1847:
629:
1561:
982:
1391:
427:
2409:, assuming the regularity conditions of the Cramér–Rao bound hold. This implies that, when both bounds exist, the Chapman–Robbins version is always at least as tight as the Cramér–Rao bound; in many cases, it is substantially tighter.
1133:
1842:{\displaystyle \chi ^{2}(\mu _{\theta '};\mu _{\theta })\geq {\frac {(E_{\theta '}-E_{\theta })^{2}}{\operatorname {Var} _{\theta }}}={\frac {\langle v,E_{\theta '}-E_{\theta }\rangle ^{2}}{v^{T}\operatorname {Cov} _{\theta }v}}}
735:
1216:
2000:
1211:
243:
2225:
2177:
2297:
693:
122:
385:
1489:
730:
422:
182:
1888:
1530:
2045:
2407:
999:
332:
2449:
2412:
The
Chapman–Robbins bound also holds under much weaker regularity conditions. For example, no assumption is made regarding differentiability of the probability density function
2136:
2089:
624:{\displaystyle \operatorname {Var} _{\theta }\geq \sup _{\theta '\neq \theta \in \Theta }{\frac {(E_{\theta '}-E_{\theta })^{2}}{\chi ^{2}(\mu _{\theta '};\mu _{\theta })}}}
300:
1416:
2376:
271:
2317:
142:
77:
2343:
1556:
2245:
2109:
2065:
977:{\displaystyle \chi ^{2}(\mu _{\theta '};\mu _{\theta })\geq (E_{\theta '}-E_{\theta })^{T}\operatorname {Cov} _{\theta }^{-1}(E_{\theta '}-E_{\theta })}
40:; compared to the Cramér–Rao bound, it is both tighter and applicable to a wider range of problems. However, it is usually more difficult to compute.
1893:
2603:
1386:{\displaystyle \chi ^{2}(\mu _{\theta '};\mu _{\theta })\geq {\frac {(E_{\theta '}-E_{\theta })^{2}}{\operatorname {Var} _{\theta }}}}
1138:
2658:
2640:
2544:
2182:
2141:
187:
2250:
648:
82:
347:
1421:
2663:
1852:
1494:
698:
390:
150:
2013:
2476:
2346:
37:
2381:
2427:
2114:
305:
2070:
278:
2563:
2513:
2464:
2352:
249:
2636:
2481:
1396:
2302:
1128:{\displaystyle \chi ^{2}(P;Q)=\sup _{g}{\frac {(E_{P}-E_{Q})^{2}}{\operatorname {Var} _{Q}}}}
127:
62:
2592:
2553:
2575:
2525:
2571:
2539:
2521:
2501:
48:
44:
2322:
1535:
2230:
2094:
2050:
2652:
2345:, the expression inside the supremum in the Chapman–Robbins bound converges to the
993:
246:
2558:
17:
33:
1995:{\displaystyle \sup _{v\neq 0}{\frac {v^{T}ww^{T}v}{v^{T}Mv}}=w^{T}M^{-1}w}
29:
1418:
to obtain the single-variate case. For the multivariate case, we define
2567:
2517:
2542:(1951), "Minimum variance estimation without regularity assumptions",
79:
be the set of parameters for a family of probability distributions
2593:"Lecture notes on information theory, chapter 29, ECE563 (UIUC)"
1393:
Switch the denominator and the left side and take supremum over
2467:
is not defined, and hence the Cramér–Rao bound does not exist.
1206:{\displaystyle g={\hat {g}},P=\mu _{\theta '},Q=\mu _{\theta }}
2220:{\displaystyle \mu _{\theta }=\lambda _{\theta }^{\otimes n}}
2272:
2172:{\displaystyle \theta \in \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{m}}
2076:
2026:
36:
of a deterministic parameter. It is a generalization of the
238:{\displaystyle \chi ^{2}(\mu _{\theta '};\mu _{\theta })}
2292:{\displaystyle {\hat {g}}:{\mathcal {X}}^{n}\to \Theta }
1424:
688:{\displaystyle {\hat {g}}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}
2430:
2384:
2355:
2325:
2305:
2253:
2233:
2185:
2144:
2117:
2097:
2073:
2053:
2016:
1896:
1855:
1564:
1538:
1497:
1399:
1219:
1141:
1002:
738:
701:
651:
430:
393:
350:
308:
281:
252:
190:
153:
130:
117:{\displaystyle \{\mu _{\theta }:\theta \in \Theta \}}
85:
65:
994:
variational representation of chi-squared divergence
2179:parameterized family of probability distributions,
2506:Journal of the Royal Statistical Society, Series B
2443:
2401:
2370:
2337:
2311:
2291:
2239:
2219:
2171:
2130:
2103:
2083:
2059:
2039:
1994:
1882:
1841:
1550:
1524:
1483:
1410:
1385:
1205:
1127:
976:
724:
687:
623:
416:
380:{\displaystyle {\hat {g}}:\Omega \to \mathbb {R} }
379:
326:
294:
265:
237:
176:
136:
116:
71:
1484:{\textstyle h=\sum _{i=1}^{m}v_{i}{\hat {g}}_{i}}
1898:
1032:
466:
2504:(1950), "On estimating restricted parameters",
635:A generalization to the multivariable case is:
1558:in the variational representation to obtain:
8:
2635:(2nd ed.), Springer, pp. 113–114,
1781:
1707:
111:
86:
1883:{\displaystyle v\neq 0\in \mathbb {R} ^{m}}
1525:{\displaystyle v\neq 0\in \mathbb {R} ^{m}}
725:{\displaystyle \theta ,\theta '\in \Theta }
639:
417:{\displaystyle \theta ,\theta '\in \Theta }
338:
177:{\displaystyle \theta ,\theta '\in \Theta }
2040:{\displaystyle \Omega ={\mathcal {X}}^{n}}
43:The bound was independently discovered by
2557:
2435:
2429:
2383:
2357:
2356:
2354:
2324:
2304:
2277:
2271:
2270:
2255:
2254:
2252:
2232:
2208:
2203:
2190:
2184:
2163:
2159:
2158:
2143:
2122:
2116:
2096:
2075:
2074:
2072:
2052:
2031:
2025:
2024:
2015:
1980:
1970:
1948:
1933:
1920:
1913:
1901:
1895:
1874:
1870:
1869:
1854:
1819:
1818:
1806:
1796:
1784:
1766:
1765:
1756:
1735:
1734:
1720:
1704:
1680:
1668:
1649:
1622:
1612:
1600:
1582:
1569:
1563:
1537:
1516:
1512:
1511:
1496:
1475:
1464:
1463:
1456:
1446:
1435:
1423:
1398:
1366:
1365:
1353:
1341:
1323:
1322:
1313:
1292:
1291:
1277:
1267:
1255:
1237:
1224:
1218:
1197:
1173:
1149:
1148:
1140:
1104:
1092:
1073:
1051:
1041:
1035:
1007:
1001:
957:
956:
947:
926:
925:
911:
895:
880:
879:
867:
857:
839:
838:
829:
808:
807:
793:
774:
756:
743:
737:
700:
679:
675:
674:
653:
652:
650:
609:
591:
578:
566:
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547:
538:
517:
516:
502:
492:
469:
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447:
435:
429:
392:
373:
372:
352:
351:
349:
313:
307:
286:
280:
257:
251:
226:
208:
195:
189:
152:
129:
93:
84:
64:
2493:
645:Given any multivariate random variable
1890:, using the linear algebra fact that
7:
2631:Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998),
2586:
2584:
47:in 1950, and by Douglas Chapman and
2600:Lecture notes on information theory
2402:{\displaystyle \theta '\to \theta }
2002:, we obtain the multivariate case.
2444:{\displaystyle \lambda _{\theta }}
2286:
2151:
2131:{\displaystyle \lambda _{\theta }}
2017:
719:
667:
487:
411:
366:
171:
131:
108:
66:
14:
2545:Annals of Mathematical Statistics
344:Given any scalar random variable
26:Hammersley–Chapman–Robbins bound
2609:from the original on 2022-05-24
327:{\displaystyle \mu _{\theta '}}
2393:
2362:
2283:
2260:
2084:{\displaystyle {\mathcal {X}}}
1830:
1824:
1815:
1777:
1771:
1762:
1746:
1740:
1731:
1695:
1689:
1665:
1661:
1655:
1639:
1633:
1615:
1606:
1575:
1469:
1377:
1371:
1362:
1338:
1334:
1328:
1319:
1303:
1297:
1288:
1270:
1261:
1230:
1154:
1119:
1113:
1089:
1085:
1079:
1063:
1057:
1044:
1025:
1013:
971:
968:
962:
953:
937:
931:
922:
904:
892:
885:
876:
854:
850:
844:
835:
819:
813:
804:
786:
780:
749:
670:
658:
615:
584:
563:
559:
553:
544:
528:
522:
513:
495:
459:
453:
444:
369:
357:
295:{\displaystyle \mu _{\theta }}
232:
201:
1:
2463:) is non-differentiable, the
2006:Relation to Cramér–Rao bound
2247:-fold product measure, and
2680:
2633:Theory of Point Estimation
2371:{\displaystyle {\hat {g}}}
2591:Polyanskiy, Yury (2017).
266:{\displaystyle \chi ^{2}}
2659:Statistical inequalities
2091:-valued random variable
1411:{\displaystyle \theta '}
28:is a lower bound on the
2559:10.1214/aoms/1177729548
2312:{\displaystyle \theta }
2067:independent draws of a
2047:is the sample space of
137:{\displaystyle \Omega }
72:{\displaystyle \Theta }
2445:
2403:
2372:
2339:
2313:
2293:
2241:
2221:
2173:
2132:
2105:
2085:
2061:
2041:
1996:
1884:
1843:
1552:
1526:
1485:
1451:
1412:
1387:
1207:
1129:
978:
726:
689:
625:
418:
381:
328:
296:
267:
239:
178:
138:
118:
73:
2446:
2404:
2373:
2340:
2314:
2294:
2242:
2222:
2174:
2133:
2106:
2086:
2062:
2042:
1997:
1885:
1844:
1553:
1527:
1486:
1431:
1413:
1388:
1208:
1130:
979:
727:
690:
626:
419:
382:
329:
297:
268:
240:
179:
139:
119:
74:
22:Chapman–Robbins bound
2428:
2382:
2353:
2323:
2303:
2251:
2231:
2183:
2142:
2115:
2095:
2071:
2051:
2014:
1894:
1853:
1562:
1536:
1495:
1422:
1397:
1217:
1139:
1000:
736:
699:
649:
428:
391:
348:
306:
279:
250:
188:
151:
128:
83:
63:
2338:{\displaystyle m=1}
2299:is an estimator of
2216:
1849:Take supremum over
1551:{\displaystyle g=h}
643: —
342: —
2465:Fisher information
2441:
2399:
2368:
2335:
2309:
2289:
2237:
2217:
2199:
2169:
2128:
2111:with distribution
2101:
2081:
2057:
2037:
1992:
1912:
1880:
1839:
1548:
1522:
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1383:
1203:
1125:
1040:
974:
722:
685:
641:
621:
491:
414:
377:
340:
324:
292:
263:
235:
174:
134:
114:
69:
2664:Estimation theory
2502:Hammersley, J. M.
2482:Estimation theory
2365:
2263:
2240:{\displaystyle n}
2104:{\displaystyle X}
2060:{\displaystyle n}
1961:
1897:
1837:
1827:
1774:
1743:
1699:
1472:
1381:
1374:
1331:
1300:
1157:
1123:
1031:
965:
934:
888:
847:
816:
661:
619:
556:
525:
465:
456:
360:
2671:
2645:
2618:
2617:
2615:
2614:
2608:
2597:
2588:
2579:
2578:
2561:
2538:Chapman, D. G.;
2535:
2529:
2528:
2498:
2477:Cramér–Rao bound
2450:
2448:
2447:
2442:
2440:
2439:
2408:
2406:
2405:
2400:
2392:
2377:
2375:
2374:
2369:
2367:
2366:
2358:
2347:Cramér–Rao bound
2344:
2342:
2341:
2336:
2318:
2316:
2315:
2310:
2298:
2296:
2295:
2290:
2282:
2281:
2276:
2275:
2265:
2264:
2256:
2246:
2244:
2243:
2238:
2226:
2224:
2223:
2218:
2215:
2207:
2195:
2194:
2178:
2176:
2175:
2170:
2168:
2167:
2162:
2137:
2135:
2134:
2129:
2127:
2126:
2110:
2108:
2107:
2102:
2090:
2088:
2087:
2082:
2080:
2079:
2066:
2064:
2063:
2058:
2046:
2044:
2043:
2038:
2036:
2035:
2030:
2029:
2001:
1999:
1998:
1993:
1988:
1987:
1975:
1974:
1962:
1960:
1953:
1952:
1942:
1938:
1937:
1925:
1924:
1914:
1911:
1889:
1887:
1886:
1881:
1879:
1878:
1873:
1848:
1846:
1845:
1840:
1838:
1836:
1829:
1828:
1820:
1811:
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1801:
1800:
1790:
1789:
1788:
1776:
1775:
1767:
1761:
1760:
1745:
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1736:
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1728:
1705:
1700:
1698:
1685:
1684:
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