4849:
2803:
2314:
3143:
3050:
4297:
2207:
1592:
4703:
4213:
1653:
3903:
5780:
5658:
4951:
1032:
3826:
2495:
5462:
675:
4528:
4109:
802:
3681:
3524:
560:
5579:
3752:
5519:
3426:
727:
2612:
5014:
4389:
2955:
2903:
1996:
1498:
5858:
5100:
1751:
1717:
4435:
1085:
957:
5819:
2534:
5351:
5220:
5054:
4038:
238:
5715:
5131:
2393:
2059:
6202:
6023:
3609:
1867:
193:
6068:
4731:
2645:
267:
5941:
5890:
4327:
3983:
2831:
899:
5684:
4612:
3289:
2347:
477:
5190:
2106:
1903:
2425:
6165:
6120:
6048:
5986:
4063:
4008:
3549:
3220:
3171:
2673:
1830:
924:
136:
4878:
2560:
1781:
1683:
1524:
1457:
5405:
5378:
5301:
5274:
5247:
4578:
4482:
3933:
3466:
3446:
2713:
2693:
1407:
1380:
1313:
1286:
1152:
849:
614:
587:
504:
444:
397:
370:
2215:
1197:
6140:
6095:
5961:
5910:
5321:
5151:
4723:
4632:
4548:
4455:
4129:
3953:
3569:
3349:
3329:
3309:
3263:
3240:
3191:
2851:
2126:
2079:
2016:
1943:
1923:
1801:
1427:
1353:
1333:
1259:
1235:
1215:
1192:
1172:
1125:
1105:
1052:
977:
869:
822:
747:
417:
343:
323:
299:
156:
111:
88:
64:
6278:
2721:
3056:
2963:
6356:
6351:
6325:
2134:
1529:
1597:
17:
5720:
5584:
4883:
4218:
1753:
is noetherian, every closed subscheme of an open subscheme is also an open subscheme of a closed subscheme, and therefore each
4134:
2430:
622:
6317:
2647:
is noetherian, we can apply the same logic as before to see that we can swap the order of the open and closed immersions.
982:
752:
3617:
3471:
509:
345:
is noetherian since it is of finite type over a noetherian base. Therefore it has finitely many irreducible components
5524:
5410:
3832:
3687:
3354:
683:
3758:
2565:
4637:
4956:
6312:
5467:
3265:
is surjective, we first note that it is proper and therefore closed. As its image contains the dense open set
2908:
2856:
1948:
1462:
4332:
3196:
2497:, which we claim is an immersion. To see this, note that this morphism can be factored as the graph morphism
1806:
5824:
5222:
must also factor through this graph by construction of the scheme-theoretic image. Since the restriction of
5059:
4487:
4068:
6265:
1722:
1688:
4394:
5785:
2500:
5019:
198:
4844:{\displaystyle u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.}
2352:
2021:
1057:
929:
6274:"Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes"
6205:
6053:
2617:
243:
39:
5863:
4329:
by its reduction, which has the same underlying topological space, we have that the two morphisms
5689:
5105:
91:
31:
5663:
3268:
2319:
449:
6170:
5991:
5156:
3577:
2084:
1875:
1835:
161:
6321:
6269:
2398:
67:
5915:
5326:
5195:
4013:
2309:{\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}}
6307:
6287:
4857:
4302:
3958:
2811:
2539:
1756:
1658:
1503:
1432:
874:
6335:
6299:
5383:
5356:
5279:
5252:
5225:
4583:
4556:
4460:
3911:
3451:
3431:
2698:
2678:
1526:
is of finite type and therefore quasi-compact. Composing this map with the open immersions
1385:
1358:
1291:
1264:
1130:
827:
592:
565:
482:
422:
375:
348:
6331:
6295:
35:
6145:
6100:
6028:
5966:
4043:
3988:
3529:
3200:
3151:
2653:
1810:
904:
116:
6125:
6080:
5946:
5895:
5306:
5136:
4708:
4617:
4533:
4440:
4114:
3938:
3554:
3334:
3314:
3294:
3248:
3225:
3176:
2836:
2111:
2064:
2001:
1928:
1908:
1786:
1412:
1338:
1318:
1244:
1220:
1200:
1177:
1157:
1110:
1090:
1037:
962:
854:
807:
732:
402:
328:
308:
284:
141:
96:
73:
49:
27:
6345:
2798:{\displaystyle \psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P}
804:
is quasi-compact and we may compute this scheme-theoretic image affine-locally on
6273:
3138:{\displaystyle g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.}
3045:{\displaystyle f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,}
3468:
factors as the composition of a closed immersion followed by an open immersion
6097:
is reduced, irreducible, or integral, we can assume that the same holds for
3611:
is an immersion. We define the following four families of open subschemes:
6291:
1034:: this map is projective, and an isomorphism over a dense open set of
280:
5581:. By the definition of the fiber product, it suffices to prove that
2202:{\displaystyle \phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}}
1587:{\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}}
824:, immediately proving the two claims. If we can produce for each
1648:{\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}}
4391:
are both extensions of the underlying map of topological space
4437:, so by the reduced-to-separated lemma they must be equal as
5775:{\displaystyle q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi }
5653:{\displaystyle q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}}
5860:, so the desired conclusion follows from the definition of
3311:
must be surjective. It is also straightforward to see that
4946:{\displaystyle \Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}}
4292:{\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}
616:
to be the scheme-theoretic image of the open immersion
42:. More precisely, a version of it states the following:
4208:{\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}
2490:{\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P}
1335:. To do this, we may by quasi-compactness first cover
6248:
6236:
6173:
6148:
6128:
6103:
6083:
6056:
6031:
5994:
5969:
5949:
5918:
5898:
5866:
5827:
5788:
5723:
5692:
5666:
5587:
5527:
5470:
5413:
5386:
5359:
5329:
5309:
5282:
5255:
5228:
5198:
5159:
5139:
5108:
5062:
5022:
4959:
4886:
4860:
4734:
4711:
4640:
4620:
4586:
4559:
4536:
4490:
4463:
4443:
4397:
4335:
4305:
4221:
4137:
4117:
4071:
4046:
4016:
3991:
3961:
3941:
3914:
3835:
3761:
3690:
3620:
3580:
3557:
3532:
3474:
3454:
3434:
3357:
3337:
3317:
3297:
3271:
3251:
3228:
3203:
3179:
3154:
3059:
2966:
2911:
2859:
2839:
2814:
2724:
2701:
2681:
2656:
2620:
2568:
2542:
2503:
2433:
2401:
2355:
2322:
2218:
2137:
2114:
2087:
2067:
2024:
2004:
1951:
1931:
1911:
1878:
1838:
1813:
1789:
1759:
1725:
1691:
1661:
1600:
1532:
1506:
1465:
1435:
1415:
1388:
1361:
1341:
1321:
1294:
1267:
1247:
1223:
1203:
1180:
1160:
1133:
1113:
1093:
1060:
1040:
985:
965:
932:
907:
901:
as in the statement of the theorem, then we can take
877:
857:
830:
810:
755:
735:
686:
670:{\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.}
625:
595:
568:
512:
485:
452:
425:
405:
378:
351:
331:
311:
287:
246:
201:
164:
144:
119:
99:
76:
52:
1027:{\displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}
797:{\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X}
3676:{\displaystyle V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}}
3519:{\displaystyle U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P}
555:{\displaystyle X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}
6196:
6159:
6134:
6114:
6089:
6062:
6042:
6017:
5980:
5955:
5935:
5904:
5884:
5852:
5813:
5774:
5709:
5678:
5652:
5573:
5513:
5456:
5399:
5372:
5345:
5315:
5295:
5268:
5241:
5214:
5184:
5145:
5125:
5094:
5048:
5008:
4945:
4872:
4843:
4717:
4697:
4626:
4606:
4572:
4542:
4522:
4476:
4449:
4429:
4383:
4321:
4291:
4207:
4123:
4103:
4057:
4032:
4002:
3977:
3947:
3927:
3897:
3820:
3746:
3675:
3603:
3563:
3543:
3518:
3460:
3440:
3420:
3343:
3323:
3303:
3283:
3257:
3234:
3214:
3185:
3165:
3137:
3044:
2949:
2897:
2845:
2825:
2797:
2707:
2687:
2667:
2639:
2606:
2554:
2528:
2489:
2419:
2387:
2341:
2308:
2201:
2120:
2100:
2073:
2053:
2010:
1990:
1937:
1917:
1897:
1861:
1824:
1795:
1775:
1745:
1711:
1677:
1647:
1586:
1518:
1492:
1451:
1421:
1401:
1374:
1347:
1327:
1307:
1280:
1261:can be covered by a finite number of open subsets
1253:
1229:
1209:
1186:
1166:
1146:
1119:
1099:
1079:
1046:
1026:
971:
951:
918:
893:
863:
843:
816:
796:
741:
721:
669:
608:
581:
554:
498:
471:
438:
411:
391:
364:
337:
317:
293:
261:
232:
187:
150:
130:
105:
82:
58:
1217:can be covered by finitely many quasi-projective
1107:-scheme since it is a finite union of projective
5574:{\displaystyle v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}}
5457:{\displaystyle U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}}
3898:{\displaystyle U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.}
3747:{\displaystyle W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P}
3421:{\displaystyle f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)}
2427:denote the canonical open immersion, we define
722:{\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}
506:and is an isomorphism on the open dense subset
5102:factors through this graph (where we consider
3821:{\displaystyle U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'}
2607:{\displaystyle U\times _{S}P\to X\times _{S}P}
1685:is a closed subscheme of an open subscheme of
4698:{\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}
2562:is separated) followed by the open immersion
8:
5009:{\displaystyle T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})}
1892:
1879:
1174:, we've completed the reduction to the case
6320:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
5464:; we have to show that there is a morphism
6224:
5514:{\displaystyle w_{i}:U\subset X'\to W_{i}}
4299:as a map of topological spaces. Replacing
3197:Verification of the claimed properties of
6172:
6147:
6127:
6102:
6082:
6055:
6030:
5993:
5968:
5948:
5917:
5897:
5865:
5832:
5826:
5793:
5787:
5760:
5747:
5728:
5722:
5691:
5665:
5644:
5631:
5618:
5605:
5592:
5586:
5565:
5550:
5545:
5532:
5526:
5505:
5475:
5469:
5448:
5438:
5412:
5391:
5385:
5364:
5358:
5334:
5328:
5308:
5287:
5281:
5260:
5254:
5233:
5227:
5203:
5197:
5164:
5158:
5138:
5107:
5086:
5076:
5061:
5040:
5030:
5021:
4997:
4982:
4977:
4964:
4958:
4937:
4927:
4911:
4896:
4891:
4885:
4859:
4826:
4809:
4804:
4799:
4794:
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4791:
4785:
4771:
4766:
4761:
4759:
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4673:
4655:
4650:
4645:
4639:
4619:
4585:
4564:
4558:
4535:
4511:
4495:
4489:
4468:
4462:
4442:
4421:
4408:
4396:
4375:
4356:
4343:
4334:
4310:
4304:
4283:
4267:
4249:
4244:
4239:
4226:
4220:
4199:
4183:
4165:
4160:
4155:
4142:
4136:
4116:
4092:
4076:
4070:
4045:
4021:
4015:
3990:
3966:
3960:
3940:
3919:
3913:
3872:
3856:
3840:
3834:
3798:
3782:
3766:
3760:
3729:
3713:
3708:
3695:
3689:
3667:
3651:
3638:
3625:
3619:
3579:
3556:
3531:
3507:
3488:
3473:
3453:
3433:
3406:
3387:
3362:
3356:
3336:
3316:
3296:
3270:
3250:
3227:
3202:
3178:
3153:
3119:
3114:
3109:
3107:
3106:
3097:
3082:
3077:
3075:
3074:
3058:
3026:
3021:
3016:
3014:
3013:
3004:
2989:
2984:
2982:
2981:
2965:
2932:
2916:
2910:
2880:
2864:
2858:
2838:
2813:
2786:
2771:
2766:
2764:
2763:
2742:
2737:
2735:
2734:
2723:
2700:
2680:
2655:
2628:
2619:
2595:
2576:
2567:
2541:
2517:
2502:
2478:
2456:
2432:
2400:
2379:
2360:
2354:
2333:
2321:
2300:
2286:
2281:
2276:
2274:
2273:
2262:
2257:
2255:
2254:
2242:
2229:
2217:
2193:
2183:
2170:
2160:
2136:
2113:
2092:
2086:
2066:
2045:
2035:
2023:
2003:
1982:
1969:
1956:
1950:
1930:
1910:
1886:
1877:
1837:
1812:
1788:
1764:
1758:
1737:
1732:
1728:
1727:
1724:
1703:
1698:
1694:
1693:
1690:
1666:
1660:
1639:
1634:
1630:
1629:
1619:
1612:
1607:
1603:
1602:
1599:
1578:
1571:
1566:
1562:
1561:
1551:
1544:
1539:
1535:
1534:
1531:
1505:
1484:
1477:
1472:
1468:
1467:
1464:
1440:
1434:
1414:
1393:
1387:
1366:
1360:
1340:
1320:
1299:
1293:
1272:
1266:
1246:
1222:
1202:
1179:
1159:
1138:
1132:
1112:
1092:
1068:
1059:
1039:
1012:
993:
984:
964:
940:
931:
906:
882:
876:
856:
835:
829:
809:
782:
766:
754:
734:
729:is set-theoretically noetherian for each
713:
697:
685:
652:
636:
624:
600:
594:
573:
567:
546:
530:
517:
511:
490:
484:
457:
451:
430:
424:
404:
383:
377:
356:
350:
330:
310:
286:
245:
206:
200:
163:
143:
118:
98:
75:
51:
2950:{\displaystyle q_{2}:X\times _{S}P\to P}
2898:{\displaystyle q_{1}:X\times _{S}P\to X}
2081:is irreducible. The restrictions of the
1991:{\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to P_{i}}
1493:{\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}}
30:, is one of the foundational results in
6217:
4384:{\displaystyle (U_{i}')_{red}\to P_{i}}
3193:satisfy the conclusion of the theorem.
759:
690:
629:
523:
5853:{\displaystyle q_{2}\circ \psi =\phi }
5095:{\displaystyle U\to X\times _{S}W_{i}}
3448:is an isomorphism on to its image, as
1382:, and then cover the preimage of each
305:We can first reduce to the case where
6077:In the statement of Chow's lemma, if
4523:{\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}
4104:{\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}
3351:: we may just combine the facts that
1998:an open immersion in to a projective
7:
6279:Publications Mathématiques de l'IHÉS
5380:, and our claim will be proven. Let
4953:is a closed immersion and the graph
1746:{\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}
1712:{\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}
4725:. For this, consider the morphism
4430:{\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}}
2957:be the canonical projections. Set
1459:each with a closed immersion in to
5814:{\displaystyle q_{1}\circ \psi =j}
5542:
4974:
4888:
4065:. We will do this by showing that
2529:{\displaystyle U\to U\times _{S}P}
277:The proof here is a standard one.
66:is a scheme that is proper over a
14:
6249:Grothendieck & Dieudonné 1961
6237:Grothendieck & Dieudonné 1961
5192:from earlier), then the map from
5049:{\displaystyle X\times _{S}W_{i}}
4880:is separated, the graph morphism
4634:is an immersion by checking that
2675:be the scheme-theoretic image of
233:{\displaystyle f^{-1}(U)\simeq U}
6357:Chinese mathematical discoveries
3574:We will do this by showing that
2536:(which is a closed immersion as
2388:{\displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}
2054:{\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}}
4010:, and we wish to show that the
2349:is the canonical injection and
399:there is an irreducible proper
6352:Theorems in algebraic geometry
6188:
6009:
5927:
5876:
5498:
5428:
5179:
5173:
5066:
5003:
4990:
4917:
4864:
4832:
4795:
4762:
4682:
4646:
4601:
4590:
4414:
4401:
4368:
4353:
4336:
4276:
4240:
4192:
4156:
3878:
3865:
3804:
3791:
3735:
3722:
3657:
3644:
3595:
3497:
3478:
3415:
3396:
3377:
3371:
3110:
3078:
3017:
2985:
2941:
2889:
2767:
2738:
2585:
2546:
2507:
2468:
2453:
2440:
2411:
2372:
2326:
2277:
2258:
2235:
2222:
2147:
1975:
1853:
1625:
1557:
1510:
1429:by finitely many affine opens
1355:by finitely many affine opens
1080:{\displaystyle \coprod Y_{i}'}
1018:
1002:
952:{\displaystyle \coprod Y_{i}'}
788:
658:
463:
221:
215:
179:
1:
6318:Graduate Texts in Mathematics
6063:{\displaystyle \blacksquare }
2640:{\displaystyle X\times _{S}P}
372:, and we claim that for each
262:{\displaystyle U\subseteq X.}
5885:{\displaystyle \phi :U\to P}
195:that induces an isomorphism
5710:{\displaystyle U\subset X'}
5407:be the canonical injection
5126:{\displaystyle U\subset X'}
4131:. It suffices to show that
2853:is a closed immersion. Let
2395:is the projection. Letting
38:is fairly close to being a
6373:
6025:is a closed immersion, so
5679:{\displaystyle U\subset X}
5353:will be an immersion into
4457:is topologically dense in
3526:. It remains to show that
3331:induces an isomorphism on
3284:{\displaystyle U\subset X}
2342:{\displaystyle U\to U_{i}}
1905:is a finite open cover of
472:{\displaystyle Y_{i}\to X}
325:is irreducible. To start,
15:
6197:{\displaystyle f:X'\to X}
6018:{\displaystyle g:X'\to P}
5185:{\displaystyle f^{-1}(U)}
5133:via our observation that
5016:is a closed subscheme of
4550:and the claim is proven.
3604:{\displaystyle g:X'\to P}
2833:is an open immersion and
2101:{\displaystyle \phi _{i}}
1898:{\displaystyle \{U_{i}\}}
1862:{\displaystyle f:X'\to X}
1783:is quasi-projective over
1315:is quasi-projective over
926:to be the disjoint union
281:Reduction to the case of
188:{\displaystyle f:X'\to X}
34:. It roughly says that a
4705:is an immersion for all
4614:, and we can check that
2420:{\displaystyle j:U\to X}
1241:Next, we will show that
479:has set-theoretic image
16:Not to be confused with
6266:Grothendieck, Alexandre
6227:, Ch II. Exercise 4.10.
5936:{\displaystyle X'\to S}
5912:is an immersion. Since
5346:{\displaystyle U_{i}''}
5276:is an isomorphism onto
5215:{\displaystyle U_{i}''}
5153:is an isomorphism over
4553:The upshot is that the
4033:{\displaystyle U_{i}''}
2061:, which is nonempty as
6198:
6167:are irreducible, then
6161:
6136:
6116:
6091:
6064:
6044:
6019:
5982:
5957:
5937:
5906:
5886:
5854:
5815:
5776:
5711:
5680:
5654:
5575:
5515:
5458:
5401:
5374:
5347:
5317:
5297:
5270:
5243:
5216:
5186:
5147:
5127:
5096:
5050:
5010:
4947:
4874:
4873:{\displaystyle X\to S}
4845:
4719:
4699:
4628:
4608:
4574:
4544:
4524:
4478:
4451:
4431:
4385:
4323:
4322:{\displaystyle U_{i}'}
4293:
4209:
4125:
4105:
4059:
4034:
4004:
3979:
3978:{\displaystyle U_{i}'}
3949:
3929:
3899:
3822:
3748:
3677:
3605:
3565:
3545:
3520:
3462:
3442:
3422:
3345:
3325:
3305:
3285:
3259:
3236:
3216:
3187:
3167:
3139:
3046:
2951:
2899:
2847:
2827:
2826:{\displaystyle \psi '}
2799:
2709:
2689:
2669:
2641:
2608:
2556:
2555:{\displaystyle P\to S}
2530:
2491:
2421:
2389:
2343:
2310:
2203:
2122:
2102:
2075:
2055:
2012:
1992:
1939:
1919:
1899:
1863:
1826:
1797:
1777:
1776:{\displaystyle X_{ij}}
1747:
1713:
1679:
1678:{\displaystyle X_{ij}}
1649:
1588:
1520:
1519:{\displaystyle X\to S}
1494:
1453:
1452:{\displaystyle X_{jk}}
1423:
1403:
1376:
1349:
1329:
1309:
1282:
1255:
1231:
1211:
1188:
1168:
1148:
1121:
1101:
1081:
1048:
1028:
979:to be the composition
973:
953:
920:
895:
894:{\displaystyle Y_{i}'}
865:
845:
818:
798:
743:
723:
671:
610:
589:. To see this, define
583:
556:
500:
473:
440:
413:
393:
366:
339:
319:
295:
263:
234:
189:
152:
132:
107:
90:, then there exists a
84:
60:
6199:
6162:
6137:
6117:
6092:
6073:Additional statements
6065:
6045:
6020:
5983:
5958:
5938:
5907:
5887:
5855:
5816:
5777:
5712:
5681:
5655:
5576:
5516:
5459:
5402:
5400:{\displaystyle v_{i}}
5375:
5373:{\displaystyle W_{i}}
5348:
5318:
5303:, the restriction of
5298:
5296:{\displaystyle W_{i}}
5271:
5269:{\displaystyle T_{i}}
5244:
5242:{\displaystyle q_{2}}
5217:
5187:
5148:
5128:
5097:
5051:
5011:
4948:
4875:
4846:
4720:
4700:
4629:
4609:
4607:{\displaystyle g(X')}
4575:
4573:{\displaystyle W_{i}}
4545:
4525:
4479:
4477:{\displaystyle U_{i}}
4452:
4432:
4386:
4324:
4294:
4210:
4126:
4106:
4060:
4035:
4005:
3980:
3950:
3930:
3928:{\displaystyle U_{i}}
3900:
3823:
3749:
3678:
3606:
3566:
3546:
3521:
3463:
3461:{\displaystyle \psi }
3443:
3441:{\displaystyle \psi }
3423:
3346:
3326:
3306:
3286:
3260:
3237:
3217:
3188:
3168:
3140:
3047:
2952:
2900:
2848:
2828:
2800:
2710:
2708:{\displaystyle \psi }
2690:
2688:{\displaystyle \psi }
2670:
2642:
2609:
2557:
2531:
2492:
2422:
2390:
2344:
2311:
2204:
2123:
2103:
2076:
2056:
2013:
1993:
1940:
1920:
1900:
1864:
1827:
1798:
1778:
1748:
1714:
1680:
1650:
1589:
1521:
1495:
1454:
1424:
1404:
1402:{\displaystyle S_{j}}
1377:
1375:{\displaystyle S_{j}}
1350:
1330:
1310:
1308:{\displaystyle U_{i}}
1283:
1281:{\displaystyle U_{i}}
1256:
1232:
1212:
1189:
1169:
1149:
1147:{\displaystyle Y_{i}}
1127:-schemes. Since each
1122:
1102:
1082:
1049:
1029:
974:
954:
921:
896:
866:
846:
844:{\displaystyle Y_{i}}
819:
799:
744:
724:
672:
611:
609:{\displaystyle Y_{i}}
584:
582:{\displaystyle X_{i}}
557:
501:
499:{\displaystyle X_{i}}
474:
441:
439:{\displaystyle Y_{i}}
414:
394:
392:{\displaystyle X_{i}}
367:
365:{\displaystyle X_{i}}
340:
320:
296:
264:
235:
190:
153:
133:
108:
85:
61:
6171:
6146:
6126:
6101:
6081:
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