587:
1951:
1259:
775:
1736:
342:
978:
1446:
1747:
1055:
28:, essentially saying that they can be represented as increasing functions of a single random variable. In two dimensions it is also possible to consider perfect negative dependence, which is called countermonotonicity.
122:-quantiles of its components, hence comonotonic random variables are quantile-additive. In practical risk management terms it means that there is minimal (or eventually no) variance reduction from diversification.
630:
1566:
2122:
582:{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\mu {\bigl (}\{(y_{1},\ldots ,y_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}\mid y_{1}\leq x_{1},\ldots ,y_{n}\leq x_{n}\}{\bigr )},\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.}
806:
2198:
1302:
1946:{\displaystyle \Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\leq \min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}\Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n},}
1254:{\displaystyle \Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})=\min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}\Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.}
2863:
2868:
1518:
2829:
2742:
2704:
770:{\displaystyle F_{i}(x):=\mu {\bigl (}\{(y_{1},\ldots ,y_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}\mid y_{i}\leq x\}{\bigr )},\qquad x\in {\mathbb {R} }}
1731:{\displaystyle \Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\leq \Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n},}
2873:
1500:. More generally, a random vector is comonotonic if and only if it agrees in distribution with a random vector where all components are
2531:
2053:
2474:
1493:
973:{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}F_{i}(x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.}
2734:
333:
2133:
2044:
78:
2223:
25:
2235:
39:
2219:
1042:
990:
2546:
615:
2768:
1046:
308:
287:
2551:
2031:
be a comonotonic bivariate random vector with the same one-dimensional marginal distributions as
1501:
1441:{\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})=_{\text{d}}(F_{X_{1}}^{-1}(U),\ldots ,F_{X_{n}}^{-1}(U)),\,}
17:
2825:
2791:
2738:
2700:
2621:
43:
2843:
2807:
2783:
2756:
2718:
2682:
2664:
2637:
2613:
2572:
2556:
2505:
2489:
32:
2839:
2803:
2752:
2714:
2678:
2633:
2568:
2501:
2847:
2835:
2811:
2799:
2760:
2748:
2722:
2710:
2686:
2674:
2641:
2629:
2580:
2576:
2564:
2509:
2497:
1459:
318:
2513:
2818:
Sriboonchitta, Songsak; Wong, Wing-Keung; Dhompongsa, Sompong; Nguyen, Hung T. (2010),
2649:
2598:
1995:
2560:
2493:
2857:
1497:
2648:
Kaas, Rob; Dhaene, Jan; Vyncke, David; Goovaerts, Marc J.; Denuit, Michel (2002),
2819:
2694:
2787:
2617:
2532:"The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: applications"
2795:
2650:"A simple geometric proof that comonotonic risks have the convex-largest sum"
2625:
24:
mainly refers to the perfect positive dependence between the components of a
2699:, Princeton Series in Finance, Princeton, NJ: Princeton University Press,
2669:
113:
2530:
Dhaene, Jan; Denuit, Michel; Goovaerts, Marc J.; Vyncke, David (2002b),
2475:"The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: theory"
2473:
Dhaene, Jan; Denuit, Michel; Goovaerts, Marc J.; Vyncke, David (2002a),
2821:
Stochastic
Dominance and Applications to Finance, Risk and Economics
1458:
stands for equality in distribution, on the right-hand side are the
31:
Comonotonicity is also related to the comonotonic additivity of the
1513:
Upper Fréchet–Hoeffding bound for cumulative distribution functions
1504:(or all are non-increasing functions) of the same random variable.
2315:
2117:{\displaystyle {\text{Cov}}(X,Y)\leq {\text{Cov}}(X^{*},Y^{*})}
1462:
generalized inverses of the cumulative distribution functions
2733:, Springer Series in Statistics (second ed.), New York:
2693:
McNeil, Alexander J.; Frey, Rüdiger; Embrechts, Paul (2005),
2696:
Quantitative Risk
Management. Concepts, Techniques and Tools
51:
47:
2421:, Proposition A.3 (properties of the generalized inverse))
2367:
2341:
2328:
2193:{\displaystyle \operatorname {E} \leq \operatorname {E} }
1296:
is comonotonic if and only if it can be represented as
2136:
2056:
1750:
1569:
1305:
1058:
809:
633:
345:
608:
denote the cumulative distribution functions of the
2457:
2444:
2431:
2418:
2354:
2192:
2116:
1945:
1730:
1440:
1253:
998:is comonotonic according to the above definition.
972:
769:
581:
38:The concept of comonotonicity has applications in
2824:, Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press,
1852:
1819:
1751:
1637:
1570:
1160:
1127:
1059:
852:
130:
745:
661:
515:
392:
8:
2767:Puccetti, Giovanni; Scarsini, Marco (2010),
1847:
1829:
1155:
1137:
880:
862:
740:
666:
510:
397:
2047:and the upper Fréchet–Hoeffding bound that
1994:be a bivariate random vector such that the
54:. In particular, the sum of the components
294:Comonotonicity of probability measures on
126:
2668:
2550:
2181:
2171:
2135:
2105:
2092:
2080:
2057:
2055:
1934:
1929:
1928:
1927:
1914:
1895:
1875:
1862:
1822:
1806:
1793:
1774:
1761:
1749:
1719:
1714:
1713:
1712:
1699:
1680:
1660:
1647:
1625:
1612:
1593:
1580:
1568:
1437:
1413:
1406:
1401:
1370:
1363:
1358:
1345:
1332:
1313:
1304:
1242:
1237:
1236:
1235:
1222:
1203:
1183:
1170:
1130:
1114:
1101:
1082:
1069:
1057:
961:
956:
955:
954:
941:
922:
902:
889:
855:
839:
820:
808:
762:
761:
760:
744:
743:
728:
715:
710:
709:
708:
695:
676:
660:
659:
638:
632:
570:
565:
564:
563:
550:
531:
514:
513:
504:
491:
472:
459:
446:
441:
440:
439:
426:
407:
391:
390:
375:
356:
344:
1956:with equality everywhere if and only if
2307:
2247:
1550:-valued random vector. Then, for every
2597:Jouini, Elyès; Napp, Clotilde (2004),
2539:Insurance: Mathematics & Economics
2482:Insurance: Mathematics & Economics
2434:, Proposition 5.16 and its proof)
2399:
2383:, Definition 2.5.1) for the case
2380:
2218:Note that this result generalizes the
125:For extensions of comonotonicity, see
2045:Höffding's formula for the covariance
1494:uniformly distributed random variable
7:
2864:Theory of probability distributions
2402:, Theorem 2.5.4) for the case
2606:Decisions in Economics and Finance
2158:
2137:
989:is comonotonic if and only if its
983:Note that the probability measure
14:
2869:Independence (probability theory)
2458:McNeil, Frey & Embrechts 2005
2445:McNeil, Frey & Embrechts 2005
2432:McNeil, Frey & Embrechts 2005
2419:McNeil, Frey & Embrechts 2005
2355:McNeil, Frey & Embrechts 2005
116:of the sum equals the sum of the
106:is comonotonic. Furthermore, the
2776:Journal of Multivariate Analysis
2265:always exists, take for example
334:cumulative distribution function
2292:
1887:
1672:
1519:Fréchet–Hoeffding copula bounds
1195:
914:
753:
523:
2187:
2164:
2152:
2143:
2111:
2085:
2074:
2062:
1978:Upper bound for the covariance
1920:
1888:
1881:
1855:
1812:
1754:
1705:
1673:
1666:
1640:
1631:
1573:
1431:
1428:
1422:
1385:
1379:
1351:
1338:
1306:
1228:
1196:
1189:
1163:
1120:
1062:
947:
915:
908:
895:
845:
813:
701:
669:
650:
644:
556:
524:
432:
400:
381:
349:
131:Puccetti & Scarsini (2010)
79:joint probability distribution
1:
2769:"Multivariate comonotonicity"
2561:10.1016/s0167-6687(02)00135-x
2494:10.1016/s0167-6687(02)00134-8
2203:with equality if and only if
1049:) is comonotonic, this means
142:Comonotonicity of subsets of
2599:"Conditional comonotonicity"
2236:Copula (probability theory)
2890:
2874:Covariance and correlation
2788:10.1016/j.jmva.2009.08.003
2731:An Introduction to Copulas
2224:Chebyshev's sum inequality
1516:
2729:Nelsen, Roger B. (2006),
2618:10.1007/s10203-004-0049-y
2316:Sriboonchitta et al. 2010
40:financial risk management
2357:, Proposition 6.15)
2220:rearrangement inequality
1502:non-decreasing functions
332:denote its multivariate
127:Jouini & Napp (2004)
2460:, Theorem 5.25(2))
2043:. Then it follows from
77:is the riskiest if the
2194:
2127:and, correspondingly,
2118:
1947:
1732:
1442:
1275:-valued random vector
1255:
1041:, if its multivariate
1016:-valued random vector
1006:-valued random vectors
974:
771:
616:marginal distributions
583:
2670:10.2143/ast.32.1.1015
2195:
2119:
1948:
1733:
1443:
1256:
975:
772:
584:
81:of the random vector
52:Dhaene et al. (2002b)
48:Dhaene et al. (2002a)
2737:, pp. xiv+269,
2370:, Definition 1)
2134:
2054:
1748:
1567:
1303:
1056:
807:
631:
343:
2318:, pp. 149–152)
1421:
1378:
1047:pushforward measure
309:probability measure
288:totally ordered set
251:}, it follows that
2447:, Lemma 5.24)
2190:
2114:
1943:
1851:
1728:
1438:
1397:
1354:
1251:
1159:
1002:Comonotonicity of
970:
884:
767:
579:
18:probability theory
2831:978-1-4200-8266-1
2744:978-0-387-28659-4
2706:978-0-691-12255-7
2344:, Theorem 7)
2331:, Theorem 6)
2083:
2060:
1818:
1555:∈ {1, 2, . . . ,
1348:
1126:
851:
785:∈ {1, 2, . . . ,
592:Furthermore, let
272:∈ {1, 2, . . . ,
246:∈ {1, 2, . . . ,
44:actuarial science
2881:
2850:
2814:
2773:
2763:
2725:
2689:
2672:
2654:
2644:
2603:
2593:
2592:
2591:
2585:
2579:, archived from
2554:
2536:
2526:
2525:
2524:
2518:
2512:, archived from
2479:
2461:
2454:
2448:
2441:
2435:
2428:
2422:
2415:
2409:
2408:
2396:
2390:
2389:
2377:
2371:
2368:Kaas et al. 2002
2364:
2358:
2351:
2345:
2342:Kaas et al. 2002
2338:
2332:
2329:Kaas et al. 2002
2325:
2319:
2312:
2296:
2290:
2264:
2252:
2215:is comonotonic.
2214:
2199:
2197:
2196:
2191:
2186:
2185:
2176:
2175:
2123:
2121:
2120:
2115:
2110:
2109:
2097:
2096:
2084:
2081:
2061:
2058:
2042:
2030:
2018:
2010:and the product
2009:
2003:
1993:
1974:is comonotonic.
1973:
1952:
1950:
1949:
1944:
1939:
1938:
1933:
1932:
1919:
1918:
1900:
1899:
1880:
1879:
1867:
1866:
1850:
1811:
1810:
1798:
1797:
1779:
1778:
1766:
1765:
1737:
1735:
1734:
1729:
1724:
1723:
1718:
1717:
1704:
1703:
1685:
1684:
1665:
1664:
1652:
1651:
1630:
1629:
1617:
1616:
1598:
1597:
1585:
1584:
1559:
1549:
1543:
1491:
1485:
1457:
1447:
1445:
1444:
1439:
1420:
1412:
1411:
1410:
1377:
1369:
1368:
1367:
1350:
1349:
1346:
1337:
1336:
1318:
1317:
1295:
1274:
1260:
1258:
1257:
1252:
1247:
1246:
1241:
1240:
1227:
1226:
1208:
1207:
1188:
1187:
1175:
1174:
1158:
1119:
1118:
1106:
1105:
1087:
1086:
1074:
1073:
1036:
1015:
1005:
997:
988:
979:
977:
976:
971:
966:
965:
960:
959:
946:
945:
927:
926:
907:
906:
894:
893:
883:
844:
843:
825:
824:
795:
789:
776:
774:
773:
768:
766:
765:
749:
748:
733:
732:
720:
719:
714:
713:
700:
699:
681:
680:
665:
664:
643:
642:
623:
614:one-dimensional
613:
607:
588:
586:
585:
580:
575:
574:
569:
568:
555:
554:
536:
535:
519:
518:
509:
508:
496:
495:
477:
476:
464:
463:
451:
450:
445:
444:
431:
430:
412:
411:
396:
395:
380:
379:
361:
360:
331:
325:
316:
306:
297:
285:
280:This means that
276:
266:
250:
240:
224:
218:
193:
165:(sometimes also
160:
154:
145:
121:
111:
105:
76:
33:Choquet integral
2889:
2888:
2884:
2883:
2882:
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