715:
1834:
2473:
2135:
539:
936:
1656:
1644:
2552:
1341:
2348:
2343:
2257:
1955:
1479:
2017:
526:
1206:
2191:
1889:
368:
1522:
2033:
710:{\displaystyle \operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}\operatorname {min} (s_{l},t_{l})&{\text{if }}i=j,\\0&{\text{else}}\end{cases}}}
144:
2625:
1405:
1071:
1008:
110:
757:
2661:
451:
1527:
1376:
774:
2572:
2277:
1138:
1105:
1042:
979:
401:
261:
203:
81:
2691:
229:
2711:
300:
167:
54:
2903:
2485:
1225:
1829:{\displaystyle \|f\|_{\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|.}
2808:
2757:
2282:
2196:
1894:
1418:
2776:
1967:
2468:{\displaystyle (H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ),\omega )}
456:
2848:
Ossiander, Mina; Pyke, Ronald (1985). "Lévy's
Brownian motion as a set-indexed process and a related central limit theorem".
1143:
2143:
1841:
2130:{\displaystyle H^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )\subseteq {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
308:
1484:
271:
1958:
2898:
2020:
115:
2584:
2476:
33:
1381:
1047:
984:
86:
2578:
724:
2632:
608:
412:
2722:
170:
2829:
931:{\displaystyle B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0}
2804:
2772:
2753:
1351:
1217:
In Lévy's definition one replaces the covariance condition above with the following condition
2557:
2262:
1110:
2857:
303:
267:
1078:
1015:
952:
374:
234:
176:
59:
1647:
29:
2670:
208:
2875:
2735:
2696:
285:
152:
39:
1891:
equipped with the uniform norm, since one can bound the uniform norm with the norm of
2892:
2861:
2024:
1639:{\displaystyle \lim \limits _{|x|\to \infty }\left(\log(e+|x|)\right)^{-1}|f(x)|=0.}
205:-Brownian sheet, while some authors define the Brownian sheet specifically only for
1650:
2547:{\displaystyle \theta \in \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
17:
1336:{\displaystyle \operatorname {cov} (B_{s},B_{t})={\frac {(|t|+|s|-|t-s|)}{2}}}
2023:. One can then show that there exist a suitalbe separable Hilbert space (and
2338:{\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
2252:{\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
1950:{\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
1474:{\displaystyle \Theta ^{\frac {n+1}{2}}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
169:
of the space of the new time parameter varies from authors. We follow
2834:
1838:
Notice this space includes densely the space of zero at infinity
1212:
2012:{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
521:{\displaystyle t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}
2801:
An introduction to stochastic partial differential equations
2750:
An introduction to stochastic partial differential equations
2092:
1974:
703:
2769:
Multiparameter
Processes: An Introduction to Random Fields
1213:
Lévy's definition of the multiparametric
Brownian motion
1201:{\displaystyle (t,s)\in [0,\infty )\times [0,\infty )}
2699:
2673:
2635:
2587:
2560:
2488:
2351:
2285:
2265:
2199:
2146:
2140:
that is continuously embbeded as a dense subspace in
2036:
1970:
1897:
1844:
1659:
1530:
1487:
1421:
1384:
1354:
1228:
1146:
1113:
1107:-Brownian sheet is a multiparametric Brownian motion
1081:
1050:
1018:
987:
955:
777:
727:
542:
459:
415:
377:
311:
288:
237:
211:
179:
155:
118:
89:
62:
42:
2186:{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
1884:{\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}
363:{\displaystyle B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})}
2705:
2685:
2655:
2619:
2566:
2546:
2467:
2337:
2271:
2251:
2185:
2129:
2011:
1949:
1883:
1828:
1638:
1517:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
1516:
1473:
1399:
1370:
1335:
1200:
1132:
1099:
1065:
1036:
1002:
973:
930:
751:
709:
520:
445:
395:
362:
294:
270:, there exist a slightly different version due to
255:
223:
197:
161:
138:
104:
75:
48:
1726:
36:. This means we generalize the "time" parameter
2667:This handles of a Brownian sheet in the case
8:
1667:
1660:
2850:Stochastic Processes and their Applications
2803:. Springer Berlin Heidelberg. p. 269.
2259:and that there exist a probability measure
28:is a multiparametric generalization of the
2882:(2nd ed.), Cambridge, p. 349-352
2824:Davar Khoshnevisan und Yimin Xiao (2004),
1044:-Brownian sheet is the Brownian motion in
981:-Brownian sheet is the Brownian motion in
2833:
2698:
2672:
2645:
2634:
2606:
2586:
2559:
2537:
2536:
2527:
2523:
2522:
2499:
2487:
2449:
2448:
2439:
2435:
2434:
2411:
2397:
2396:
2387:
2383:
2382:
2359:
2350:
2328:
2327:
2318:
2314:
2313:
2290:
2284:
2264:
2242:
2241:
2232:
2228:
2227:
2204:
2198:
2176:
2175:
2166:
2162:
2161:
2151:
2145:
2120:
2119:
2110:
2106:
2105:
2091:
2090:
2079:
2078:
2069:
2065:
2064:
2041:
2035:
2002:
2001:
1992:
1988:
1987:
1973:
1972:
1969:
1940:
1939:
1930:
1926:
1925:
1902:
1896:
1874:
1873:
1864:
1860:
1859:
1849:
1843:
1818:
1801:
1792:
1779:
1771:
1742:
1738:
1737:
1729:
1713:
1712:
1703:
1699:
1698:
1675:
1670:
1658:
1625:
1608:
1599:
1586:
1578:
1544:
1536:
1535:
1529:
1510:
1509:
1500:
1496:
1495:
1486:
1464:
1463:
1454:
1450:
1449:
1426:
1420:
1391:
1387:
1386:
1383:
1363:
1355:
1353:
1319:
1305:
1297:
1289:
1281:
1273:
1267:
1255:
1242:
1227:
1145:
1118:
1112:
1080:
1057:
1053:
1052:
1049:
1017:
994:
990:
989:
986:
954:
901:
888:
860:
835:
813:
794:
776:
726:
695:
669:
658:
645:
626:
615:
603:
585:
580:
561:
556:
541:
512:
507:
503:
502:
489:
473:
458:
428:
417:
416:
414:
376:
351:
346:
342:
341:
325:
310:
287:
236:
210:
178:
154:
130:
125:
121:
120:
117:
96:
92:
91:
88:
67:
61:
41:
2791:
7:
2880:Probability theory: an analytic view
2740:Probability theory: an analytic view
1481:of continuous functions of the form
1411:Existence of abstract Wiener measure
139:{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}
612:
2904:Robert Brown (botanist, born 1773)
2629:nowhere Hölder continuous for any
2620:{\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}
2496:
2408:
2287:
2201:
1899:
1672:
1552:
1423:
1192:
1174:
14:
1400:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1066:{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
1003:{\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}
105:{\displaystyle \mathbb {R} _{+}}
2713:, the construction is similar.
752:{\displaystyle 1\leq i,j\leq d}
26:multiparametric Brownian motion
2752:. Springer Berlin Heidelberg.
2656:{\displaystyle \alpha >1/2}
2614:
2594:
2541:
2518:
2462:
2453:
2430:
2401:
2378:
2352:
2332:
2309:
2246:
2223:
2180:
2157:
2124:
2101:
2083:
2060:
2006:
1983:
1944:
1921:
1878:
1855:
1819:
1815:
1809:
1802:
1784:
1780:
1772:
1762:
1717:
1694:
1626:
1622:
1616:
1609:
1591:
1587:
1579:
1569:
1549:
1545:
1537:
1506:
1468:
1445:
1364:
1356:
1324:
1320:
1306:
1298:
1290:
1282:
1274:
1270:
1261:
1235:
1195:
1183:
1177:
1165:
1159:
1147:
1094:
1082:
1031:
1019:
968:
956:
919:
881:
866:
828:
819:
781:
664:
638:
597:
592:
586:
568:
562:
549:
495:
466:
446:{\displaystyle \mathbb {E} =0}
434:
421:
390:
378:
357:
318:
250:
238:
192:
180:
1:
2862:10.1016/0304-4149(85)90382-5
2826:Images of the Brownian Sheet
1653:when equipped with the norm
768:From the definition follows
1532:
1378:is the Euclidean metric on
530:for the covariance function
2920:
2693:. For higher dimensional
266:This definition is due to
2742:(2nd ed.), Cambridge
1959:Fourier inversion theorem
1371:{\displaystyle |\cdot |}
2799:Walsh, John B. (1986).
2748:Walsh, John B. (1986).
2567:{\displaystyle \omega }
2272:{\displaystyle \omega }
1957:from above through the
1133:{\displaystyle X_{t,s}}
409:it has zero mean, i.e.
2707:
2687:
2657:
2621:
2568:
2548:
2469:
2339:
2273:
2253:
2187:
2131:
2021:tempered distributions
2013:
1951:
1885:
1830:
1640:
1518:
1475:
1401:
1372:
1337:
1202:
1134:
1101:
1067:
1038:
1004:
975:
932:
753:
711:
631:
522:
447:
397:
364:
296:
257:
225:
199:
163:
140:
106:
77:
50:
2767:Khoshnevisan, Davar.
2708:
2688:
2658:
2622:
2569:
2549:
2477:abstract Wiener space
2470:
2345:such that the triple
2340:
2274:
2254:
2188:
2132:
2014:
1952:
1886:
1831:
1646:This space becomes a
1641:
1519:
1476:
1402:
1373:
1338:
1203:
1135:
1102:
1100:{\displaystyle (2,1)}
1068:
1039:
1037:{\displaystyle (1,d)}
1005:
976:
974:{\displaystyle (1,1)}
933:
754:
712:
611:
523:
448:
398:
396:{\displaystyle (n,d)}
365:
297:
258:
256:{\displaystyle (2,d)}
226:
200:
198:{\displaystyle (n,d)}
164:
141:
107:
78:
76:{\displaystyle B_{t}}
56:of a Brownian motion
51:
34:Gaussian random field
2697:
2671:
2633:
2585:
2558:
2486:
2349:
2283:
2263:
2197:
2144:
2034:
1968:
1895:
1842:
1657:
1528:
1485:
1419:
1382:
1352:
1226:
1144:
1111:
1079:
1048:
1016:
985:
953:
775:
725:
540:
457:
413:
375:
309:
286:
278:(n,d)-Brownian sheet
235:
209:
177:
153:
149:The exact dimension
116:
87:
60:
40:
2723:Gaussian free field
2686:{\displaystyle d=1}
1415:Consider the space
596:
572:
517:
356:
231:, what we call the
224:{\displaystyle n=2}
135:
2703:
2683:
2653:
2617:
2564:
2544:
2465:
2335:
2269:
2249:
2183:
2127:
2009:
1947:
1881:
1826:
1749:
1636:
1556:
1514:
1471:
1397:
1368:
1333:
1198:
1130:
1097:
1063:
1034:
1000:
971:
928:
749:
707:
702:
576:
552:
518:
501:
443:
393:
360:
340:
292:
253:
221:
195:
159:
136:
119:
102:
73:
46:
2810:978-3-540-39781-6
2759:978-3-540-39781-6
2706:{\displaystyle d}
2579:Hölder continuous
2515:
2427:
2375:
2306:
2220:
2193:and thus also in
2057:
1918:
1725:
1691:
1531:
1442:
1331:
698:
672:
295:{\displaystyle d}
263:-Brownian sheet.
162:{\displaystyle n}
49:{\displaystyle t}
2911:
2884:
2883:
2872:
2866:
2865:
2845:
2839:
2838:
2837:
2821:
2815:
2814:
2796:
2782:
2763:
2743:
2712:
2710:
2709:
2704:
2692:
2690:
2689:
2684:
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