1340:
2191:
1736:
440:
1156:
2841:
1445:
876:
652:
3050:
2275:
1561:
586:
2727:
1978:
230:
2021:
1566:
317:
2634:
1930:
1769:
1119:
3236:
2876:
2452:
2377:
3135:
1011:
1050:
2672:
175:
2013:
1480:
911:
2539:
2325:
1148:
2984:
2950:
967:
758:
715:
479:
1070:
2914:
306:
3201:
3168:
2581:
1795:
94:
522:
3074:
3004:
2601:
2495:
2475:
2417:
2397:
2345:
2298:
1886:
1866:
1842:
1819:
1375:
931:
802:
782:
675:
499:
277:
257:
134:
114:
1335:{\displaystyle I_{\gamma }(t)=P_{f(\gamma )(t)}\circ I\circ P_{\gamma (t)}^{-1}:T_{\gamma (t)}M\rightarrow T_{f(\gamma (t))}N\quad {\text{ for all }}t\in }
47:, and his PhD student Noel Hicks. Cartan proved the local version. Ambrose proved a global version that allows for isometries between general
309:
3352:
2735:
1380:
811:
594:
1821:
is an isometry if and only if the only way to preserve its infinitesimal isometry also preserves the
Riemannian curvature.
3382:
3087:
As an application of the Cartan–Ambrose–Hicks theorem, any simply connected, complete
Riemannian manifold with constant
3009:
2199:
1485:
527:
2680:
1935:
183:
2186:{\displaystyle I_{\gamma }(t)(R(X,Y,Z))={\overline {R}}(I_{\gamma }(t)(X),I_{\gamma }(t)(Y),I_{\gamma }(t)(Z))}
1731:{\displaystyle I_{\gamma }(t)(R(X,Y,Z))={\overline {R}}(I_{\gamma }(t)(X),I_{\gamma }(t)(Y),I_{\gamma }(t)(Z))}
721:
96:
be connected, complete
Riemannian manifolds. We consider the problem of isometrically mapping a small patch on
33:
435:{\displaystyle \exp _{x}:B_{r}(x)\subset T_{x}M\rightarrow M,\exp _{y}:B_{r}(y)\subset T_{y}N\rightarrow N}
1073:
36:, or in other words, behavior of the curvature tensor under parallel translation determines the metric.
2606:
1902:
1741:
1079:
3212:
2849:
2425:
2350:
3093:
972:
1019:
3088:
2639:
142:
48:
25:
1983:
1450:
881:
3343:
Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008). "Chapter 1, Section 12, The Cartan–Ambrose–Hicks
Theorem".
2515:
2303:
239:. This can be interpreted as isometrically mapping an infinitesimal patch (the tangent space) at
51:
with varying curvature, in 1956. This was further generalized by Hicks to general manifolds with
1124:
784:
is an isometry, it must preserve the geodesics. Thus, it is natural to consider the behavior of
2961:
3358:
3348:
3325:
3284:
3053:
2919:
936:
727:
684:
448:
52:
29:
1055:
3315:
3276:
3204:
2884:
285:
3254:
3179:
3146:
3171:
2545:
2560:
1774:
73:
504:
3059:
2989:
2586:
2480:
2460:
2402:
2382:
2330:
2283:
1871:
1851:
1827:
1804:
1360:
1351:
1150:, then we have the mapping between infinitesimal patches along the two geodesic radii:
916:
787:
767:
677:
an isometry? Intuitively, it should be an isometry if it satisfies the two conditions:
660:
484:
262:
242:
119:
99:
56:
44:
40:
3376:
1932:
and all broken geodesics (a broken geodesic is a curve that is piecewise geodesic)
1845:
3303:
17:
3081:
3362:
3329:
3320:
3288:
1844:
generally does not have to be a diffeomorphism, but only a locally isometric
279:. Now we attempt to extend it to a finite (rather than infinitesimal) patch.
805:
236:
2583:
be connected, complete, locally symmetric
Riemannian manifolds, and let
2544:
A simply connected
Riemannian manifold is locally symmetric if it is a
2509:
if its
Riemann curvature tensor is invariant under parallel transport:
2300:
have the same endpoint, the corresponding broken geodesics (mapped by
3138:
3280:
3267:
Ambrose, W. (1956). "Parallel
Translation of Riemannian Curvature".
760:, that is, it preserves how the infinitesimal patches fit together.
2347:
also have the same end point. Consequently, there exists a map
681:
It is a linear isometry at the tangent space of every point on
2603:
be simply connected. Let their
Riemann curvature tensors be
2836:{\displaystyle I(R(X,Y,Z))={\overline {R}}(I(X),I(Y),I(Z))}
1440:{\displaystyle \gamma :\left\rightarrow B_{r}(x)\subset M}
1354:
is the local version of the Cartan–Ambrose–Hicks theorem.
871:{\displaystyle \gamma :\left\rightarrow B_{r}(x)\subset M}
717:, that is, it is an isometry on the infinitesimal patches.
647:{\displaystyle f=\exp _{y}\circ I\circ \exp _{x}^{-1}.}
2958:: Any complete locally symmetric space is of the form
62:
A statement and proof of the theorem can be found in
3215:
3182:
3149:
3096:
3062:
3012:
2992:
2964:
2922:
2887:
2852:
2843:. Then there exists a locally isometric covering map
2738:
2683:
2642:
2609:
2589:
2563:
2518:
2483:
2463:
2428:
2405:
2385:
2353:
2333:
2306:
2286:
2202:
2024:
1986:
1938:
1905:
1874:
1854:
1830:
1807:
1777:
1744:
1569:
1488:
1453:
1383:
1377:
is an isometry if and only if for all geodesic radii
1363:
1159:
1127:
1082:
1058:
1022:
975:
939:
919:
884:
814:
790:
770:
730:
687:
663:
597:
530:
507:
487:
451:
320:
288:
265:
245:
186:
145:
122:
102:
76:
2379:
defined by mapping the broken geodesic endpoints in
3230:
3195:
3162:
3129:
3068:
3044:
2998:
2978:
2944:
2908:
2870:
2835:
2721:
2666:
2628:
2595:
2575:
2533:
2489:
2469:
2446:
2411:
2391:
2371:
2339:
2319:
2292:
2269:
2185:
2007:
1972:
1924:
1880:
1860:
1836:
1813:
1789:
1763:
1730:
1555:
1474:
1439:
1369:
1334:
1142:
1113:
1064:
1044:
1005:
961:
925:
905:
870:
796:
776:
752:
709:
669:
646:
580:
516:
493:
473:
434:
300:
271:
251:
224:
169:
128:
108:
88:
3045:{\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {Isom} (M)}
2551:From the Cartan–Ambrose–Hicks theorem, we have:
2270:{\displaystyle t\in ,X,Y,Z\in T_{\gamma (t)}M}
1556:{\displaystyle t\in ,X,Y,Z\in T_{\gamma (t)}M}
581:{\displaystyle f:B_{r}(x)\rightarrow B_{r}(y)}
8:
3124:
3100:
2399:to the corresponding geodesic endpoints in
2280:Then, if two broken geodesics beginning at
3345:Comparison theorems in Riemannian geometry
2722:{\displaystyle I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N}
1973:{\displaystyle \gamma :\left\rightarrow M}
913:. By property of the exponential mapping,
225:{\displaystyle I:T_{x}M\rightarrow T_{y}N}
3319:
3222:
3218:
3217:
3214:
3187:
3181:
3154:
3148:
3095:
3061:
3019:
3011:
2991:
2968:
2963:
2927:
2921:
2886:
2851:
2775:
2737:
2710:
2694:
2682:
2641:
2616:
2608:
2588:
2562:
2517:
2482:
2462:
2427:
2404:
2384:
2352:
2332:
2311:
2305:
2285:
2249:
2201:
2156:
2125:
2094:
2077:
2029:
2023:
1985:
1937:
1912:
1904:
1873:
1853:
1829:
1806:
1776:
1751:
1743:
1701:
1670:
1639:
1622:
1574:
1568:
1535:
1487:
1452:
1416:
1382:
1362:
1306:
1278:
1253:
1237:
1223:
1186:
1164:
1158:
1126:
1087:
1081:
1057:
1027:
1021:
974:
944:
938:
918:
883:
847:
813:
789:
769:
735:
729:
692:
686:
662:
632:
627:
608:
596:
563:
541:
529:
506:
486:
456:
450:
417:
395:
382:
360:
338:
325:
319:
287:
264:
244:
213:
197:
185:
144:
121:
101:
75:
3247:
724:at the tangent space of every point on
804:as we transport it along an arbitrary
2454:is a locally isometric covering map.
7:
3347:. Providence, R.I: AMS Chelsea Pub.
3029:
3026:
3023:
3020:
3013:
2973:
2519:
524:One then defines a diffeomorphism
14:
3137:is respectively isometric to the
2629:{\displaystyle R,{\overline {R}}}
1925:{\displaystyle R,{\overline {R}}}
1771:are Riemann curvature tensors of
1764:{\displaystyle R,{\overline {R}}}
1114:{\displaystyle P_{f(\gamma )(t)}}
445:are local diffeomorphisms. Here,
3304:"A theorem on affine connexions"
3231:{\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}
2871:{\displaystyle F:M\rightarrow N}
2505:A Riemannian manifold is called
2447:{\displaystyle F:M\rightarrow N}
2372:{\displaystyle F:M\rightarrow N}
1899:: For Riemann curvature tensors
1121:be the parallel transport along
1052:be the parallel transport along
933:maps it to a geodesic radius of
3308:Illinois Journal of Mathematics
3130:{\displaystyle \in \{+1,0,-1\}}
2477:is also simply connected, then
1350:The original theorem proven by
1305:
1006:{\displaystyle f(\gamma )(0)=y}
3039:
3033:
2897:
2891:
2862:
2830:
2827:
2821:
2812:
2806:
2797:
2791:
2785:
2769:
2766:
2748:
2742:
2703:
2438:
2363:
2259:
2253:
2221:
2209:
2180:
2177:
2171:
2168:
2162:
2146:
2140:
2137:
2131:
2115:
2109:
2106:
2100:
2087:
2071:
2068:
2050:
2044:
2041:
2035:
1996:
1990:
1964:
1725:
1722:
1716:
1713:
1707:
1691:
1685:
1682:
1676:
1660:
1654:
1651:
1645:
1632:
1616:
1613:
1595:
1589:
1586:
1580:
1545:
1539:
1507:
1495:
1463:
1457:
1428:
1422:
1409:
1329:
1317:
1297:
1294:
1288:
1282:
1271:
1263:
1257:
1233:
1227:
1205:
1199:
1196:
1190:
1176:
1170:
1137:
1131:
1106:
1100:
1097:
1091:
1045:{\displaystyle P_{\gamma }(t)}
1039:
1033:
994:
988:
985:
979:
956:
950:
894:
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859:
853:
840:
747:
741:
704:
698:
575:
569:
556:
553:
547:
468:
462:
426:
407:
401:
369:
350:
344:
206:
1:
3257:, entry for Noel Justin Hicks
3255:Mathematics Genealogy Project
2667:{\displaystyle x\in M,y\in N}
1868:must be a global isometry if
259:to an infinitesimal patch at
170:{\displaystyle x\in M,y\in N}
32:is locally determined by the
2780:
2621:
2082:
2008:{\displaystyle \gamma (0)=x}
1917:
1892:Cartan–Ambrose–Hicks theorem
1756:
1627:
1475:{\displaystyle \gamma (0)=x}
906:{\displaystyle \gamma (0)=x}
22:Cartan–Ambrose–Hicks theorem
2534:{\displaystyle \nabla R=0.}
2320:{\displaystyle I_{\gamma }}
39:The theorem is named after
3399:
2732:be a linear isometry with
1143:{\displaystyle f(\gamma )}
3269:The Annals of Mathematics
3006:is a symmetric space and
2979:{\displaystyle M/\Gamma }
1801:In words, it states that
28:, according to which the
2945:{\displaystyle D_{x}F=I}
2501:Locally symmetric spaces
962:{\displaystyle B_{r}(y)}
753:{\displaystyle B_{r}(x)}
710:{\displaystyle B_{r}(x)}
481:is the ball centered on
474:{\displaystyle B_{r}(x)}
34:Riemann curvature tensor
1345:
1065:{\displaystyle \gamma }
282:For sufficiently small
3321:10.1215/ijm/1255455125
3232:
3197:
3164:
3131:
3070:
3046:
3000:
2980:
2946:
2910:
2909:{\displaystyle F(x)=y}
2872:
2837:
2723:
2668:
2630:
2597:
2577:
2535:
2491:
2471:
2448:
2413:
2393:
2373:
2341:
2321:
2294:
2271:
2187:
2009:
1974:
1926:
1882:
1862:
1838:
1815:
1799:
1791:
1765:
1732:
1557:
1476:
1441:
1371:
1336:
1144:
1115:
1074:Levi-Civita connection
1066:
1046:
1007:
963:
927:
907:
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798:
778:
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671:
648:
582:
518:
495:
475:
436:
302:
301:{\displaystyle r>0}
273:
253:
226:
171:
130:
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90:
3233:
3198:
3196:{\displaystyle E^{n}}
3165:
3163:{\displaystyle S^{n}}
3132:
3071:
3047:
3001:
2981:
2947:
2911:
2873:
2838:
2724:
2669:
2631:
2598:
2578:
2536:
2492:
2472:
2449:
2414:
2394:
2374:
2342:
2322:
2295:
2272:
2188:
2010:
1975:
1927:
1888:is simply connected.
1883:
1863:
1839:
1816:
1792:
1766:
1733:
1558:
1477:
1442:
1372:
1356:
1337:
1145:
1116:
1067:
1047:
1008:
964:
928:
908:
873:
799:
779:
755:
712:
672:
649:
583:
519:
496:
476:
437:
303:
274:
254:
227:
172:
131:
111:
91:
3302:Hicks, Noel (1959).
3213:
3180:
3147:
3094:
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20:, the
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