25:
2598:
3302:
2403:
2792:
3502:
3053:
2940:
3113:
3622:
3390:
2683:
1972:
4011:
2593:{\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,\ \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\ \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}
1731:
1453:
2691:
3398:
2960:
223:. Compact matrix quantum groups are abstract structures on which the "continuous functions" on the structure are given by elements of a C*-algebra. The geometry of a compact matrix quantum group is a special case of a
2797:
205:, a commutative C*-algebra is isomorphic to the C*-algebra of continuous complex-valued functions on a compact Hausdorff topological space, and the topological space is uniquely determined by the C*-algebra up to
3297:{\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,\ \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\ \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}
4086:
2321:
1100:
309:
1264:
3701:
3664:
3880:
1557:
944:
569:
3507:
1807:
768:
3313:
422:
2609:
698:
192:
161:
1196:
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2050:
1323:
613:
1840:
806:
460:
645:
492:
1147:
832:
1845:
1293:
197:
The basic motivation for this theory comes from the following analogy. The space of complex-valued functions on a compact
Hausdorff topological space forms a
3908:
1636:
1339:
2787:{\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes \gamma ^{*},\Delta (\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes \alpha ^{*}}
3497:{\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes \beta ^{*},\Delta (\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes \alpha ^{*}}
3048:{\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}
2935:{\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\gamma )=-\mu ^{-1}\gamma ,\kappa (\gamma ^{*})=-\mu \gamma ^{*},\kappa (\alpha ^{*})=\alpha }
42:
3758:
165:
of continuous complex-valued functions on a compact group is generalised to an abstract structure on a not-necessarily commutative unital
4017:
2247:
108:
89:
1024:
61:
68:
46:
75:
249:
194:-algebra, which plays the role of the "algebra of continuous complex-valued functions on the compact quantum group".
1214:
2083:
can be regarded as the *-algebra of continuous complex-valued functions over the compact matrix quantum group, and
3673:
3627:
57:
3812:
3617:{\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\beta )=-\mu ^{-1}\beta ,\kappa (\beta ^{*})=-\mu \beta ^{*}}
1489:
2111:
respectively, their minimal tensor product is defined to be the norm completion of the algebraic tensor product
885:
500:
3385:{\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}
2678:{\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}
1762:
710:
4114:
224:
35:
365:
4124:
2947:
653:
202:
168:
137:
4119:
1162:
857:
963:
82:
2016:
1298:
577:
1812:
776:
430:
3754:
618:
465:
236:
2087:
can be regarded as a finite-dimensional representation of the compact matrix quantum group.
1967:{\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}
1122:
811:
212:
1326:
1272:
3773:
Woronowicz, S.L. "Compact Matrix
Pseudogrooups", Commun. Math. Phys. 111 (1987), 613-665
334:
4006:{\displaystyle \forall i,j:\qquad \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}
4108:
1619:
is the C*-algebra tensor product - the completion of the algebraic tensor product of
206:
130:
4098:
van Daele, A. and Wang, S. "Universal quantum groups" Int. J. Math. (1996), 255-263.
846:
3794:
van Daele, A. and Maes, Ann. "Notes on compact quantum groups", arXiv:math/9803122
3783:
1726:{\displaystyle \forall i,j:\qquad \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj};}
333:
is the minimal C*-algebra tensor product — the completion of the algebraic
1448:{\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}
122:
24:
134:
3670:
is a unitary representation. The realizations can be identified by equating
2230:
1116:
865:
1594:
There exists a C*-algebra homomorphism, called the comultiplication,
1739:
There exists a linear antimultiplicative map, called the coinverse,
2229:
A representation of the compact matrix quantum group is given by a
4081:{\displaystyle \forall i,j:\qquad \epsilon (v_{ij})=\delta _{ij}.}
2316:{\displaystyle \forall i,j:\qquad \kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}.}
18:
1095:{\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}
2056:
As a consequence of continuity, the comultiplication on
3803:
a corepresentation of a counital coassiative coalgebra
3782:
Woronowicz, S.L. "Compact
Quantum Groups". Notes from
3328:
2975:
2624:
4020:
3911:
3815:
3676:
3630:
3510:
3401:
3316:
3116:
2963:
2800:
2694:
2612:
2406:
2250:
2233:
2019:
1848:
1815:
1765:
1639:
1492:
1342:
1301:
1275:
1217:
1165:
1125:
1027:
966:
888:
814:
779:
713:
656:
647:. There also exists a linear multiplicative mapping
621:
580:
503:
468:
433:
368:
252:
171:
140:
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
4080:
4005:
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3695:
3658:
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3296:
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2934:
2786:
2677:
2592:
2315:
2044:
1966:
1834:
1801:
1725:
1551:
1447:
1317:
1287:
1258:
1190:
1141:
1094:
997:
938:
879:which is also a Hopf *-algebra. Specifically, if
826:
800:
762:
692:
639:
607:
563:
486:
454:
416:
303:
186:
155:
1208:is a Hopf *-algebra: the counit is determined by
2331:An example of a compact matrix quantum group is
304:{\displaystyle \Delta :C(G)\to C(G)\otimes C(G)}
1583:, which is generated by the matrix elements of
3784:http://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf
3395:so that the comultiplication is determined by
2688:so that the comultiplication is determined by
1259:{\displaystyle \epsilon (u_{ij})=\delta _{ij}}
2954:is equivalent to the unitary representation
2149:A compact quantum group is defined as a pair
8:
3696:{\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }
3659:{\displaystyle \kappa (\alpha ^{*})=\alpha }
3875:{\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}
1552:{\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}
939:{\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}
564:{\displaystyle (f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)}
4066:
4047:
4019:
3994:
3978:
3968:
3957:
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3675:
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3315:
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3183:
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3115:
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3000:
2983:
2974:
2962:
2917:
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2296:
2277:
2249:
2136:; the norm completion is also denoted by
2036:
2018:
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1711:
1695:
1685:
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1638:
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1417:
1401:
1382:
1363:
1353:
1341:
1306:
1300:
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1247:
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1216:
1176:
1164:
1130:
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1083:
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1057:
1038:
1026:
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965:
924:
902:
887:
813:
778:
748:
712:
655:
620:
579:
502:
467:
432:
367:
251:
243:, there exists a C*-algebra homomorphism
178:
173:
170:
147:
142:
139:
109:Learn how and when to remove this message
856:On the other hand, a finite-dimensional
834:. Strictly speaking, this does not make
3741:
3728:is equal to the concrete compact group
1802:{\displaystyle \kappa (\kappa (v*)*)=v}
763:{\displaystyle \kappa (f)(x)=f(x^{-1})}
2237:, is called unitary if the matrix for
2179:is a unital *-homomorphism satisfying
201:C*-algebra. On the other hand, by the
3504:, and the coinverse is determined by
2794:, and the coinverse is determined by
417:{\displaystyle \Delta (f)(x,y)=f(xy)}
7:
693:{\displaystyle \kappa :C(G)\to C(G)}
215:introduced the important concept of
47:adding citations to reliable sources
4021:
3928:
3912:
3451:
3402:
2741:
2695:
2251:
1656:
1640:
1028:
369:
253:
174:
143:
14:
16:Abstract structure in mathematics
2241:is unitary, or equivalently, if
187:{\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}
156:{\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}
23:
4036:
3927:
3099:is the C*-algebra generated by
2946:is a representation, but not a
2389:is the C*-algebra generated by
2266:
1655:
1191:{\displaystyle \kappa (u_{ij})}
953:-dimensional representation of
34:needs additional citations for
4056:
4040:
3947:
3931:
3839:
3822:
3751:Introduction to Quantum Groups
3647:
3634:
3592:
3579:
3548:
3542:
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1047:
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292:
283:
277:
271:
268:
262:
1:
2103:acting on the Hilbert spaces
1459:Compact matrix quantum groups
217:compact matrix quantum groups
2045:{\displaystyle v,w\in C_{0}}
1562:is a matrix with entries in
1465:compact matrix quantum group
1318:{\displaystyle \delta _{ij}}
219:, which he initially called
2345:is a positive real number.
2161:is a unital C*-algebra and
1978:is the identity element of
1333:, and the unit is given by
608:{\displaystyle f,g\in C(G)}
4141:
1835:{\displaystyle v\in C_{0}}
864:can be used to generate a
801:{\displaystyle f\in C(G)}
455:{\displaystyle f\in C(G)}
640:{\displaystyle x,y\in G}
487:{\displaystyle x,y\in G}
133:, where the commutative
2181:(Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ
1986:is antimultiplicative,
1463:As a generalization, a
225:noncommutative geometry
129:are generalisations of
58:"Compact quantum group"
4082:
4007:
3973:
3876:
3697:
3660:
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2948:unitary representation
2936:
2788:
2679:
2594:
2341:, where the parameter
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2091:Compact quantum groups
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1836:
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1289:
1260:
1192:
1143:
1142:{\displaystyle u_{ij}}
1115:. It follows that the
1096:
999:
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827:{\displaystyle x\in G}
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127:compact quantum groups
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1467:is defined as a pair
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3749:Banica, Teo (2023).
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1483:is a C*-algebra and
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359:) — such that
250:
221:compact pseudogroups
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138:
43:improve this article
3807:is a square matrix
2309:
1329:), the antipode is
1288:{\displaystyle i,j}
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1549:
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3059:Second definition
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237:topological group
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4054:
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