2811:
3467:
2509:
3201:
4467:
1111:
among others. The argument relies on the existence of a parafermionic observable that satisfies half of the discrete Cauchy–Riemann equations for the hexagonal lattice. We modify slightly the definition of a self-avoiding walk by having it start and end on mid-edges between vertices. Let H be the set
2103:. This lemma establishes that the parafermionic observable is divergence-free. It has not been shown to be curl-free, but this would solve several open problems (see conjectures). The proof of this lemma is a clever computation that relies heavily on the geometry of the hexagonal lattice.
2806:{\displaystyle A_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T,L}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T,L}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.}
4741:
3462:{\displaystyle A_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \alpha \setminus \{a\}}x^{\ell (\gamma )},\quad B_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \beta }x^{\ell (\gamma )},\quad E_{T}^{x}:=\sum _{\gamma \in S_{T}:a\to \epsilon \cup {\bar {\epsilon }}}x^{\ell (\gamma )}.}
2389:
4231:
1793:
1421:
3137:
1107:) models using renormalization techniques. The rigorous proof of this fact came from a program of applying tools from complex analysis to discrete probabilistic models that has also produced impressive results about the
51:), it is nonetheless an important quantity that appears in conjectures for universal laws. Furthermore, the mathematical techniques used to understand the connective constant, for example in the recent rigorous proof by
3763:
4154:
1042:
93:, may provide clues to a possible approach for attacking other important open problems in the study of self-avoiding walks, notably the conjecture that self-avoiding walks converge in the scaling limit to the
3888:
2170:. (Picture needed.) We embed the hexagonal lattice in the complex plane so that the edge lengths are 1 and the mid-edge in the center of the left hand side is positioned at −1/2. Then the vertices in
3632:
268:
4579:
4223:
566:
411:
1856:
4574:
4462:{\displaystyle Z(x)\leq \sum _{T_{-I}<\cdots <T_{-1},\;T_{0}>\cdots >T_{j}}2\left(\prod _{k=-I}^{j}B_{T_{k}}^{x}\right)=2\left(\prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})\right)^{2}<\infty .}
3928:
2046:
3933:
For the reverse inequality, for an arbitrary self avoiding walk on the honeycomb lattice, we perform a canonical decomposition due to
Hammersley and Welsh of the walk into bridges of widths
2927:
2209:
1545:
4510:
1585:
1101:
3983:
4029:
4954:
91:
202:
640:
2501:
3521:
1675:
1241:
1199:
5210:
Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2004). "On the scaling limit of planar self-avoiding walk". In
Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (eds.).
5155:
3805:
863:
505:
3166:
796:
4861:
1890:
703:
2972:
2168:
1490:
1457:
901:
774:
738:
603:
2472:
832:
4775:
2432:
2201:
2137:
1930:
1668:
1608:
1261:
1130:
903:
lattice, since each step on the hexagonal lattice corresponds to either two or three steps in it, can be expressed exactly as the largest real root of the polynomial
668:
471:
2452:
4823:
3193:
2081:
315:
130:
4795:
1309:
431:
355:
335:
288:
2980:
2412:
2101:
1910:
1648:
1628:
1301:
1281:
1170:
1150:
451:
870:
These values are taken from the 1998 Jensen–Guttmann paper and a more recent paper by
Jacobsen, Scullard and Guttmann. The connective constant of the
3644:
4037:
5212:
Fractal
Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot, Part 2: Multifractals, Probability and Statistical Mechanics, Applications
4901:
909:
3810:
5245:
3529:
1047:
given the exact expression for the hexagonal lattice connective constant. More information about these lattices can be found in the
2974:
and noting that the winding is fixed depending on which part of the boundary the path terminates at, we can arrive at the relation
211:
4736:{\displaystyle \langle |\gamma (n)|^{2}\rangle ={\frac {1}{c_{n}}}\sum _{n\;\mathrm {step\;SAW} }|\gamma (n)|^{2}=n^{2\nu +o(1)}}
44:
4162:
4826:
94:
2384:{\displaystyle V(S_{T,L})=\{z\in V(\mathbb {H} ):0\leq Re(z)\leq {\frac {3T+1}{2}},\;|{\sqrt {3}}Im(z)-Re(z)|\leq 3L\}.}
531:
360:
1800:
4527:
3893:
1938:
2822:
1495:
5309:
4475:
1550:
1066:
4825:
could be computed if the self-avoiding walk possesses a conformally invariant scaling limit, conjectured to be a
4521:
3936:
3988:
4925:
62:
5127:
Smirnov, Stanislav (2014). "The critical fugacity for surface adsorption of SAW on the honeycomb lattice is
151:
5045:
Jesper Lykke
Jacobsen, Christian R Scullard and Anthony J Guttmann, 2016 J. Phys. A: Math. Theor. 49 494004
290:
is called the connective constant, and clearly depends on the particular lattice chosen for the walk since
1788:{\displaystyle F(z)=\sum _{\gamma \subset \Omega :a\to z}e^{-i\sigma W_{\gamma }(a,z)}x^{\ell (\gamma )}.}
5285:
4922:
Duminil-Copin, Hugo; Smirnov, Stanislav (2010). "The connective constant of the honeycomb lattice equals
616:
4872:
2477:
1103:
for the hexagonal lattice. This had been conjectured by
Nienhuis in 1982 as part of a larger study of O(
1048:
473:, which is believed to be universal and dependent on the dimension of the lattice, is conjectured to be
48:
3475:
1204:
5225:
5176:
5109:
5068:
5020:
1175:
5130:
3771:
2139:
with 2L cells forming the left hand side, T cells across, and upper and lower sides at an angle of
839:
646:
476:
40:
28:
3145:
781:
5259:
5215:
5192:
5166:
5099:
4957:
4832:
1861:
679:
52:
36:
2935:
2142:
1462:
1429:
873:
746:
714:
579:
2457:
804:
5282:
5241:
4897:
4746:
1060:
572:
205:
56:
4225:. Finally, it is possible to bound the partition function by the bridge partition functions
2417:
2173:
2109:
1915:
1653:
1593:
1416:{\displaystyle Z(x)=\sum _{\gamma :a\to H}x^{\ell (\gamma )}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}
1246:
1115:
653:
456:
5233:
5184:
5076:
5028:
5005:
4986:
2437:
5255:
4800:
3171:
2054:
293:
108:
5251:
4780:
3132:{\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}+\cos(\pi /4)E_{T,L}^{x_{c}}}
416:
340:
320:
273:
32:
136:-step self-avoiding walks starting from a fixed origin point in the lattice. Since every
5229:
5180:
5113:
5072:
5024:
43:
models. While the connective constant depends on the choice of lattice so itself is not
2397:
2086:
1895:
1633:
1613:
1286:
1266:
1155:
1135:
609:
436:
5032:
4990:
5303:
4977:
Vöge, Markus; Guttmann, Anthony J. (2003). "On the number of hexagonal polyominoes".
5263:
5237:
5196:
5096:
Proceedings of the
International Congress of Mathematicians (Hyderabad, India) 2010
5006:"Self-avoiding walks, neighbor-avoiding walks and trails on semi-regular lattices"
5080:
1108:
20:
5214:. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 72. pp. 339–364.
5188:
5290:
5055:
Nienhuis, Bernard (1982). "Exact critical point and critical exponents of O(
3758:{\displaystyle A_{T+1}^{x_{c}}-A_{T}^{x_{c}}\leq x_{c}(B_{T+1}^{x_{c}})^{2}}
59:
that the connective constant of the hexagonal lattice has the precise value
148:-step self-avoiding walk and an m-step self-avoiding walk, it follows that
4149:{\displaystyle B_{T}^{x}\leq (x/x_{c})^{T}B_{T}^{x_{c}}\leq (x/x_{c})^{T}}
514:
337:
is precisely known only for two lattices, see below. For other lattices,
5094:
Smirnov, Stanislav (2010). "Discrete
Complex Analysis and Probability".
3523:, but we do not need this for the proof. We are left with the relation
2394:
We now define partition functions for self-avoiding walks starting at
1037:{\displaystyle x^{12}-4x^{8}-8x^{7}-4x^{6}+2x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+2}
5220:
1112:
of all mid-edges of the hexagonal lattice. For a self-avoiding walk
5171:
5104:
4962:
453:, the critical amplitude, depend on the lattice, and the exponent
3883:{\displaystyle Z(x_{c})\geq \sum _{T>0}B_{T}^{x_{c}}=\infty }
3768:
And arrive by induction at a strictly positive lower bound for
1303:. The aim of the proof is to show that the partition function
357:
has only been approximated numerically. It is conjectured that
3627:{\displaystyle 1=\cos(3\pi /8)A_{T,L}^{x_{c}}+B_{T,L}^{x_{c}}}
47:(similarly to other lattice-dependent quantities such as the
263:{\displaystyle \mu =\lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}^{1/n}}
4520:
Nienhuis argued in favor of Flory's prediction that the
4218:{\displaystyle \prod _{T>0}(1+B_{T}^{x})<\infty }
1243:
as the total rotation of the direction in radians when
5133:
4928:
4835:
4803:
4783:
4749:
4582:
4530:
4478:
4234:
4165:
4040:
3991:
3939:
3896:
3813:
3774:
3647:
3532:
3478:
3204:
3174:
3148:
2983:
2938:
2825:
2512:
2480:
2460:
2440:
2420:
2400:
2212:
2176:
2145:
2112:
2089:
2057:
1941:
1918:
1898:
1864:
1803:
1678:
1656:
1636:
1616:
1596:
1553:
1498:
1465:
1432:
1312:
1289:
1269:
1249:
1207:
1201:
to be the number of vertices visited and its winding
1178:
1158:
1138:
1118:
1069:
912:
876:
842:
807:
784:
749:
717:
682:
656:
619:
582:
534:
479:
459:
439:
419:
363:
343:
323:
296:
276:
214:
154:
111:
65:
1063:
published the first rigorous proof of the fact that
105:
The connective constant is defined as follows. Let
2414:and ending on different parts of the boundary. Let
5149:
4948:
4855:
4817:
4789:
4769:
4735:
4568:
4504:
4461:
4217:
4148:
4023:
3977:
3922:
3882:
3799:
3757:
3626:
3515:
3461:
3187:
3160:
3131:
2966:
2921:
2805:
2495:
2466:
2446:
2426:
2406:
2383:
2195:
2162:
2131:
2095:
2075:
2040:
1924:
1904:
1884:
1850:
1787:
1662:
1642:
1622:
1602:
1579:
1539:
1484:
1451:
1415:
1295:
1275:
1255:
1235:
1193:
1164:
1144:
1124:
1095:
1036:
895:
857:
826:
790:
768:
732:
697:
662:
634:
597:
561:{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\simeq 1.85}
560:
499:
465:
445:
425:
406:{\displaystyle c_{n}\approx \mu ^{n}n^{\gamma -1}}
405:
349:
329:
309:
282:
262:
208:to the logarithm of the above relation, the limit
196:
144:step self avoiding walk can be decomposed into an
124:
85:
1851:{\displaystyle x=x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
35:. It is studied in connection with the notion of
4569:{\displaystyle \langle |\gamma (n)|^{2}\rangle }
3923:{\displaystyle \mu \geq {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
2041:{\displaystyle (p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0,}
222:
2922:{\displaystyle (p-v)F(p)+(q-v)F(q)+(r-v)F(r)=0}
1540:{\displaystyle x_{c}=1/{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
2106:Next, we focus on a finite trapezoidal domain
1610:in the hexagonal lattice, a starting mid-edge
49:critical probability threshold for percolation
8:
4615:
4583:
4563:
4531:
4505:{\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
3265:
3259:
2585:
2579:
2375:
2241:
1580:{\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
1096:{\displaystyle \mu ={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
3978:{\displaystyle T_{-I}<\cdots <T_{-1}}
4660:
4646:
4293:
3142:after another clever computation. Letting
2315:
5219:
5170:
5140:
5132:
5103:
4961:
4937:
4929:
4927:
4845:
4834:
4807:
4802:
4782:
4759:
4748:
4709:
4696:
4691:
4673:
4647:
4642:
4630:
4621:
4609:
4604:
4586:
4581:
4557:
4552:
4534:
4529:
4493:
4485:
4477:
4444:
4430:
4425:
4400:
4373:
4366:
4361:
4351:
4337:
4317:
4298:
4281:
4259:
4254:
4233:
4200:
4195:
4170:
4164:
4140:
4130:
4121:
4104:
4099:
4094:
4084:
4074:
4065:
4050:
4045:
4039:
4024:{\displaystyle T_{0}>\cdots >T_{j}}
4015:
3996:
3990:
3966:
3944:
3938:
3911:
3903:
3895:
3866:
3861:
3856:
3840:
3824:
3812:
3789:
3784:
3779:
3773:
3749:
3737:
3732:
3721:
3708:
3693:
3688:
3683:
3668:
3663:
3652:
3646:
3616:
3611:
3600:
3585:
3580:
3569:
3554:
3531:
3499:
3494:
3483:
3477:
3441:
3424:
3423:
3402:
3391:
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3350:
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3315:
3302:
3297:
3274:
3238:
3227:
3214:
3209:
3203:
3179:
3173:
3147:
3121:
3116:
3105:
3090:
3067:
3062:
3051:
3036:
3031:
3020:
3005:
2982:
2949:
2937:
2824:
2785:
2768:
2767:
2740:
2729:
2716:
2705:
2682:
2652:
2641:
2628:
2617:
2594:
2552:
2541:
2528:
2517:
2511:
2482:
2481:
2479:
2459:
2439:
2419:
2399:
2361:
2321:
2316:
2291:
2257:
2256:
2223:
2211:
2181:
2175:
2152:
2144:
2117:
2111:
2088:
2056:
1940:
1917:
1897:
1874:
1863:
1839:
1831:
1826:
1814:
1802:
1767:
1740:
1726:
1698:
1677:
1670:, we define the parafermionic observable
1655:
1635:
1615:
1595:
1568:
1560:
1552:
1528:
1520:
1515:
1503:
1497:
1492:where the critical parameter is given by
1476:
1464:
1443:
1431:
1407:
1397:
1387:
1376:
1354:
1332:
1311:
1288:
1268:
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1177:
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748:
716:
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533:
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178:
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116:
110:
74:
66:
64:
5286:"Self-Avoiding Walk Connective Constant"
3638:From here, we can derive the inequality
27:is a numerical quantity associated with
4949:{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
4884:
3256:
2576:
86:{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
5159:Communications in Mathematical Physics
197:{\displaystyle c_{n+m}\leq c_{n}c_{m}}
4917:
4915:
4913:
7:
5004:Jensen, I.; Guttmann, A. J. (1998).
635:{\displaystyle 2.63815853032790(3)}
270:can be shown to exist. This number
4667:
4664:
4661:
4657:
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4648:
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3155:
2496:{\displaystyle {\bar {\epsilon }}}
1919:
1705:
1597:
1388:
232:
14:
4524:of the self-avoiding random walk
3516:{\displaystyle E_{T,L}^{x_{c}}=0}
2083:are the mid-edges emanating from
1547:. This immediately implies that
1236:{\displaystyle W_{\gamma }(a,b)}
1059:In 2010, Hugo Duminil-Copin and
4576:satisfies the scaling relation
3368:
3292:
2700:
2612:
2434:denote the left hand boundary,
4892:Madras, N.; Slade, G. (1996).
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1:
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5059:) models in two dimensions".
4991:10.1016/S0304-3975(03)00229-9
3800:{\displaystyle B_{T}^{x_{c}}}
858:{\displaystyle 1.80883001(6)}
500:{\displaystyle \gamma =43/32}
413:as n goes to infinity, where
4979:Theoretical Computer Science
3161:{\displaystyle L\to \infty }
791:{\displaystyle 1.7110412...}
5238:10.1090/pspum/072.2/2112127
5081:10.1103/PhysRevLett.49.1062
5033:10.1088/0305-4470/31/40/008
4856:{\displaystyle \kappa =8/3}
4797:and the universal constant
3890:, we have established that
1885:{\displaystyle \sigma =5/8}
1055:Duminil-Copin–Smirnov proof
698:{\displaystyle 1.733535(3)}
5326:
2967:{\displaystyle V(S_{T,L})}
2163:{\displaystyle \pm \pi /3}
1485:{\displaystyle x>x_{c}}
1452:{\displaystyle x<x_{c}}
896:{\displaystyle (3.12^{2})}
769:{\displaystyle (3.12^{2})}
733:{\displaystyle 1.5657(15)}
598:{\displaystyle 4.15079(4)}
5189:10.1007/s00220-014-1896-1
4827:Schramm–Loewner evolution
4522:mean squared displacement
4031:. Note that we can bound
2467:{\displaystyle \epsilon }
2454:the right hand boundary,
827:{\displaystyle (4.8^{2})}
520:
517:
95:Schramm–Loewner evolution
4770:{\displaystyle \nu =3/4}
3472:It was later shown that
3195:and partition functions
3168:, we get a strip domain
2816:By summing the identity
2503:the lower boundary. Let
2474:the upper boundary, and
5061:Physical Review Letters
4777:. The scaling exponent
2427:{\displaystyle \alpha }
2196:{\displaystyle S_{T,L}}
2132:{\displaystyle S_{T,L}}
1925:{\displaystyle \Omega }
1663:{\displaystyle \sigma }
1603:{\displaystyle \Omega }
1256:{\displaystyle \gamma }
1125:{\displaystyle \gamma }
663:{\displaystyle 2.56062}
466:{\displaystyle \gamma }
5151:
4950:
4894:The Self-Avoiding Walk
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1892:, then for any vertex
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4472:And so, we have that
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2932:over all vertices in
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132:denote the number of
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88:
5131:
5098:. pp. 565–621.
5013:Journal of Physics A
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317:does. The value of
259:
204:. Then by applying
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39:in two-dimensional
29:self-avoiding walks
25:connective constant
5283:Weisstein, Eric W.
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