2299:
1758:
1770:
1483:
386:
1360:
2294:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\={}&{}\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\end{aligned}}}
2952:
38:
1141:
1753:{\displaystyle {\frac {1}{(n-2)!}}\left(\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }\right)\left(\varepsilon _{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\gamma \delta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\right)=\delta _{\gamma \delta }^{\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\,.}
2771:
2489:
381:{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}
1355:{\displaystyle {\frac {1}{k!}}\varepsilon ^{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\varepsilon _{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}^{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\,.}
2751:
767:
1478:
883:
623:
2304:
1031:
2947:{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.}
1775:
1103:
2621:
652:
772:
512:
470:
1367:
918:
1050:
2982:
437:
3028:
3033:
28:
2484:{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}
2506:
473:
433:
32:
2301:
where the second and fourth terms are the same and artificially added to complete the sums as follows:
2521:
649:
are vectors. It may also be written as a formula giving the dot product of two wedge products, as
1118:
on the exterior algebra of a vector space, which is defined on wedge-decomposable elements as the
446:
1131:
2978:
2970:
2746:{\displaystyle \det(AB)=\sum _{S\subset \{1,\ldots ,n\} \atop |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),}
1115:
397:
1135:
441:
762:{\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\,,}
2607:
393:
1473:{\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}
878:{\displaystyle (a\times b)\cdot (c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}
618:{\displaystyle (a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)}
3022:
506:
496:
491:, the first and second terms on the right hand side become the squared magnitudes of
2603:
1119:
492:
389:
20:
2541:
2493:
This completes the proof after factoring out the terms indexed by
1026:{\displaystyle |a\wedge b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}-|a\cdot b|^{2}.}
2768:
We get the original identity as special case by setting
2870:
2786:
505:
dimensions these become the magnitudes of the dot and
449:
2774:
2624:
2307:
1773:
1486:
1480:
form of the Binet–Cauchy identity can be written as
1370:
1144:
1053:
921:
775:
655:
515:
472:. The Binet-Cauchy identity is a special case of the
41:
2946:
2745:
2483:
2293:
1752:
1472:
1354:
1097:
1025:
877:
761:
617:
464:
380:
3012:Matrix Algebra from a Statistician's Perspective
2753:where the sum extends over all possible subsets
2721:
2702:
2625:
1098:{\displaystyle \sin ^{2}\phi =1-\cos ^{2}\phi }
1047:are unit vectors, we obtain the usual relation
480:The Binet–Cauchy identity and exterior algebra
8:
2674:
2656:
2567:matrix whose columns are those columns of
2927:
2915:
2889:
2877:
2865:
2841:
2824:
2810:
2793:
2781:
2773:
2731:
2712:
2687:
2679:
2647:
2623:
2472:
2462:
2452:
2442:
2432:
2421:
2411:
2400:
2387:
2377:
2367:
2357:
2347:
2336:
2326:
2315:
2306:
2281:
2271:
2261:
2251:
2241:
2230:
2214:
2204:
2194:
2184:
2171:
2161:
2151:
2141:
2110:
2097:
2087:
2077:
2067:
2057:
2046:
2030:
2020:
2010:
2000:
1987:
1977:
1967:
1957:
1926:
1920:
1914:
1898:
1888:
1875:
1865:
1849:
1839:
1826:
1816:
1785:
1774:
1772:
1746:
1740:
1727:
1714:
1701:
1685:
1677:
1659:
1646:
1619:
1606:
1601:
1581:
1568:
1541:
1528:
1523:
1487:
1485:
1369:
1348:
1340:
1321:
1316:
1309:
1290:
1285:
1270:
1251:
1241:
1228:
1223:
1211:
1192:
1182:
1169:
1164:
1145:
1143:
1083:
1058:
1052:
1014:
1009:
994:
985:
980:
971:
965:
960:
951:
942:
937:
922:
920:
774:
755:
654:
514:
456:
452:
451:
448:
369:
359:
346:
336:
320:
310:
297:
287:
256:
238:
228:
218:
207:
187:
177:
167:
156:
133:
123:
113:
102:
82:
72:
62:
51:
40:
2977:(2nd ed.). CRC Press. p. 228.
2975:CRC concise encyclopedia of mathematics
2961:
16:On products of sums of series products
436:, which is a stronger version of the
7:
2648:
2505:A general form, also known as the
1111:is the angle between the vectors.
396:(or more generally, elements of a
14:
3001:Aitken, Alexander Craig (1944),
2509:, states the following: Suppose
2858:
2737:
2724:
2718:
2705:
2688:
2680:
2637:
2628:
2220:
2134:
2036:
1950:
1904:
1858:
1855:
1809:
1505:
1493:
1467:
1455:
1452:
1440:
1434:
1422:
1419:
1407:
1401:
1389:
1383:
1371:
1114:This is a special case of the
1010:
995:
981:
972:
961:
952:
938:
923:
872:
860:
857:
845:
839:
827:
824:
812:
806:
794:
788:
776:
752:
740:
737:
725:
719:
707:
704:
692:
686:
674:
668:
656:
612:
600:
594:
582:
576:
564:
561:
549:
543:
531:
528:
516:
375:
329:
326:
280:
1:
465:{\textstyle \mathbb {R} ^{n}}
29:Jacques Philippe Marie Binet
3010:Harville, David A. (2008),
1130:A relationship between the
3050:
2969:Eric W. Weisstein (2003).
3003:Determinants and Matrices
1767:Expanding the last term,
769:which can be written as
476:for matrix determinants.
438:Cauchy–Schwarz inequality
2971:"Binet-Cauchy identity"
2618:satisfies the identity
2598:that have indices from
2571:that have indices from
2948:
2747:
2575:. Similarly, we write
2485:
2437:
2416:
2352:
2331:
2295:
2246:
2062:
1754:
1474:
1356:
1099:
1027:
915:, the formula yields
879:
763:
619:
466:
382:
223:
172:
118:
67:
2949:
2748:
2486:
2417:
2396:
2332:
2311:
2296:
2226:
2042:
1755:
1475:
1357:
1122:of their components.
1100:
1028:
880:
764:
620:
467:
383:
203:
152:
98:
47:
33:Augustin-Louis Cauchy
25:Binet–Cauchy identity
3029:Algebraic identities
2772:
2622:
2507:Cauchy–Binet formula
2305:
1771:
1484:
1368:
1142:
1134:and the generalized
1051:
919:
895:In the special case
773:
653:
513:
474:Cauchy–Binet formula
447:
388:for every choice of
39:
3034:Multilinear algebra
2552:elements, we write
1693:
1347:
1132:Levi–Cevita symbols
434:Lagrange's identity
2944:
2935:
2849:
2743:
2701:
2594:are those rows of
2481:
2291:
2289:
2133:
1949:
1808:
1750:
1673:
1470:
1352:
1281:
1095:
1023:
875:
759:
615:
509:. We may write it
462:
378:
279:
3005:, Oliver and Boyd
2699:
2643:
2106:
1922:
1781:
1735:
1722:
1709:
1696:
1654:
1641:
1576:
1563:
1512:
1158:
1126:Einstein notation
499:respectively; in
252:
3041:
3015:
3006:
2989:
2988:
2966:
2953:
2951:
2950:
2945:
2940:
2939:
2932:
2931:
2920:
2919:
2894:
2893:
2882:
2881:
2854:
2853:
2846:
2845:
2829:
2828:
2815:
2814:
2798:
2797:
2752:
2750:
2749:
2744:
2736:
2735:
2717:
2716:
2700:
2698:
2691:
2683:
2677:
2490:
2488:
2487:
2482:
2477:
2476:
2467:
2466:
2457:
2456:
2447:
2446:
2436:
2431:
2415:
2410:
2392:
2391:
2382:
2381:
2372:
2371:
2362:
2361:
2351:
2346:
2330:
2325:
2300:
2298:
2297:
2292:
2290:
2286:
2285:
2276:
2275:
2266:
2265:
2256:
2255:
2245:
2240:
2219:
2218:
2209:
2208:
2199:
2198:
2189:
2188:
2176:
2175:
2166:
2165:
2156:
2155:
2146:
2145:
2132:
2102:
2101:
2092:
2091:
2082:
2081:
2072:
2071:
2061:
2056:
2035:
2034:
2025:
2024:
2015:
2014:
2005:
2004:
1992:
1991:
1982:
1981:
1972:
1971:
1962:
1961:
1948:
1921:
1915:
1903:
1902:
1893:
1892:
1880:
1879:
1870:
1869:
1854:
1853:
1844:
1843:
1831:
1830:
1821:
1820:
1807:
1777:
1759:
1757:
1756:
1751:
1745:
1744:
1733:
1732:
1731:
1720:
1719:
1718:
1707:
1706:
1705:
1694:
1692:
1684:
1669:
1665:
1664:
1663:
1652:
1651:
1650:
1639:
1638:
1637:
1630:
1629:
1611:
1610:
1591:
1587:
1586:
1585:
1574:
1573:
1572:
1561:
1560:
1559:
1552:
1551:
1533:
1532:
1513:
1511:
1488:
1479:
1477:
1476:
1471:
1361:
1359:
1358:
1353:
1346:
1345:
1344:
1332:
1331:
1315:
1314:
1313:
1301:
1300:
1277:
1276:
1275:
1274:
1262:
1261:
1246:
1245:
1233:
1232:
1218:
1217:
1216:
1215:
1203:
1202:
1187:
1186:
1174:
1173:
1159:
1157:
1146:
1120:Gram determinant
1110:
1104:
1102:
1101:
1096:
1088:
1087:
1063:
1062:
1046:
1040:
1032:
1030:
1029:
1024:
1019:
1018:
1013:
998:
990:
989:
984:
975:
970:
969:
964:
955:
947:
946:
941:
926:
914:
904:
891:
884:
882:
881:
876:
768:
766:
765:
760:
648:
642:
636:
630:
624:
622:
621:
616:
504:
490:
471:
469:
468:
463:
461:
460:
455:
431:
415:
398:commutative ring
387:
385:
384:
379:
374:
373:
364:
363:
351:
350:
341:
340:
325:
324:
315:
314:
302:
301:
292:
291:
278:
248:
244:
243:
242:
233:
232:
222:
217:
197:
193:
192:
191:
182:
181:
171:
166:
143:
139:
138:
137:
128:
127:
117:
112:
92:
88:
87:
86:
77:
76:
66:
61:
3049:
3048:
3044:
3043:
3042:
3040:
3039:
3038:
3019:
3018:
3009:
3000:
2997:
2992:
2985:
2968:
2967:
2963:
2959:
2934:
2933:
2923:
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