1639:
1232:
2377:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 886.
1634:{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{N}}f(x)\,dx={\frac {2h}{45}}\left(7(f(x_{0})+f(x_{N}))+32\left(\sum _{i\in \{1,3,5,\ldots ,N-1\}}f(x_{i})\right)+12\left(\sum _{i\in \{2,6,10,\ldots ,N-2\}}f(x_{i})\right)+14\left(\sum _{i\in \{4,8,12,\ldots ,N-4\}}f(x_{i})\right)\right)+{\text{error term}}}
301:
534:
113:
602:
118:
104:
312:
2477:
686:
655:
624:
1225:
1197:
1177:
1157:
2416:
Sablonnière, P.; Sbibih, D.; Tahrichi, M. (2010). "Error estimate and extrapolation of a quadrature formula derived from a quartic spline quasi-interpolant".
2642:
296:{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{0}=a\\&x_{1}=x_{0}+h\\&x_{2}=x_{0}+2h\\&x_{3}=x_{0}+3h\\&x_{4}=x_{0}+4h=b\end{aligned}}}
2382:
2555:
539:
2470:
2596:
2570:
2463:
2565:
2560:
58:
2545:
2517:
2550:
2637:
2632:
2586:
2494:
2259:
1643:
where the error term is similar to above. The following Common Lisp code implements the aforementioned formula:
697:
It is often known as Bode's rule, due to a typographical error that propagated from
Abramowitz and Stegun.
2486:
2372:
306:
39:
2611:
2351:
2345:
20:
2591:
2537:
2527:
2269:
2606:
1127:
In cases where the integration is permitted to extend over equidistant sections of the interval
2512:
2507:
2438:
2404:
2388:
2378:
2364:
2264:
2601:
2502:
2425:
2400:
664:
633:
19:
The widely propagated typographical error Bode's rule redirects here. For Bode's Law, see
2396:
609:
529:{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x_{4}}f(x)\,dx={\frac {2h}{45}}{\bigl }+{\text{error term}}}
1204:
1182:
1162:
1130:
2626:
2368:
2341:
35:
2374:
Handbook of
Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
2360:
2441:
701:
27:
2429:
733:"Calculates the Boole's rule numerical integral of the function F in
2446:
1675:"Calculates the composite Boole's rule numerical integral of the
2455:
700:
The following constitutes a very simple implementation of the method in
1199:
2408:
2392:
2459:
1678:
function F in the closed interval extending from inclusive A to
736:
the closed interval extending from inclusive X1 to inclusive X5
2324:
1235:
1207:
1185:
1165:
1159:, the composite Boole's rule might be applied. Given
1133:
667:
636:
612:
597:{\displaystyle -\,{\frac {8f^{(6)}(\xi )h^{7}}{945}}}
542:
315:
116:
61:
2579:
2536:
2493:
1633:
1219:
1191:
1171:
1151:
680:
649:
618:
596:
528:
295:
98:
2347:A Treatise on the Calculus of Finite Differences
2471:
2300:
513:
384:
8:
1589:
1553:
1502:
1466:
1415:
1379:
2478:
2464:
2456:
2359:Davis, Philip J.; Polonsky, Ivan (1983) .
1626:
1604:
1546:
1517:
1459:
1430:
1372:
1345:
1323:
1287:
1277:
1257:
1252:
1245:
1240:
1234:
1206:
1184:
1164:
1132:
672:
666:
641:
635:
611:
582:
557:
547:
546:
541:
521:
512:
511:
502:
477:
452:
427:
402:
383:
382:
367:
357:
337:
332:
325:
320:
314:
268:
255:
231:
218:
194:
181:
160:
147:
126:
117:
115:
89:
71:
66:
60:
1681:inclusive B across N subintervals."
2325:Sablonnière, Sbibih & Tahrichi 2010
2281:
2312:
2288:
99:{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}
7:
1227:, the integrated value amounts to:
739:without error term inclusion."
2643:Numerical integration (quadrature)
14:
2556:Gauss–Kronrod quadrature formula
1654:integrate-composite-booles-rule
110:at five equally spaced points:
16:Method of numerical integration
1610:
1597:
1523:
1510:
1436:
1423:
1354:
1351:
1338:
1329:
1316:
1310:
1274:
1268:
1146:
1134:
704:which ignores the error term:
575:
569:
564:
558:
508:
495:
483:
470:
458:
445:
433:
420:
408:
395:
354:
348:
86:
80:
1:
55:It approximates an integral:
2659:
2597:Clenshaw–Curtis quadrature
2571:Chebyshev–Gauss quadrature
18:
2566:Gauss–Legendre quadrature
2561:Gauss–Laguerre quadrature
2518:Adaptive Simpson's method
2430:10.1007/s10543-010-0278-0
2418:BIT Numerical Mathematics
2361:"Chapter 25, eqn 25.4.14"
2301:Davis & Polonsky 1983
2546:Gauss–Hermite quadrature
1645:
706:
536:where the error term is
305:It is expressed thus in
2551:Gauss–Jacobi quadrature
692:945 = 1 Ă— 3 Ă— 5 Ă— 7 Ă— 9
106:by using the values of
1635:
1221:
1193:
1173:
1153:
1123:Composite Boole's Rule
682:
651:
620:
598:
530:
297:
100:
2587:Barnes–Hut simulation
2495:Newton–Cotes formulas
2487:Numerical integration
2352:Macmillan and Company
2291:, p. 47, Eq(21).
2260:Newton–Cotes formulas
1636:
1222:
1194:
1174:
1154:
715:integrate-booles-rule
683:
681:{\displaystyle x_{4}}
652:
650:{\displaystyle x_{0}}
621:
599:
531:
307:Abramowitz and Stegun
298:
101:
40:numerical integration
2612:Tanh-sinh quadrature
1233:
1205:
1183:
1163:
1131:
1122:
665:
634:
619:{\displaystyle \xi }
610:
540:
313:
114:
59:
50:
2592:Bayesian quadrature
2538:Gaussian quadrature
1264:
1220:{\displaystyle 4=0}
344:
76:
51:Simple Boole's Rule
2638:Numerical analysis
2607:Lebedev quadrature
2513:Simpson's 3/8 rule
2439:Weisstein, Eric W.
2365:Abramowitz, Milton
1631:
1593:
1506:
1419:
1236:
1217:
1189:
1169:
1149:
678:
647:
616:
594:
526:
316:
293:
291:
96:
62:
2633:Integral calculus
2620:
2619:
2384:978-0-486-61272-0
2369:Stegun, Irene Ann
1629:
1542:
1455:
1368:
1300:
1192:{\displaystyle N}
1179:divisions, where
1172:{\displaystyle N}
592:
524:
380:
38:, is a method of
2650:
2602:Filon quadrature
2528:Romberg's method
2503:Trapezoidal rule
2480:
2473:
2466:
2457:
2452:
2451:
2433:
2412:
2355:
2350:(3rd ed.).
2328:
2322:
2316:
2310:
2304:
2298:
2292:
2286:
2270:Romberg's method
2249:
2246:
2243:
2240:
2237:
2234:
2231:
2228:
2225:
2222:
2219:
2216:
2213:
2210:
2207:
2204:
2201:
2198:
2195:
2192:
2189:
2186:
2183:
2180:
2177:
2174:
2171:
2168:
2165:
2162:
2159:
2156:
2153:
2150:
2147:
2144:
2141:
2138:
2135:
2132:
2129:
2126:
2123:
2120:
2117:
2114:
2111:
2108:
2105:
2102:
2099:
2096:
2093:
2090:
2087:
2084:
2081:
2078:
2075:
2072:
2069:
2066:
2063:
2060:
2057:
2054:
2051:
2048:
2045:
2042:
2039:
2036:
2033:
2030:
2027:
2024:
2021:
2018:
2015:
2012:
2009:
2006:
2003:
2000:
1997:
1994:
1991:
1988:
1985:
1982:
1979:
1976:
1973:
1970:
1967:
1964:
1961:
1958:
1955:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1937:
1934:
1931:
1928:
1925:
1922:
1919:
1916:
1913:
1910:
1907:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1889:
1886:
1883:
1880:
1877:
1874:
1871:
1868:
1865:
1862:
1859:
1856:
1853:
1850:
1847:
1844:
1841:
1838:
1835:
1832:
1829:
1826:
1823:
1820:
1817:
1814:
1811:
1808:
1805:
1802:
1799:
1796:
1793:
1790:
1787:
1784:
1781:
1778:
1775:
1772:
1769:
1766:
1763:
1760:
1757:
1754:
1751:
1748:
1745:
1742:
1739:
1736:
1733:
1730:
1727:
1724:
1721:
1718:
1715:
1712:
1709:
1706:
1703:
1700:
1697:
1694:
1691:
1688:
1685:
1682:
1679:
1676:
1673:
1670:
1667:
1664:
1661:
1658:
1655:
1652:
1649:
1640:
1638:
1637:
1632:
1630:
1627:
1622:
1618:
1617:
1613:
1609:
1608:
1592:
1530:
1526:
1522:
1521:
1505:
1443:
1439:
1435:
1434:
1418:
1350:
1349:
1328:
1327:
1301:
1296:
1288:
1263:
1262:
1261:
1251:
1250:
1249:
1226:
1224:
1223:
1218:
1198:
1196:
1195:
1190:
1178:
1176:
1175:
1170:
1158:
1156:
1155:
1152:{\displaystyle }
1150:
1118:
1115:
1112:
1109:
1106:
1103:
1100:
1097:
1094:
1091:
1088:
1085:
1082:
1079:
1076:
1073:
1070:
1067:
1064:
1061:
1058:
1055:
1052:
1049:
1046:
1043:
1040:
1037:
1034:
1031:
1028:
1025:
1022:
1019:
1016:
1013:
1010:
1007:
1004:
1001:
998:
995:
992:
989:
986:
983:
980:
977:
974:
971:
968:
965:
962:
959:
956:
953:
950:
947:
944:
941:
938:
935:
932:
929:
926:
923:
920:
917:
914:
911:
908:
905:
902:
899:
896:
893:
890:
887:
884:
881:
878:
875:
872:
869:
866:
863:
860:
857:
854:
851:
848:
845:
842:
839:
836:
833:
830:
827:
824:
821:
818:
815:
812:
809:
806:
803:
800:
797:
794:
791:
788:
785:
782:
779:
776:
773:
770:
767:
764:
761:
758:
755:
752:
749:
746:
743:
740:
737:
734:
731:
728:
725:
722:
719:
716:
713:
710:
693:
689:
687:
685:
684:
679:
677:
676:
658:
656:
654:
653:
648:
646:
645:
627:
625:
623:
622:
617:
604:for some number
603:
601:
600:
595:
593:
588:
587:
586:
568:
567:
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533:
532:
527:
525:
522:
517:
516:
507:
506:
482:
481:
457:
456:
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431:
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406:
388:
387:
381:
376:
368:
343:
342:
341:
331:
330:
329:
302:
300:
299:
294:
292:
273:
272:
260:
259:
249:
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235:
223:
222:
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199:
198:
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185:
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165:
164:
152:
151:
141:
131:
130:
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109:
105:
103:
102:
97:
75:
70:
2658:
2657:
2653:
2652:
2651:
2649:
2648:
2647:
2623:
2622:
2621:
2616:
2575:
2532:
2489:
2484:
2437:
2436:
2415:
2385:
2358:
2340:
2337:
2332:
2331:
2323:
2319:
2311:
2307:
2299:
2295:
2287:
2283:
2278:
2256:
2251:
2250:
2247:
2244:
2241:
2238:
2235:
2232:
2229:
2226:
2223:
2220:
2217:
2214:
2211:
2208:
2205:
2202:
2199:
2196:
2193:
2190:
2187:
2184:
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