2000:
32:
20:
1641:
40:
2334:
2342:
1995:{\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},}
1432:
2722:
2326:
584:
1205:
1256:
2563:
941:
2161:
1587:
817:
2109:
442:
1085:
2554:
2053:
684:
235:
404:
2445:
1497:
of the directrix. Hence the envelope is a collection of circles. This property is the key for a parametric representation of the canal surface. The center of the circle (for parameter
1495:
1631:
350:
2503:
302:
1093:
437:
2147:
2762:
266:
1232:
1023:
2803:
997:
711:
970:
1515:
1455:
731:
1427:{\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}
2717:{\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|}
1087:. The last condition means that the curvature of the curve is less than that of the corresponding sphere. The envelope of the 1-parameter pencil of spheres
839:
2321:{\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.}
1520:
738:
2058:
579:{\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}
2880:
1028:
2511:
2010:
593:
144:
355:
2361:
1460:
115:
89:
1592:
310:
2453:
64:
271:
107:
1200:{\displaystyle f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0}
413:
101:
2117:
2846:
2832:
2872:
2732:
244:
2914:
2876:
1217:
733:
being at least twice continuously differentiable). The surface defined by the two equations
1002:
136:
2770:
975:
689:
946:
2865:
1500:
1440:
716:
2896:
2908:
2860:
2812:
1589:(see condition above) from the center of the corresponding sphere and its radius is
114:
Canal surfaces play an essential role in descriptive geometry, because in case of an
81:. If the radii of the generating spheres are constant, the canal surface is called a
31:
104:(canal surface, directrix is a line (the axis), radii of the spheres not constant),
936:{\displaystyle \Gamma :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top }}
2111:
form an orthonormal basis, is a parametric representation of the canal surface.
77:
19:
39:
52:
48:
2808:
d) The 4. picture shows a pipe knot. Its directrix is a curve on a torus
2333:
1582:{\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r}
812:{\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0}
68:
2341:
95:
72:
24:
586:. The last equation is the reason for the following definition.
2104:{\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}
1457:
the equation of a plane, which is orthogonal to the tangent
1158:
1124:
92:(pipe surface, directrix is a line, the axis of the cylinder)
118:
its contour curve can be drawn as the envelope of circles.
35:
pipe surface: directrix is a helix, with generating spheres
1080:{\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}
2767:
c) For the 3. picture the pipe surface b) has parameter
2899:
Computing
Rational Parametrizations of Canal Surfaces
2773:
2735:
2566:
2549:{\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}
2514:
2456:
2364:
2164:
2120:
2061:
2048:{\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}
2013:
1644:
1595:
1523:
1503:
1463:
1443:
1259:
1220:
1096:
1031:
1005:
978:
949:
842:
741:
719:
692:
679:{\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in }
596:
445:
416:
358:
313:
274:
247:
230:{\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in }
147:
2864:
2797:
2756:
2716:
2548:
2497:
2439:
2320:
2141:
2103:
2047:
1994:
1625:
1581:
1509:
1489:
1449:
1426:
1226:
1199:
1079:
1017:
991:
964:
935:
811:
725:
705:
678:
578:
431:
398:
344:
304:intersect in a curve that fulfills the equations
296:
260:
229:
16:Surface formed from spheres centered along a curve
2848:Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN
2834:Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN
2729:b) For the second picture the radius is constant:
1413:
1297:
122:In technical area canal surfaces can be used for
2355:a) The first picture shows a canal surface with
479:
1437:of the canal surface above is for any value of
399:{\displaystyle f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0}
2440:{\displaystyle (\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in }
2310:
2224:
1984:
1898:
1341:
1307:
8:
2764:, i. e. the canal surface is a pipe surface.
2711:
2705:
2637:
2631:
2149:one gets the parametric representation of a
2098:
2081:
1882:
1855:
1764:
1737:
1567:
1550:
1246:Parametric representation of a canal surface
1238:. If the radii are constant, it is called a
1074:
1057:
686:be a 1-parameter pencil of regular implicit
2772:
2734:
2700:
2686:
2684:
2683:
2674:
2668:
2667:
2654:
2648:
2647:
2626:
2606:
2605:
2588:
2587:
2575:
2569:
2568:
2565:
2540:
2534:
2533:
2523:
2517:
2516:
2513:
2484:
2455:
2363:
2309:
2308:
2278:
2272:
2271:
2237:
2231:
2230:
2223:
2222:
2201:
2200:
2176:
2175:
2166:
2165:
2163:
2122:
2121:
2119:
2087:
2085:
2084:
2076:
2065:
2063:
2062:
2060:
2039:
2033:
2032:
2022:
2016:
2015:
2012:
1983:
1982:
1952:
1946:
1945:
1911:
1905:
1904:
1897:
1896:
1885:
1861:
1859:
1858:
1847:
1826:
1825:
1822:
1814:
1779:
1777:
1776:
1767:
1743:
1741:
1740:
1715:
1714:
1699:
1681:
1680:
1656:
1655:
1646:
1645:
1643:
1615:
1602:
1596:
1594:
1556:
1554:
1553:
1537:
1536:
1530:
1522:
1502:
1467:
1465:
1464:
1462:
1442:
1412:
1411:
1391:
1390:
1355:
1353:
1352:
1346:
1340:
1339:
1323:
1322:
1313:
1312:
1306:
1305:
1296:
1295:
1274:
1273:
1264:
1258:
1219:
1176:
1163:
1157:
1156:
1140:
1139:
1130:
1129:
1123:
1122:
1104:
1103:
1095:
1063:
1061:
1060:
1049:
1038:
1037:
1032:
1030:
1004:
983:
977:
948:
927:
860:
859:
850:
849:
841:
788:
787:
778:
749:
748:
740:
718:
697:
691:
667:
654:
617:
616:
601:
595:
535:
534:
510:
509:
500:
482:
460:
459:
450:
444:
415:
366:
365:
357:
321:
320:
312:
279:
273:
252:
246:
218:
205:
168:
167:
152:
146:
131:Envelope of a pencil of implicit surfaces
2340:
2332:
1490:{\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(u)}
38:
30:
18:
2825:
98:(pipe surface, directrix is a circle),
1626:{\displaystyle {\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}
345:{\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0}
110:(canal surface, directrix is a line),
7:
2498:{\displaystyle r(u):=0.2+0.8u/2\pi }
1347:
1221:
928:
843:
598:
561:
550:
483:
417:
381:
297:{\displaystyle \Phi _{c+\Delta c}}
286:
276:
249:
149:
43:pipe surface: directrix is a helix
14:
2871:(2nd ed.). Chelsea. p.
828:of the given pencil of surfaces.
2687:
2669:
2649:
2570:
2535:
2518:
2273:
2232:
2202:
2177:
2167:
2088:
2066:
2034:
2017:
1947:
1906:
1862:
1780:
1744:
1682:
1657:
1647:
1557:
1468:
1356:
1324:
1314:
1275:
1141:
1131:
1105:
1064:
861:
851:
789:
750:
618:
536:
511:
461:
367:
322:
169:
2863:; Cohn-Vossen, Stephan (1952).
773:
2897:M. Peternell and H. Pottmann:
2792:
2780:
2745:
2739:
2697:
2663:
2623:
2584:
2466:
2460:
2434:
2422:
2410:
2398:
2392:
2380:
2374:
2365:
2305:
2299:
2290:
2284:
2264:
2258:
2249:
2243:
2213:
2207:
2194:
2182:
1979:
1973:
1964:
1958:
1938:
1932:
1923:
1917:
1878:
1872:
1844:
1837:
1811:
1805:
1796:
1790:
1760:
1754:
1732:
1726:
1711:
1705:
1693:
1687:
1674:
1662:
1484:
1478:
1408:
1402:
1387:
1381:
1372:
1366:
1335:
1329:
1286:
1270:
1188:
1182:
1152:
1146:
1116:
1100:
1050:
1033:
959:
953:
924:
920:
914:
905:
899:
890:
884:
878:
872:
866:
800:
784:
761:
745:
673:
647:
629:
613:
556:
531:
522:
506:
489:
472:
456:
423:
387:
362:
333:
317:
224:
198:
180:
164:
23:canal surface: directrix is a
1:
943:be a regular space curve and
432:{\displaystyle \Delta c\to 0}
71:whose centers lie on a space
27:, with its generating spheres
2867:Geometry and the Imagination
2345:canal surface: Dupin cyclide
2142:{\displaystyle {\dot {r}}=0}
63:is a surface formed as the
2931:
2811:e) The 5. picture shows a
2757:{\displaystyle r(u):=0.2}
261:{\displaystyle \Phi _{c}}
241:two neighboring surfaces
1250:The envelope condition
2055:and the tangent vector
1227:{\displaystyle \Gamma }
116:orthographic projection
90:right circular cylinder
85:. Simple examples are:
2799:
2758:
2718:
2550:
2499:
2441:
2346:
2338:
2322:
2143:
2105:
2049:
1996:
1627:
1583:
1511:
1491:
1451:
1428:
1228:
1201:
1081:
1019:
1018:{\displaystyle r>0}
993:
966:
937:
813:
727:
707:
680:
580:
433:
400:
346:
298:
262:
231:
44:
36:
28:
2800:
2798:{\displaystyle u\in }
2759:
2719:
2551:
2500:
2442:
2344:
2336:
2323:
2144:
2106:
2050:
1997:
1628:
1584:
1512:
1492:
1452:
1429:
1229:
1202:
1082:
1020:
994:
992:{\displaystyle C^{1}}
967:
938:
814:
728:
708:
706:{\displaystyle C^{2}}
681:
581:
434:
401:
347:
299:
263:
232:
108:surface of revolution
42:
34:
22:
2771:
2733:
2564:
2512:
2454:
2450:the radius function
2362:
2162:
2118:
2059:
2011:
1642:
1593:
1521:
1517:) has the distance
1501:
1461:
1441:
1257:
1218:
1094:
1029:
1003:
976:
965:{\displaystyle r(t)}
947:
840:
739:
717:
690:
594:
443:
414:
356:
311:
272:
245:
145:
135:Given the pencil of
102:right circular cone
2795:
2754:
2714:
2546:
2495:
2437:
2347:
2339:
2318:
2139:
2101:
2045:
2007:where the vectors
1992:
1623:
1579:
1507:
1487:
1447:
1424:
1224:
1197:
1077:
1015:
989:
962:
933:
809:
723:
703:
676:
576:
499:
429:
396:
342:
294:
258:
227:
45:
37:
29:
2694:
2645:
2614:
2596:
2556:is the following:
2130:
2095:
2073:
1894:
1892:
1869:
1834:
1787:
1774:
1751:
1723:
1621:
1571:
1564:
1545:
1510:{\displaystyle u}
1475:
1450:{\displaystyle u}
1399:
1363:
1071:
1046:
726:{\displaystyle f}
568:
494:
478:
137:implicit surfaces
124:blending surfaces
2922:
2886:
2870:
2852:
2844:
2838:
2830:
2815:(canal surface).
2804:
2802:
2801:
2796:
2763:
2761:
2760:
2755:
2723:
2721:
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