂
354:∂
333:∑
312:∑
305:φ
296:∇
243:Δ
217:∇
208:operator
206:Laplacian
182:∇
155:φ
146:Δ
119:φ
110:∇
100:∇
73:φ
64:∇
2110:Category
1962:See also
1820:Just as
51:Notation
1111:=3 and
259:or the
2049:
2033:
2018:
1896:where
1778:is a
1634:where
1149:. Any
1020:where
263:. In
173:where
23:, the
543:over
2047:ISBN
2031:ISBN
2016:ISBN
1954:are
1925:and
1743:and
1739:are
1704:and
235:(or
1782:of
202:del
137:or
91:or
19:In
2112::
2094:.
2075:.
1958:.
1836:Im
1817:.
1669:,
1543:.
970:15
922:,
855:0.
2100:.
2081:.
2055:.
2037:.
2022:.
1942:)
1939:z
1936:(
1933:g
1913:)
1910:z
1907:(
1904:f
1884:)
1881:)
1878:z
1875:(
1872:g
1869:+
1866:)
1863:z
1860:(
1857:f
1848:z
1842:(
1805:)
1802:y
1799:,
1796:x
1793:(
1790:u
1766:)
1763:y
1760:,
1757:x
1754:(
1751:v
1727:)
1724:y
1721:,
1718:x
1715:(
1712:w
1692:)
1689:y
1686:,
1683:x
1680:(
1677:v
1657:)
1654:y
1651:,
1648:x
1645:(
1642:u
1622:)
1619:y
1616:,
1613:x
1610:(
1607:w
1604:+
1601:)
1598:y
1595:,
1592:x
1589:(
1586:u
1583:y
1577:)
1574:y
1571:,
1568:x
1565:(
1562:v
1559:x
1527:0
1524:=
1516:2
1498:2
1483:4
1479:r
1475:4
1470:+
1464:r
1456:2
1438:3
1423:3
1419:r
1415:2
1402:4
1384:4
1369:4
1365:r
1361:1
1356:+
1348:2
1344:r
1335:2
1317:4
1302:2
1298:r
1294:2
1289:+
1285:)
1280:)
1275:)
1268:r
1251:r
1247:(
1240:r
1226:r
1223:1
1217:(
1210:r
1198:r
1194:(
1187:r
1173:r
1170:1
1128:r
1125:1
1113:n
1109:n
1095:.
1088:2
1083:n
1079:x
1075:+
1069:+
1064:2
1059:2
1055:x
1051:+
1046:2
1041:1
1037:x
1031:=
1028:r
1004:5
1000:r
995:)
990:2
986:n
982:+
979:n
976:8
967:(
964:3
958:=
954:)
949:r
946:1
941:(
935:4
909:)
904:0
895:n
890:R
884:(
869:n
852:=
844:2
840:z
831:2
827:x
813:4
802:2
799:+
791:2
787:z
778:2
774:y
760:4
749:2
746:+
738:2
734:y
725:2
721:x
707:4
696:2
693:+
685:4
681:z
667:4
656:+
648:4
644:y
630:4
619:+
611:4
607:x
593:4
556:4
529:2
504:.
497:)
491:j
481:j
471:n
466:1
463:=
460:j
451:(
446:)
440:i
430:i
420:n
415:1
412:=
409:i
400:(
396:=
388:j
378:j
368:i
358:i
348:n
343:1
340:=
337:j
327:n
322:1
319:=
316:i
308:=
300:4
275:n
221:2
186:4
161:0
158:=
150:2
125:0
122:=
114:2
104:2
79:0
76:=
68:4
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
