562:
2588:
293:
2319:
2144:
557:{\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)+\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)}
4181:
2583:{\displaystyle \tau _{W}(m,\mu ;\nu )=-\mathrm {sgn} \langle y,m\rangle s(\langle x,m\rangle ,\langle y,m\rangle )+\mathrm {sgn} \langle y,\mu \rangle s(\langle x,\mu \rangle ,\langle y,\mu \rangle )+{\frac {(\delta ^{2}-1)\langle m,\mu \rangle }{12\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}}
3052:
3607:
3217:
1482:
1946:
689:
871:
188:
2886:
3982:
3954:
3792:
2908:
1598:
1337:
3448:
3076:
2139:{\displaystyle \lambda _{CW}(M^{\prime })=\lambda _{CW}(M)+{\frac {\langle m,\mu \rangle }{\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}\Delta _{W}^{\prime \prime }(M-K)(1)+\tau _{W}(m,\mu ;\nu )}
1348:
587:
753:
95:
4360:
4237:
2742:
2233:
235:
2300:
1734:
3437:
3305:
2657:
1879:
1839:
1799:
1642:
3666:
3720:
3332:
3823:
4289:
4261:
1041:
977:
262:
911:
3372:
3261:
1678:
2783:
4320:
938:
1754:
4176:{\displaystyle \lambda _{CWL}(M_{1}\#M_{2})=\left\vert H_{1}(M_{2})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{1})+\left\vert H_{1}(M_{1})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{2})}
3838:
4406:
The mathematical heritage of
Hermann Weyl (Durham, NC, 1987), 285–299, Proc. Sympos. Pure Math., 48, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988.
3725:
3047:{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\frac {\Delta _{M}^{\prime \prime }(1)}{2}}-{\frac {\mathrm {torsion} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ))}{12}}}
4491:
4484:
4452:
4445:
4431:
4394:
3602:{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M;\mathbb {Z} ))\right\vert \left((a\cup b\cup c)()\right)^{2}}
3212:{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M))\right\vert \mathrm {Link} _{M}(\gamma ,\gamma ^{\prime })}
1520:
1052:
4463:
4413:
1477:{\displaystyle d(a,b)=-{\frac {1}{a}}\sum _{k=1}^{a-1}\cot \left({\frac {\pi k}{a}}\right)\cot \left({\frac {\pi bk}{a}}\right)}
684:{\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\pm 1}
866:{\displaystyle \lambda \left(M+{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(M+{\frac {1}{n}}\cdot K\right)=\phi _{1}(K),}
183:{\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n+1}}\cdot K\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{n}}\cdot K\right)}
4506:
699:
4329:
4206:
2690:
2206:
1895:
993:
201:
40:
4362:
and used invariance under perturbations to define an invariant which he equated with the SU(2) Casson invariant. (
2253:
1686:
1494:
Informally speaking, the Casson invariant counts half the number of conjugacy classes of representations of the
569:
The Casson invariant is unique (with respect to the above properties) up to an overall multiplicative constant.
4292:
3398:
3266:
2624:
1844:
1804:
1759:
1603:
17:
3623:
3334:
is the parallel curve to γ induced by the trivialization of the tubular neighbourhood of γ determined by
3683:
3310:
4200:
3801:
941:
731:
4270:
4242:
1005:
946:
240:
880:
3337:
3226:
1681:
1647:
21:
2881:{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\tfrac {1}{2}}\left\vert H_{1}(M)\right\vert \lambda _{CW}(M)}
4487:
4480:
4448:
4441:
4427:
4390:
3058:
where Δ is the
Alexander polynomial normalized to be symmetric and take a positive value at 1.
2687:
Note that for integer homology spheres, the Walker's normalization is twice that of Casson's:
1495:
713:
29:
3964:
is odd the Casson–Walker–Lescop invariant is unchanged, while if it is even it changes sign.
1000:
4298:
916:
4458:
48:
4479:
Annals of
Mathematics Studies, 126. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992.
4399:
4382:
4323:
1739:
735:
63:
A Casson invariant is a surjective map λ from oriented integral homology 3-spheres to
4500:
3970:
1510:
980:
724:
33:
3949:{\displaystyle \lambda _{CWL}({\overline {M}})=(-1)^{b_{1}(M)+1}\lambda _{CWL}(M).}
2767:
2680:
2303:
1925:
264:
4438:
Lectures on the topology of 3-manifolds: An introduction to the Casson
Invariant.
4195:
In 1990, C. Taubes showed that the SU(2) Casson invariant of a 3-homology sphere
2759:
52:
3223:
where γ is the oriented curve given by the intersection of two generators
4389:
Mathematical Notes, 36. Princeton
University Press, Princeton, NJ, 1990.
4369:
H. Boden and C. Herald (1998) used a similar approach to define an
3787:{\displaystyle b_{1}(M)=\operatorname {rank} H_{1}(M;\mathbb {Z} )}
2235:
is the intersection form on the tubular neighbourhood of the knot,
4387:
Casson's invariant for oriented homology 3-spheres— an exposition.
4370:
4189:
1503:
3672:
The Casson–Walker–Lescop invariant has the following properties:
2246:Δ is the Alexander polynomial normalized so that the action of
1593:{\displaystyle {\mathcal {R}}(M)=R^{\mathrm {irr} }(M)/SU(2)}
1332:{\displaystyle \lambda (\Sigma (p,q,r))=-{\frac {1}{8}}\left}
47:, and Christine Lescop (1995) extended the invariant to all
4347:
4335:
4276:
4248:
4224:
4212:
3319:
3201:
2956:
2953:
2762:. It is uniquely characterized by the following properties:
2073:
2070:
1971:
1850:
1810:
1526:
4411:
The SU(3) Casson invariant for integral homology 3-spheres.
1894:
Kevin Walker found an extension of the Casson invariant to
1644:
denotes the space of irreducible SU(2) representations of
78:
Let Σ be an integral homology 3-sphere. Then for any knot
705:
The Casson invariant changes sign if the orientation of
4424:
Global
Surgery Formula for the Casson-Walker Invariant.
4291:
is the group of gauge transformations. He regarded the
2816:
4332:
4301:
4273:
4245:
4209:
3985:
3841:
3804:
3728:
3686:
3626:
3451:
3401:
3340:
3313:
3269:
3229:
3079:
2911:
2786:
2693:
2627:
2322:
2256:
2209:
1949:
1847:
1807:
1762:
1742:
1689:
1650:
1606:
1523:
1351:
1055:
1008:
949:
919:
883:
756:
590:
296:
243:
204:
98:
28:
is an integer-valued invariant of oriented integral
2758:of the Casson-Walker invariant to oriented compact
4373:Casson invariant for integral homology 3-spheres.
4354:
4314:
4283:
4255:
4231:
4175:
3948:
3817:
3786:
3714:
3660:
3601:
3431:
3366:
3326:
3299:
3255:
3211:
3046:
2880:
2736:
2651:
2582:
2294:
2227:
2138:
1873:
1833:
1793:
1748:
1728:
1672:
1636:
1592:
1490:The Casson invariant as a count of representations
1476:
1331:
1035:
971:
932:
905:
865:
683:
556:
256:
229:
182:
4404:New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds.
2160:and μ is the characteristic curve of the surgery.
1898:. A Casson-Walker invariant is a surjective map λ
992:The Casson invariant is the degree 1 part of the
723:The Casson invariant is additive with respect to
4461:(1990), "Casson's invariant and gauge theory.",
2163:ν is a generator the kernel of the natural map
4355:{\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}
4232:{\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}
2737:{\displaystyle \lambda _{CW}(M)=2\lambda (M)}
2250:corresponds to an action of the generator of
2228:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
1932:, μ) of an oriented rational homology sphere
1904:from oriented rational homology 3-spheres to
230:{\displaystyle \Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K}
8:
4199:has a gauge theoretic interpretation as the
2640:
2628:
2574:
2562:
2559:
2547:
2539:
2527:
2493:
2481:
2475:
2463:
2454:
2442:
2422:
2410:
2404:
2392:
2383:
2371:
2222:
2210:
2054:
2042:
2039:
2027:
2022:
2010:
2314:, and is symmetric and evaluates to 1 at 1.
2295:{\displaystyle H_{1}(M-K)/{\text{Torsion}}}
1729:{\displaystyle \Sigma =M_{1}\cup _{F}M_{2}}
1936:′ in an oriented rational homology sphere
698:The Casson invariant is 1 (or −1) for the
39:Kevin Walker (1992) found an extension to
4346:
4345:
4340:
4334:
4333:
4331:
4306:
4300:
4275:
4274:
4272:
4247:
4246:
4244:
4223:
4222:
4217:
4211:
4210:
4208:
4164:
4145:
4127:
4114:
4093:
4074:
4056:
4043:
4022:
4009:
3990:
3984:
3922:
3895:
3890:
3861:
3846:
3840:
3805:
3803:
3777:
3776:
3761:
3733:
3727:
3691:
3685:
3631:
3625:
3593:
3531:
3530:
3515:
3485:
3456:
3450:
3422:
3421:
3406:
3400:
3358:
3345:
3339:
3318:
3312:
3290:
3289:
3274:
3268:
3247:
3234:
3228:
3200:
3181:
3167:
3143:
3113:
3084:
3078:
3028:
3027:
3012:
2982:
2979:
2952:
2947:
2940:
2916:
2910:
2860:
2836:
2815:
2791:
2785:
2698:
2692:
2626:
2512:
2502:
2431:
2360:
2327:
2321:
2287:
2282:
2261:
2255:
2208:
2109:
2069:
2064:
2007:
1986:
1970:
1954:
1948:
1862:
1849:
1848:
1846:
1822:
1809:
1808:
1806:
1779:
1763:
1761:
1741:
1720:
1710:
1700:
1688:
1655:
1649:
1612:
1611:
1605:
1570:
1548:
1547:
1525:
1524:
1522:
1452:
1423:
1401:
1390:
1376:
1350:
1241:
1231:
1218:
1208:
1195:
1185:
1172:
1162:
1152:
1116:
1095:
1054:
1007:
954:
948:
924:
918:
888:
882:
845:
817:
771:
755:
651:
605:
589:
533:
514:
476:
449:
403:
384:
338:
311:
295:
244:
242:
211:
203:
159:
113:
97:
2752:Christine Lescop defined an extension λ
1506:. This can be made precise as follows.
720:is equal to the Casson invariant mod 2.
4363:
3960:That is, if the first Betti number of
284:in Σ the following expression is zero:
20:, a part of the mathematical field of
4263:is the space of SU(2) connections on
3432:{\displaystyle H_{1}(M;\mathbb {Z} )}
3300:{\displaystyle H_{2}(M;\mathbb {Z} )}
2652:{\displaystyle \langle x,y\rangle =1}
1908:satisfying the following properties:
1874:{\displaystyle {\mathcal {R}}(M_{2})}
1834:{\displaystyle {\mathcal {R}}(M_{1})}
1794:{\displaystyle {\frac {(-1)^{g}}{2}}}
1637:{\displaystyle R^{\mathrm {irr} }(M)}
67:satisfying the following properties:
7:
1801:times the algebraic intersection of
4477:An extension of Casson's invariant.
4409:Hans Boden and Christopher Herald,
3829:with the opposite orientation, then
3661:{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=0}
4015:
3722:depends on the first Betti number
3504:
3501:
3498:
3495:
3492:
3489:
3486:
3177:
3174:
3171:
3168:
3132:
3129:
3126:
3123:
3120:
3117:
3114:
3001:
2998:
2995:
2992:
2989:
2986:
2983:
2944:
2438:
2435:
2432:
2367:
2364:
2361:
2156:is an oriented meridian of a knot
2061:
1690:
1619:
1616:
1613:
1555:
1552:
1549:
1062:
1009:
979:, and is congruent (mod 2) to the
951:
730:The Casson invariant is a sort of
645:
599:
508:
443:
378:
305:
205:
153:
107:
14:
3715:{\displaystyle \lambda _{CWL}(M)}
3327:{\displaystyle \gamma ^{\prime }}
4464:Journal of Differential Geometry
4414:Journal of Differential Geometry
3818:{\displaystyle {\overline {M}}}
4284:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
4256:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
4170:
4157:
4133:
4120:
4099:
4086:
4062:
4049:
4028:
4002:
3940:
3934:
3907:
3901:
3887:
3877:
3871:
3858:
3781:
3767:
3745:
3739:
3709:
3703:
3649:
3643:
3585:
3582:
3576:
3573:
3570:
3552:
3538:
3535:
3521:
3508:
3474:
3468:
3426:
3412:
3294:
3280:
3206:
3187:
3158:
3155:
3149:
3136:
3102:
3096:
3035:
3032:
3018:
3005:
2967:
2961:
2934:
2928:
2875:
2869:
2848:
2842:
2809:
2803:
2731:
2725:
2713:
2707:
2524:
2505:
2496:
2460:
2425:
2389:
2351:
2333:
2279:
2267:
2133:
2115:
2099:
2093:
2090:
2078:
2001:
1995:
1976:
1963:
1868:
1855:
1828:
1815:
1776:
1766:
1756:, the Casson invariant equals
1667:
1661:
1631:
1625:
1587:
1581:
1567:
1561:
1537:
1531:
1509:The representation space of a
1367:
1355:
1321:
1306:
1297:
1282:
1273:
1258:
1086:
1083:
1065:
1059:
1036:{\displaystyle \Sigma (p,q,r)}
1030:
1012:
972:{\displaystyle \nabla _{K}(z)}
966:
960:
900:
894:
857:
851:
257:{\displaystyle {\frac {1}{m}}}
1:
3616:If the first Betti number of
3379:If the first Betti number of
3063:If the first Betti number of
2895:If the first Betti number of
999:The Casson invariant for the
994:Le–Murakami–Ohtsuki invariant
3866:
3810:
2748:Compact oriented 3-manifolds
906:{\displaystyle \phi _{1}(K)}
3367:{\displaystyle S_{1},S_{2}}
3256:{\displaystyle S_{1},S_{2}}
1896:rational homology 3-spheres
1890:Rational homology 3-spheres
1673:{\displaystyle \pi _{1}(M)}
942:Alexander–Conway polynomial
41:rational homology 3-spheres
4523:
4440:de Gruyter, Berlin, 1999.
3680:changes the behavior of
3676:When the orientation of
1043:is given by the formula:
700:Poincaré homology sphere
578:If K is the trefoil then
3620:is greater than three,
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