1900:
623:
383:
1626:
1491:
1356:
1719:
1015:
758:
434:
2242:
1202:
248:
905:
1063:
2091:
1977:
2386:
Chateauneuf, A.; Cohen, M. D. (2010). "Cardinal
Extensions of the EU Model Based on the Choquet Integral". In Bouyssou, Denis; Dubois, Didier; Pirlot, Marc; Prade, Henri (eds.).
201:
1100:
939:
300:
145:
2148:
2568:
2016:
838:
1688:
1519:
1384:
678:
426:
1711:
308:
1654:
1245:
1225:
801:
781:
650:
406:
276:
165:
119:
2359:
1527:
1392:
2428:
1257:
1895:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }G^{-1}(\alpha )dH(\alpha )=-\int _{-\infty }^{a}H(G(x))dx+\int _{a}^{\infty }{\hat {H}}(1-G(x))dx,}
947:
686:
618:{\displaystyle (C)\int fd\nu :=\int _{-\infty }^{0}(\nu (\{s|f(s)\geq x\})-\nu (S))\,dx+\int _{0}^{\infty }\nu (\{s|f(s)\geq x\})\,dx}
2403:
2341:
60:
2153:
1657:
82:
Using the
Choquet integral to denote the expected utility of belief functions measured with capacities is a way to reconcile the
2489:
208:
2252:
The
Choquet integral was applied in image processing, video processing and computer vision. In behavioral decision theory,
846:
76:
72:
2563:
1108:
1028:
2558:
2512:
2021:
1908:
2444:
Tversky, A.; Kahneman, D. (1992). "Advances in
Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty".
172:
2269:
68:
44:
918:
281:
126:
2510:
Even, Y.; Lehrer, E. (2014). "Decomposition-integral: unifying
Choquet and the concave integrals".
2537:
2461:
2260:
use the
Choquet integral and related methods in their formulation of cumulative prospect theory.
2099:
1068:
71:, the Choquet integral is also used to calculate the lower expectation induced by a 2-monotone
2424:
2399:
2337:
64:
1986:
817:
2521:
2498:
2484:
2453:
2391:
2368:
2357:
Grabisch, M. (1996). "The application of fuzzy integrals in multicriteria decision making".
2312:
1663:
629:
83:
48:
2533:
378:{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \colon \{s\in S\mid f(s)\geq x\}\in {\mathcal {F}}}
2529:
2274:
2257:
1504:
1369:
663:
411:
52:
40:
1693:
17:
1639:
1230:
1210:
786:
766:
635:
391:
261:
150:
104:
87:
56:
2487:(1994). "Additive Representations of Non-Additive Measures and the Choquet Integral".
2552:
2372:
2279:
36:
2541:
2465:
2253:
660:
In general the
Choquet integral does not satisfy additivity. More specifically, if
251:
1713:
integrable. Then this following formula is often referred to as
Choquet Integral:
32:
2395:
2525:
1621:{\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \leq (C)\int (f+g)\,d\nu .}
1486:{\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \geq (C)\int (f+g)\,d\nu .}
2502:
2457:
1351:{\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu =(C)\int (f+g)\,d\nu .}
2419:
Sriboonchita, S.; Wong, W. K.; Dhompongsa, S.; Nguyen, H. T. (2010).
2421:
Stochastic dominance and applications to finance, risk and economics
2317:
2300:
1010:{\displaystyle (C)\int \lambda f\,d\nu =\lambda (C)\int f\,d\nu ,}
753:{\displaystyle \int f\,d\nu +\int g\,d\nu \neq \int (f+g)\,d\nu .}
55:
in the 1980s, where it is used as a way of measuring the expected
806:
The
Choquet integral does satisfy the following properties.
632:(the integrands are integrable because they are monotone in
370:
287:
220:
132:
2237:{\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dH(x)=G^{-1}(\alpha )}
628:
where the integrals on the right-hand side are the usual
243:{\displaystyle \nu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} ^{+}}
75:, or the upper expectation induced by a 2-alternating
59:
of an uncertain event. It is applied specifically to
2156:
2102:
2024:
1989:
1911:
1722:
1696:
1666:
1642:
1530:
1507:
1395:
1372:
1260:
1233:
1213:
1111:
1071:
1031:
950:
921:
900:{\displaystyle (C)\int f\,d\nu \leq (C)\int g\,d\nu }
849:
820:
789:
769:
689:
666:
638:
437:
414:
394:
311:
284:
264:
211:
175:
153:
129:
107:
2236:
2142:
2085:
2010:
1971:
1894:
1705:
1682:
1648:
1620:
1513:
1485:
1378:
1350:
1239:
1219:
1196:
1094:
1057:
1009:
933:
899:
832:
795:
775:
752:
672:
644:
617:
420:
400:
377:
294:
270:
242:
195:
159:
139:
113:
680:is not a probability measure, it may hold that
1197:{\displaystyle (f(s)-f(s'))(g(s)-g(s'))\geq 0}
1065:are comonotone functions, that is, if for all
2388:Decision-making Process: Concepts and Methods
1058:{\displaystyle f,g:S\rightarrow \mathbb {R} }
39:integral created by the French mathematician
8:
602:
573:
518:
489:
362:
329:
2086:{\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dx=E}
2316:
2216:
2176:
2166:
2161:
2155:
2122:
2101:
2044:
2034:
2029:
2023:
1988:
1972:{\displaystyle {\hat {H}}(x)=H(1)-H(1-x)}
1913:
1912:
1910:
1848:
1847:
1841:
1836:
1796:
1788:
1745:
1735:
1727:
1721:
1695:
1671:
1665:
1641:
1608:
1571:
1543:
1529:
1506:
1473:
1436:
1408:
1394:
1371:
1338:
1301:
1273:
1259:
1232:
1212:
1110:
1070:
1051:
1050:
1030:
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819:
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768:
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712:
696:
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556:
542:
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466:
436:
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368:
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321:
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263:
234:
230:
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219:
218:
210:
189:
188:
174:
152:
131:
130:
128:
106:
2360:European Journal of Operational Research
2569:Definitions of mathematical integration
2291:
7:
196:{\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }
1842:
1792:
1736:
1731:
562:
470:
312:
43:in 1953. It was initially used in
25:
2334:Non-additive measure and Integral
1658:cumulative distribution function
98:The following notation is used:
2446:Journal of Risk and Uncertainty
2231:
2225:
2206:
2200:
2191:
2185:
2135:
2123:
2112:
2106:
2080:
2074:
2059:
2053:
1999:
1993:
1966:
1954:
1945:
1939:
1930:
1924:
1918:
1880:
1877:
1871:
1859:
1853:
1820:
1817:
1811:
1805:
1775:
1769:
1760:
1754:
1605:
1593:
1587:
1581:
1562:
1556:
1537:
1531:
1470:
1458:
1452:
1446:
1427:
1421:
1402:
1396:
1335:
1323:
1317:
1311:
1292:
1286:
1267:
1261:
1185:
1182:
1171:
1162:
1156:
1150:
1147:
1144:
1133:
1124:
1118:
1112:
1047:
988:
982:
957:
951:
934:{\displaystyle \lambda \geq 0}
881:
875:
856:
850:
737:
725:
605:
593:
587:
580:
570:
539:
536:
530:
521:
509:
503:
496:
486:
480:
444:
438:
353:
347:
295:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
278:is measurable with respect to
225:
185:
140:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1:
2490:Annals of Operations Research
2305:Annales de l'Institut Fourier
388:Then the Choquet integral of
147:– a collection of subsets of
2373:10.1016/0377-2217(95)00176-X
69:imprecise probability theory
1247:rising and falling together
1207:which can be thought of as
2585:
2396:10.1002/9780470611876.ch10
2143:{\displaystyle H(x):=1_{}}
1632:Alternative representation
2526:10.1007/s00199-013-0780-0
1095:{\displaystyle s,s'\in S}
51:, but found its way into
18:Choquet expected utility
2011:{\displaystyle H(x):=x}
1386:is 2-alternating, then
833:{\displaystyle f\leq g}
2332:Denneberg, D. (1994).
2301:"Theory of capacities"
2238:
2144:
2087:
2012:
1973:
1896:
1707:
1684:
1683:{\displaystyle G^{-1}}
1650:
1622:
1515:
1487:
1380:
1352:
1241:
1221:
1198:
1096:
1059:
1011:
935:
901:
834:
797:
777:
754:
674:
646:
619:
422:
402:
379:
296:
272:
244:
197:
161:
141:
115:
2270:Nonlinear expectation
2239:
2145:
2088:
2013:
1974:
1897:
1708:
1685:
1651:
1623:
1516:
1488:
1381:
1353:
1242:
1222:
1199:
1097:
1060:
1021:Comonotone additivity
1012:
936:
902:
835:
798:
778:
755:
675:
647:
620:
423:
403:
380:
297:
273:
245:
198:
162:
142:
116:
45:statistical mechanics
2390:. pp. 401–433.
2299:Choquet, G. (1953).
2154:
2100:
2022:
1987:
1909:
1720:
1694:
1664:
1640:
1528:
1521:is 2-monotone, then
1514:{\displaystyle \nu }
1505:
1393:
1379:{\displaystyle \nu }
1370:
1258:
1231:
1211:
1109:
1069:
1029:
948:
919:
911:Positive homogeneity
847:
818:
787:
767:
687:
673:{\displaystyle \nu }
664:
636:
435:
421:{\displaystyle \nu }
412:
392:
309:
282:
262:
209:
173:
151:
127:
105:
61:membership functions
2564:Functional analysis
2336:. Kluwer Academic.
2171:
2039:
1846:
1801:
1740:
763:for some functions
566:
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2458:10.1007/bf00122574
2234:
2157:
2140:
2083:
2025:
2008:
1969:
1892:
1832:
1784:
1723:
1706:{\displaystyle dH}
1703:
1680:
1646:
1618:
1511:
1483:
1376:
1348:
1237:
1217:
1194:
1092:
1055:
1007:
931:
897:
830:
793:
773:
750:
670:
642:
615:
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2430:978-1-4200-8266-1
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1856:
1649:{\displaystyle G}
1240:{\displaystyle g}
1220:{\displaystyle f}
796:{\displaystyle g}
776:{\displaystyle f}
645:{\displaystyle x}
401:{\displaystyle f}
271:{\displaystyle f}
160:{\displaystyle S}
114:{\displaystyle S}
77:upper probability
73:lower probability
16:(Redirected from
2576:
2559:Expected utility
2545:
2506:
2470:
2469:
2441:
2435:
2434:
2416:
2410:
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2376:
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1712:
1710:
1709:
1704:
1689:
1687:
1686:
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1679:
1678:
1655:
1653:
1652:
1647:
1627:
1625:
1624:
1619:
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1518:
1517:
1512:
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1098:
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408:with respect to
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