623:
1029:
418:
161:
841:
1267:
1669:
618:{\displaystyle B_{R}^{\delta }f(\theta )={\underset {|k|\leq R}{\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}}}\left(1-{\frac {|k|^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ik\cdot \theta }.}
833:
410:
69:
2003:
2049:
290:
1823:
1561:
1519:
1490:
768:
713:
675:
345:
217:
1153:
1121:
255:
1063:
1916:
1849:
1401:
1218:
1759:
1608:
1454:
1375:
1298:
733:
310:
794:
371:
2079:
1876:
1700:
1588:
1428:
1345:
1192:
1785:
1733:
1089:
1318:
646:
184:
1024:{\displaystyle S_{R}^{\delta }f(x)=\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi .}
2213:
2194:
2175:
2235:
2146:
1194:
spaces is much simpler than the problem of "regular" almost everywhere convergence of
Fourier series/integrals (corresponding to
1272:
the kernel is no longer integrable. Here, establishing almost everywhere convergence becomes correspondingly more difficult.
1522:
1164:
2259:
1229:
1613:
44:
156:{\displaystyle (\xi )_{+}={\begin{cases}\xi ,&{\mbox{if }}\xi >0\\0,&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}
799:
376:
1924:
2019:
260:
2100:
1790:
1528:
1495:
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1348:
738:
680:
651:
315:
193:
1126:
1094:
97:
222:
1042:
2117:
1703:
1672:
32:
1892:
1828:
1380:
1197:
2231:
2209:
2190:
2171:
2142:
2136:
1879:
1457:
36:
1738:
1593:
1433:
1354:
1283:
718:
295:
2109:
773:
350:
2057:
1854:
1678:
1566:
1406:
1323:
1170:
48:
1764:
1712:
1223:
In higher dimensions, the convolution kernels become "worse behaved": specifically, for
1068:
17:
2254:
2223:
1303:
631:
169:
40:
2248:
1883:
2228:
Harmonic
Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals
2081:
bounded
Fourier multiplier operator. It is known that the condition is necessary.
1156:
1521:
problems are equivalent to one another, and as such, by an argument using the
52:
1160:
2121:
187:
2113:
1377:, since regular spherical norm convergence (again corresponding to
2098:
Fefferman, Charles (1971). "The multiplier problem for the ball".
149:
1590:
norm convergence follows in both cases for exactly those
1735:, that question has been completely resolved, but for
1240:
804:
381:
137:
109:
2060:
2022:
1927:
1895:
1857:
1831:
1793:
1767:
1741:
1715:
1681:
1616:
1596:
1569:
1531:
1498:
1469:
1436:
1409:
1383:
1357:
1326:
1306:
1286:
1232:
1200:
1173:
1129:
1097:
1071:
1045:
844:
802:
776:
741:
721:
683:
654:
634:
421:
379:
353:
318:
298:
263:
225:
196:
172:
72:
1761:, it has only been partially answered. The case of
1787:is not interesting here as convergence follows for
186:be a periodic function, thought of as being on the
2073:
2043:
1997:
1910:
1870:
1843:
1817:
1779:
1753:
1727:
1694:
1663:
1602:
1582:
1555:
1513:
1484:
1448:
1422:
1395:
1369:
1339:
1312:
1292:
1261:
1212:
1186:
1147:
1115:
1083:
1057:
1023:
827:
788:
762:
727:
707:
669:
640:
617:
404:
365:
339:
304:
284:
249:
211:
178:
155:
292:. Then the Bochner–Riesz means of complex order
2054:is the necessary and sufficient condition for a
1928:
1351:. This issue is of fundamental importance for
1159:operators, where the convolution kernel is an
1262:{\displaystyle \delta \leq {\tfrac {n-1}{2}}}
8:
1664:{\displaystyle (1-|\xi |^{2})_{+}^{\delta }}
1163:. As such, in these cases, considering the
715:, the Bochner–Riesz means of complex order
2230:. Princeton: Princeton University Press.
2065:
2059:
2021:
1978:
1967:
1959:
1945:
1937:
1926:
1894:
1862:
1856:
1830:
1792:
1766:
1740:
1714:
1686:
1680:
1655:
1650:
1640:
1635:
1626:
1615:
1595:
1574:
1568:
1530:
1505:
1501:
1500:
1497:
1476:
1472:
1471:
1468:
1435:
1414:
1408:
1382:
1356:
1331:
1325:
1305:
1285:
1239:
1231:
1199:
1178:
1172:
1139:
1134:
1128:
1107:
1102:
1096:
1070:
1044:
1011:
990:
966:
965:
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916:
913:
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880:
879:
854:
849:
843:
828:{\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}
803:
801:
775:
751:
746:
740:
720:
685:
684:
682:
661:
657:
656:
653:
633:
591:
567:
566:
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514:
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467:
466:
458:
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431:
426:
420:
405:{\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}
380:
378:
352:
328:
323:
317:
297:
276:
272:
271:
262:
227:
226:
224:
203:
199:
198:
195:
171:
136:
108:
92:
83:
71:
1456:. This was shown in a paper of 1971 by
1167:of Bochner–Riesz means for functions in
2168:Bochner-Riesz Means on Euclidean Spaces
2090:
1998:{\displaystyle \max(n|1/p-1/2|-1/2,0)}
1280:Another question is that of for which
2208:(Second ed.). Berlin: Springer.
2189:(Second ed.). Berlin: Springer.
2044:{\displaystyle \delta >\delta (p)}
285:{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n}}
7:
2170:(First ed.). World Scientific.
1035:Application to convolution operators
1809:
1547:
219:, and having Fourier coefficients
25:
2226:& Murphy, Timothy S. (1993).
2141:. World Scientific. p. 347.
1818:{\displaystyle p\in (1,\infty )}
1556:{\displaystyle p\in (1,\infty )}
1514:{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}
1485:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
763:{\displaystyle S_{R}^{\delta }f}
708:{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
670:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
340:{\displaystyle B_{R}^{\delta }f}
212:{\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}
39:when considering convergence of
2138:Topics in Mathematical Analysis
1148:{\displaystyle B_{R}^{\delta }}
1116:{\displaystyle S_{R}^{\delta }}
2038:
2032:
1992:
1968:
1938:
1931:
1905:
1899:
1812:
1800:
1647:
1636:
1627:
1617:
1550:
1538:
1463:By a transference result, the
1320:the Bochner–Riesz means of an
983:
977:
971:
926:
917:
889:
881:
869:
863:
816:
810:
702:
696:
690:
584:
578:
572:
527:
518:
489:
481:
446:
440:
393:
387:
244:
238:
232:
80:
73:
1:
1851:case as a consequence of the
1523:uniform boundedness principle
1165:almost everywhere convergence
250:{\displaystyle {\hat {f}}(k)}
1058:{\displaystyle \delta >0}
628:Analogously, for a function
1918:, the "critical index", as
2276:
2187:Classical Fourier Analysis
1911:{\displaystyle \delta (p)}
2204:Grafakos, Loukas (2009).
2185:Grafakos, Loukas (2008).
1844:{\displaystyle \delta =0}
1396:{\displaystyle \delta =0}
1213:{\displaystyle \delta =0}
51:as a modification of the
2011:Bochner–Riesz conjecture
1276:Bochner–Riesz conjecture
18:Bochner–Riesz conjecture
2206:Modern Fourier Analysis
1754:{\displaystyle n\geq 3}
1603:{\displaystyle \delta }
1449:{\displaystyle p\neq 2}
1370:{\displaystyle n\geq 2}
1293:{\displaystyle \delta }
728:{\displaystyle \delta }
677:with Fourier transform
305:{\displaystyle \delta }
47:. It was introduced by
2135:Ciatti, Paolo (2008).
2075:
2045:
1999:
1912:
1872:
1845:
1825:in the most difficult
1819:
1781:
1755:
1729:
1696:
1665:
1604:
1584:
1557:
1515:
1486:
1450:
1424:
1397:
1371:
1341:
1314:
1294:
1263:
1214:
1188:
1149:
1117:
1085:
1059:
1025:
829:
790:
789:{\displaystyle R>0}
764:
729:
709:
671:
642:
619:
406:
367:
366:{\displaystyle R>0}
341:
306:
286:
251:
213:
180:
157:
2166:Lu, Shanzhen (2013).
2101:Annals of Mathematics
2076:
2074:{\displaystyle L^{p}}
2046:
2000:
1913:
1873:
1871:{\displaystyle L^{p}}
1846:
1820:
1782:
1756:
1730:
1697:
1695:{\displaystyle L^{p}}
1666:
1605:
1585:
1583:{\displaystyle L^{p}}
1558:
1525:, for any particular
1516:
1487:
1451:
1425:
1423:{\displaystyle L^{p}}
1398:
1372:
1342:
1340:{\displaystyle L^{p}}
1315:
1295:
1264:
1215:
1189:
1187:{\displaystyle L^{p}}
1150:
1118:
1086:
1060:
1026:
830:
791:
765:
730:
710:
672:
643:
620:
407:
368:
342:
307:
287:
252:
214:
181:
158:
2058:
2020:
1925:
1893:
1855:
1829:
1791:
1765:
1739:
1713:
1679:
1614:
1594:
1567:
1529:
1496:
1467:
1434:
1407:
1381:
1355:
1324:
1304:
1284:
1230:
1198:
1171:
1161:approximate identity
1127:
1095:
1069:
1043:
842:
800:
774:
739:
719:
681:
652:
632:
419:
377:
351:
316:
296:
261:
223:
194:
170:
70:
2260:Summability methods
1882:and an argument of
1878:boundedness of the
1780:{\displaystyle n=1}
1728:{\displaystyle n=2}
1660:
1144:
1112:
1084:{\displaystyle n=1}
964:
859:
756:
565:
436:
333:
2071:
2041:
1995:
1908:
1868:
1841:
1815:
1777:
1751:
1725:
1704:Fourier multiplier
1692:
1661:
1646:
1600:
1580:
1553:
1511:
1482:
1446:
1420:
1393:
1367:
1337:
1310:
1290:
1259:
1257:
1210:
1184:
1155:may be written as
1145:
1130:
1113:
1098:
1081:
1055:
1021:
901:
845:
825:
808:
786:
760:
742:
725:
705:
667:
638:
615:
502:
500:
478:
422:
402:
385:
363:
337:
319:
302:
282:
247:
209:
176:
153:
148:
141:
113:
33:summability method
29:Bochner–Riesz mean
2215:978-0-387-09433-5
2196:978-0-387-09431-1
2177:978-981-4458-76-4
1880:Hilbert transform
1458:Charles Fefferman
1313:{\displaystyle p}
1256:
974:
947:
835:) are defined as
807:
693:
641:{\displaystyle f}
575:
548:
454:
453:
412:) are defined as
384:
235:
179:{\displaystyle f}
140:
112:
45:Fourier integrals
37:harmonic analysis
16:(Redirected from
2267:
2241:
2219:
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1963:
1949:
1941:
1917:
1915:
1914:
1909:
1877:
1875:
1874:
1869:
1867:
1866:
1850:
1848:
1847:
1842:
1824:
1822:
1821:
1816:
1786:
1784:
1783:
1778:
1760:
1758:
1757:
1752:
1734:
1732:
1731:
1726:
1701:
1699:
1698:
1693:
1691:
1690:
1670:
1668:
1667:
1662:
1659:
1654:
1645:
1644:
1639:
1630:
1609:
1607:
1606:
1601:
1589:
1587:
1586:
1581:
1579:
1578:
1562:
1560:
1559:
1554:
1520:
1518:
1517:
1512:
1510:
1509:
1504:
1491:
1489:
1488:
1483:
1481:
1480:
1475:
1455:
1453:
1452:
1447:
1429:
1427:
1426:
1421:
1419:
1418:
1402:
1400:
1399:
1394:
1376:
1374:
1373:
1368:
1349:converge in norm
1346:
1344:
1343:
1338:
1336:
1335:
1319:
1317:
1316:
1311:
1299:
1297:
1296:
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