1889:
612:
372:
1615:
1480:
1345:
1708:
1004:
747:
423:
2231:
1191:
237:
894:
1052:
2080:
1966:
2375:
Chateauneuf, A.; Cohen, M. D. (2010). "Cardinal
Extensions of the EU Model Based on the Choquet Integral". In Bouyssou, Denis; Dubois, Didier; Pirlot, Marc; Prade, Henri (eds.).
190:
1089:
928:
289:
134:
2137:
2557:
2005:
827:
1677:
1508:
1373:
667:
415:
1700:
297:
1643:
1234:
1214:
790:
770:
639:
395:
265:
154:
108:
2348:
1516:
1381:
2417:
1246:
1884:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }G^{-1}(\alpha )dH(\alpha )=-\int _{-\infty }^{a}H(G(x))dx+\int _{a}^{\infty }{\hat {H}}(1-G(x))dx,}
936:
675:
607:{\displaystyle (C)\int fd\nu :=\int _{-\infty }^{0}(\nu (\{s|f(s)\geq x\})-\nu (S))\,dx+\int _{0}^{\infty }\nu (\{s|f(s)\geq x\})\,dx}
2392:
2330:
49:
2142:
1646:
71:
Using the
Choquet integral to denote the expected utility of belief functions measured with capacities is a way to reconcile the
2478:
197:
2241:
The
Choquet integral was applied in image processing, video processing and computer vision. In behavioral decision theory,
835:
65:
61:
2552:
1097:
1017:
2547:
2501:
2010:
1897:
2433:
Tversky, A.; Kahneman, D. (1992). "Advances in
Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty".
161:
2258:
57:
33:
907:
270:
115:
2499:
Even, Y.; Lehrer, E. (2014). "Decomposition-integral: unifying
Choquet and the concave integrals".
2526:
2450:
2249:
use the
Choquet integral and related methods in their formulation of cumulative prospect theory.
2088:
1057:
60:, the Choquet integral is also used to calculate the lower expectation induced by a 2-monotone
2413:
2388:
2326:
53:
1975:
806:
2510:
2487:
2473:
2442:
2380:
2357:
2346:
Grabisch, M. (1996). "The application of fuzzy integrals in multicriteria decision making".
2301:
1652:
618:
72:
37:
2522:
367:{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \colon \{s\in S\mid f(s)\geq x\}\in {\mathcal {F}}}
2518:
2263:
2246:
1493:
1358:
652:
400:
41:
29:
1682:
1628:
1219:
1199:
775:
755:
624:
380:
250:
139:
93:
76:
45:
2476:(1994). "Additive Representations of Non-Additive Measures and the Choquet Integral".
2541:
2361:
2268:
25:
2530:
2454:
2242:
649:
In general the
Choquet integral does not satisfy additivity. More specifically, if
240:
1702:
integrable. Then this following formula is often referred to as
Choquet Integral:
21:
2384:
2514:
1610:{\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \leq (C)\int (f+g)\,d\nu .}
1475:{\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \geq (C)\int (f+g)\,d\nu .}
2491:
2446:
1340:{\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu =(C)\int (f+g)\,d\nu .}
2408:
Sriboonchita, S.; Wong, W. K.; Dhompongsa, S.; Nguyen, H. T. (2010).
2410:
Stochastic dominance and applications to finance, risk and economics
2306:
2289:
999:{\displaystyle (C)\int \lambda f\,d\nu =\lambda (C)\int f\,d\nu ,}
742:{\displaystyle \int f\,d\nu +\int g\,d\nu \neq \int (f+g)\,d\nu .}
44:
in the 1980s, where it is used as a way of measuring the expected
795:
The
Choquet integral does satisfy the following properties.
621:(the integrands are integrable because they are monotone in
359:
276:
209:
121:
2226:{\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dH(x)=G^{-1}(\alpha )}
617:
where the integrals on the right-hand side are the usual
232:{\displaystyle \nu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} ^{+}}
64:, or the upper expectation induced by a 2-alternating
48:
of an uncertain event. It is applied specifically to
2145:
2091:
2013:
1978:
1900:
1711:
1685:
1655:
1631:
1519:
1496:
1384:
1361:
1249:
1222:
1202:
1100:
1060:
1020:
939:
910:
889:{\displaystyle (C)\int f\,d\nu \leq (C)\int g\,d\nu }
838:
809:
778:
758:
678:
655:
627:
426:
403:
383:
300:
273:
253:
200:
164:
142:
118:
96:
2225:
2131:
2074:
1999:
1960:
1883:
1694:
1671:
1637:
1609:
1502:
1474:
1367:
1339:
1228:
1208:
1185:
1083:
1046:
998:
922:
888:
821:
784:
764:
741:
661:
633:
606:
409:
389:
366:
283:
259:
231:
184:
148:
128:
102:
669:is not a probability measure, it may hold that
1186:{\displaystyle (f(s)-f(s'))(g(s)-g(s'))\geq 0}
1054:are comonotone functions, that is, if for all
2377:Decision-making Process: Concepts and Methods
1047:{\displaystyle f,g:S\rightarrow \mathbb {R} }
28:integral created by the French mathematician
8:
591:
562:
507:
478:
351:
318:
2075:{\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dx=E}
2305:
2205:
2165:
2155:
2150:
2144:
2111:
2090:
2033:
2023:
2018:
2012:
1977:
1961:{\displaystyle {\hat {H}}(x)=H(1)-H(1-x)}
1902:
1901:
1899:
1837:
1836:
1830:
1825:
1785:
1777:
1734:
1724:
1716:
1710:
1684:
1660:
1654:
1630:
1597:
1560:
1532:
1518:
1495:
1462:
1425:
1397:
1383:
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1327:
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1262:
1248:
1221:
1201:
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1059:
1040:
1039:
1019:
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837:
808:
777:
757:
729:
701:
685:
677:
654:
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597:
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550:
545:
531:
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463:
455:
425:
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382:
358:
357:
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310:
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274:
272:
252:
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219:
218:
208:
207:
199:
178:
177:
163:
141:
120:
119:
117:
95:
2349:European Journal of Operational Research
2558:Definitions of mathematical integration
2280:
7:
185:{\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }
1831:
1781:
1725:
1720:
551:
459:
301:
32:in 1953. It was initially used in
14:
2323:Non-additive measure and Integral
1647:cumulative distribution function
87:The following notation is used:
2435:Journal of Risk and Uncertainty
2220:
2214:
2195:
2189:
2180:
2174:
2124:
2112:
2101:
2095:
2069:
2063:
2048:
2042:
1988:
1982:
1955:
1943:
1934:
1928:
1919:
1913:
1907:
1869:
1866:
1860:
1848:
1842:
1809:
1806:
1800:
1794:
1764:
1758:
1749:
1743:
1594:
1582:
1576:
1570:
1551:
1545:
1526:
1520:
1459:
1447:
1441:
1435:
1416:
1410:
1391:
1385:
1324:
1312:
1306:
1300:
1281:
1275:
1256:
1250:
1174:
1171:
1160:
1151:
1145:
1139:
1136:
1133:
1122:
1113:
1107:
1101:
1036:
977:
971:
946:
940:
923:{\displaystyle \lambda \geq 0}
870:
864:
845:
839:
726:
714:
594:
582:
576:
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559:
528:
525:
519:
510:
498:
492:
485:
475:
469:
433:
427:
342:
336:
284:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
267:is measurable with respect to
214:
174:
129:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
1:
2479:Annals of Operations Research
2294:Annales de l'Institut Fourier
377:Then the Choquet integral of
136:– a collection of subsets of
2362:10.1016/0377-2217(95)00176-X
58:imprecise probability theory
1236:rising and falling together
1196:which can be thought of as
2574:
2385:10.1002/9780470611876.ch10
2132:{\displaystyle H(x):=1_{}}
1621:Alternative representation
2515:10.1007/s00199-013-0780-0
1084:{\displaystyle s,s'\in S}
40:, but found its way into
2000:{\displaystyle H(x):=x}
1375:is 2-alternating, then
822:{\displaystyle f\leq g}
2321:Denneberg, D. (1994).
2290:"Theory of capacities"
2227:
2133:
2076:
2001:
1962:
1885:
1696:
1673:
1672:{\displaystyle G^{-1}}
1639:
1611:
1504:
1476:
1369:
1341:
1230:
1210:
1187:
1085:
1048:
1000:
924:
890:
823:
786:
766:
743:
663:
635:
608:
411:
391:
368:
285:
261:
233:
186:
150:
130:
104:
2259:Nonlinear expectation
2228:
2134:
2077:
2002:
1963:
1886:
1697:
1674:
1640:
1612:
1505:
1477:
1370:
1342:
1231:
1211:
1188:
1086:
1049:
1010:Comonotone additivity
1001:
925:
891:
824:
787:
767:
744:
664:
636:
609:
412:
392:
369:
286:
262:
234:
187:
151:
131:
105:
34:statistical mechanics
2379:. pp. 401–433.
2288:Choquet, G. (1953).
2143:
2089:
2011:
1976:
1898:
1709:
1683:
1653:
1629:
1517:
1510:is 2-monotone, then
1503:{\displaystyle \nu }
1494:
1382:
1368:{\displaystyle \nu }
1359:
1247:
1220:
1200:
1098:
1058:
1018:
937:
908:
900:Positive homogeneity
836:
807:
776:
756:
676:
662:{\displaystyle \nu }
653:
625:
424:
410:{\displaystyle \nu }
401:
381:
298:
271:
251:
198:
162:
140:
116:
94:
50:membership functions
2553:Functional analysis
2325:. Kluwer Academic.
2160:
2028:
1835:
1790:
1729:
752:for some functions
555:
468:
2492:10.1007/BF02032160
2447:10.1007/bf00122574
2223:
2146:
2129:
2072:
2014:
1997:
1958:
1881:
1821:
1773:
1712:
1695:{\displaystyle dH}
1692:
1669:
1635:
1607:
1500:
1472:
1365:
1337:
1226:
1206:
1183:
1081:
1044:
996:
920:
886:
819:
782:
762:
739:
659:
631:
604:
541:
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364:
281:
257:
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182:
146:
126:
100:
2419:978-1-4200-8266-1
1910:
1845:
1638:{\displaystyle G}
1229:{\displaystyle g}
1209:{\displaystyle f}
785:{\displaystyle g}
765:{\displaystyle f}
634:{\displaystyle x}
390:{\displaystyle f}
260:{\displaystyle f}
149:{\displaystyle S}
103:{\displaystyle S}
66:upper probability
62:lower probability
2565:
2548:Expected utility
2534:
2495:
2459:
2458:
2430:
2424:
2423:
2405:
2399:
2398:
2372:
2366:
2365:
2343:
2337:
2336:
2318:
2312:
2311:
2309:
2285:
2232:
2230:
2229:
2224:
2213:
2212:
2173:
2172:
2159:
2154:
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2136:
2135:
2130:
2128:
2127:
2081:
2079:
2078:
2073:
2041:
2040:
2027:
2022:
2006:
2004:
2003:
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1967:
1965:
1964:
1959:
1912:
1911:
1903:
1890:
1888:
1887:
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1847:
1846:
1838:
1834:
1829:
1789:
1784:
1742:
1741:
1728:
1723:
1701:
1699:
1698:
1693:
1678:
1676:
1675:
1670:
1668:
1667:
1644:
1642:
1641:
1636:
1616:
1614:
1613:
1608:
1509:
1507:
1506:
1501:
1481:
1479:
1478:
1473:
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1372:
1371:
1366:
1346:
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1343:
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1233:
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1212:
1207:
1192:
1190:
1189:
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1087:
1082:
1074:
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1051:
1050:
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1043:
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1003:
1002:
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926:
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619:Riemann integral
613:
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397:with respect to
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