Confluent hypergeometric function

31: 9480: 9030: 9944: 9475:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}} 8207: 9513: 6244: 30: 6620: 5594: 8599: 3333: 4478: 7918: 10156:. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 504. 9939:{\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}} 5919: 4256: 9005: 8854: 1771: 6444: 5012: 6460: 3585: 1306: 4027: 5295: 2738: 8413: 3130: 557: 3444: 7049: 4281: 4718: 3796: 8202:{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).} 8359: 2898: 1449: 6239:{\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}} 3051: 2572: 7411: 7692: 313: 2245: 915: 2333: 7239: 6900: 4080: 8860: 8709: 5898: 3660: 3119: 1556: 703: 9035: 5924: 5300: 6264: 34:

Plot of the Kummer confluent hypergeometric function 1F1(a;b;z) with a=1 and b=2 and input z² with 1F1(1,2,z²) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1

6615:{\displaystyle \operatorname {M} \left(a;\,b;\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot \operatorname {L_{-a}^{b-1}} \left(z\right)} 4854: 4792: 3466: 7795: 5791: 1021: 3850: 7867: 5589:{\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}} 194:

The Kummer functions, Whittaker functions, and Coulomb wave functions are essentially the same, and differ from each other only by elementary functions and change of variables.

8594:{\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).} 7476: 2588: 1010: 6798: 3328:{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0} 10283: 7527: 7288: 6743: 6695: 2753:

Thus Confluent Hypergeometric Functions can be used to solve "most" second-order ordinary differential equations whose variable coefficients are all linear functions of

605: 395: 3344: 7142: 7091: 6911: 4473:{\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds} 4594: 8222: 10491: 10223: 2763: 1323: 3677: 2931: 2449: 7301: 10436: 10407: 10232: 10161: 4056: 3686: 7538: 794: 208: 54: 5168:

There are many relations between Kummer functions for various arguments and their derivatives. This section gives a few typical examples.

2140: 797:

as the singular point at 1 is moved towards the singular point at ∞, the confluent hypergeometric function can be given as a limit of the

806: 2582:

Confluent Hypergeometric Functions can be used to solve the Extended Confluent Hypergeometric Equation whose general form is given as:

10026: 4251:{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)} 2260: 7151: 6804: 920:

and many of the properties of the confluent hypergeometric function are limiting cases of properties of the hypergeometric function.

10486: 9000:{\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)} 8849:{\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)} 4795: 382: 1766:{\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).} 7098: 5797: 3596: 3070: 8651: 6439:{\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}} 162:, is another solution to Kummer's equation. This is also known as the confluent hypergeometric function of the second kind. 10206: 9504: 611: 10068: 5007:{\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)} 3590:

Note that the square root may give an imaginary or complex number. If it is zero, another solution must be used, namely

10196: 10201: 8645: 6622: 5268:

can be written as a linear combination of any two of its contiguous functions, with rational coefficients in terms of

3580:{\displaystyle a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.} 4726: 110:. This is also known as the confluent hypergeometric function of the first kind. There is a different and unrelated 10496: 1301:{\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(b-z)\left-az^{1-b}v=0} 10402:. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (in Italian). Vol. 1. Rome: Edizioni cremonese. 10344: 10092:

Frank, Evelyn (1956). "A new class of continued fraction expansions for the ratios of hypergeometric functions".

8635: 7700: 5708: 4022:{\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.} 1804: 2750:

or when the summation involves just one term, it reduces to the conventional Confluent Hypergeometric Equation.

73:

is Latin for "to flow together". There are several common standard forms of confluent hypergeometric functions:

9974:

Campos, L.M.B.C. (2001). "On Some Solutions of the Extended Confluent Hypergeometric Differential Equation".

8689: 6644:

is a non-positive integer, but the right-hand side is still a solution of the corresponding Kummer equation:

2757:, because they can be transformed to the Extended Confluent Hypergeometric Equation. Consider the equation: 798: 171: 45: 10464: 7800: 5910: 2904: 58: 2733:{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0} 10470: 10151: 8607: 182: 62: 7875: 7418: 955: 9983: 9950: 8640: 8625: 8617: 6255: 4810: 2346: 333: 111: 6749: 5652:

Repeatedly applying these relations gives a linear relation between any three functions of the form

10274: 8630: 8612: 6637: 6632:

Functions that can be expressed as special cases of the confluent hypergeometric function include:

4799: 2118:

In those cases a second solution exists of the following form and is valid for any real or complex

787: 552:{\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),} 3439:{\displaystyle \exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),} 10386: 10308: 10109: 8661: 7482: 166: 7246: 6701: 6653: 568: 17: 10432: 10403: 10370: 10300: 10250: 10228: 10218: 10183: 10167: 10157: 10139: 10022: 8392: 7106: 7055: 4578: 4072: 4060: 1527: 924: 764: 139: 10426: 10278: 1507:

is not an integer less than 1. We can also use the Tricomi confluent hypergeometric function

10360: 10320: 10292: 10101: 9991: 8656: 7044:{\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}} 709: 10417: 10382: 10336: 10266: 10242: 10179: 10121: 10003: 10413: 10378: 10332: 10262: 10238: 10175: 10117: 9999: 7906: 7892: 7888: 7880: 4574: 4273: 3802: 1785: 923:

Since Kummer's equation is second order there must be another, independent, solution. The

741: 10054:

in the right half-plane but this is immaterial, as the term is negligible there or else

9987: 10325: 10254: 8401: 10105: 9995: 4713:{\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),} 786:

is a non-positive integer, then Kummer's function (if it is defined) is a generalized

10480: 10390: 10312: 8621: 7884: 10043: 10143: 10046:, where a full asymptotic series is given. They switch the sign of the exponent in 8214: 928: 99: 10153:

Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables

10147: 8354:{\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),} 69:

refers to the merging of singular points of families of differential equations;

39: 2893:{\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0} 9487: 4573:, then making a change of variables in the integral followed by expanding the 4549: 10374: 10304: 10296: 1444:{\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-b-z){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.} 778:

yield solutions that can be expressed in terms of other known functions. See

4798:

with 1 as leading term, which generally converges nowhere, but exists as a

3046:{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0} 2567:{\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}} 2069:

can be used as a second solution if it exists and is different. But when

7406:{\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)} 5289:

relations, given by identifying any two lines on the right hand side of

10365: 10348: 10113: 5063:

goes to negative infinity, whereas the second term is not needed when

3791:{\displaystyle zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.} 7687:{\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}} 308:{\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0,} 10221:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), 10187: 2240:{\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}} 910:{\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)} 10428:

An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator

10042:

This is derived from Abramowitz and Stegun (see reference below),

2073:

is an integer greater than 1, this solution doesn't exist, and if

29: 6447: 5702:

Kummer's functions are also related by Kummer's transformations:

5082:

There is always some solution to Kummer's equation asymptotic to

10171: 6250:

Connection with Laguerre polynomials and similar representations

2328:{\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.} 7234:{\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)} 6895:{\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du} 4511:

If a solution to Kummer's equation is asymptotic to a power of

1863:

for some examples where it is an entire function (polynomial).

927:

of the method of Frobenius tells us that the lowest power of a

1780:, it has the advantage that it can be extended to any integer 793:

Just as the confluent differential equation is a limit of the

7148:

is a multiple of a generalized Laguerre polynomial, equal to

1550:. It is a combination of the above two solutions, defined by 10279:"De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis" 10257:; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953). 10458: 10261:. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 10214: 9949:

and that this continued fraction converges uniformly to a

6258:, Kummer's functions have several expansions, for example 4577:

and integrating it formally term by term gives rise to an

5893:{\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)} 3655:{\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),} 3124:

and multiply the equation by the same factor, obtaining:

4261:

The integral defines a solution in the right half-plane

3805:

can be solved using confluent hypergeometric functions.

9897: 9836: 9822: 9755: 9741: 9680: 9666: 9617: 9603: 9591: 4838:

The asymptotic behavior of Kummer's solution for large

3114:{\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z} 9957:

in every bounded domain that does not include a pole.

9900: 9839: 9825: 9758: 9744: 9683: 9669: 9620: 9606: 9594: 9433: 9415: 9400: 9249: 9231: 9216: 9154: 8960: 8926: 8901: 8809: 8775: 8750: 8556: 8541: 8181: 8136: 8086: 8036: 8021: 7306: 7294:

is a positive integer is a closed form with powers of

7156: 3748: 3615: 9841: 9760: 9685: 9622: 9516: 9033: 8863: 8712: 8416: 8225: 7921: 7803: 7703: 7541: 7485: 7421: 7304: 7249: 7154: 7109: 7058: 6914: 6807: 6752: 6704: 6656: 6463: 6267: 5922: 5800: 5711: 5298: 5075:

is a not a non-positive integer and the real part of

4857: 4729: 4597: 4559:

can be deduced from the integral representations. If

4483:

where the contour passes to one side of the poles of

4284: 4083: 3853: 3689: 3599: 3469: 3347: 3133: 3073: 2934: 2766: 2591: 2452: 2263: 2143: 1559: 1326: 1024: 958: 809: 614: 571: 398: 211: 10069:"Aspects of Multivariate Statistical Theory | Wiley" 1784:

by continuity. Unlike Kummer's function which is an

698:{\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,} 8692:that can be expressed in terms of Kummer functions 5059:is not a non-positive integer and the real part of 10324: 9938: 9474: 8999: 8848: 8593: 8353: 8201: 7861: 7789: 7686: 7521: 7470: 7405: 7282: 7233: 7136: 7085: 7043: 6894: 6792: 6737: 6689: 6614: 6438: 6238: 5892: 5785: 5588: 5006: 4786: 4712: 4529:. This is in fact the case for Tricomi's solution 4472: 4250: 4021: 3790: 3654: 3579: 3438: 3327: 3113: 3045: 2892: 2732: 2566: 2327: 2239: 1776:Although this expression is undefined for integer 1765: 1443: 1300: 1004: 909: 740:with the other two held constant, this defines an 697: 599: 551: 307: 10461:in NIST Digital Library of Mathematical Functions 1892:to Kummer's equation is the same as the solution 9976:Journal of Computational and Applied Mathematics 1912: 838: 10284:Journal für die reine und angewandte Mathematik 9021:not necessarily an integer) can be expressed as 8213:This identity is sometimes also referred to as 931:solution to the Kummer equation is either 0 or 767:except for poles at the non-positive integers. 712:. Another common notation for this solution is 27:Solution of a confluent hypergeometric equation 10425:Oldham, K.B.; Myland, J.; Spanier, J. (2010). 4787:{\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)} 10331:. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 6640:where the left-hand side is not defined when 5095:. Usually this will be a combination of both 118:Tricomi's (confluent hypergeometric) function 8: 9486:In the second formula the function's second 78:Kummer's (confluent hypergeometric) function 10349:"Sulle funzioni ipergeometriche confluenti" 7790:{\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b} 5786:{\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)} 10058:is an integer and the sign doesn't matter. 10017:Andrews, G.E.; Askey, R.; Roy, R. (2001). 1987:doesn't exist, then we may be able to use 1484:is not an integer greater than 1, just as 10364: 9901: 9842: 9840: 9833: 9826: 9761: 9759: 9752: 9745: 9686: 9684: 9677: 9670: 9623: 9621: 9614: 9607: 9595: 9588: 9517: 9515: 9453: 9439: 9432: 9414: 9399: 9378: 9374: 9363: 9329: 9318: 9269: 9255: 9248: 9230: 9215: 9201: 9191: 9189: 9153: 9136: 9132: 9121: 9105: 9088: 9072: 9034: 9032: 8959: 8925: 8918: 8900: 8896: 8868: 8862: 8808: 8774: 8767: 8749: 8745: 8717: 8711: 8577: 8555: 8540: 8529: 8519: 8517: 8496: 8479: 8471: 8461: 8456: 8440: 8417: 8415: 8337: 8321: 8311: 8291: 8287: 8266: 8262: 8256: 8224: 8180: 8166: 8156: 8135: 8105: 8101: 8085: 8070: 8066: 8042: 8035: 8020: 8000: 7990: 7988: 7986: 7976: 7972: 7935: 7925: 7923: 7920: 7850: 7802: 7779: 7702: 7678: 7669: 7648: 7591: 7576: 7540: 7484: 7459: 7420: 7355: 7305: 7303: 7248: 7155: 7153: 7108: 7057: 7035: 7019: 6968: 6915: 6913: 6877: 6864: 6854: 6849: 6839: 6806: 6784: 6751: 6703: 6655: 6585: 6577: 6572: 6500: 6488: 6481: 6462: 6430: 6399: 6394: 6376: 6360: 6354: 6348: 6335: 6288: 6266: 6174: 6159: 6145: 6133: 6117: 6092: 6028: 6018: 5999: 5987: 5962: 5923: 5921: 5832: 5799: 5749: 5743: 5710: 5565: 5332: 5306: 5299: 5297: 4967: 4951: 4919: 4909: 4902: 4856: 4773: 4743: 4733: 4728: 4692: 4685: 4650: 4640: 4639: 4629: 4596: 4458: 4386: 4377: 4366: 4330: 4312: 4283: 4213: 4195: 4167: 4151: 4141: 4136: 4111: 4082: 4009: 3991: 3963: 3950: 3940: 3935: 3881: 3852: 3747: 3688: 3614: 3598: 3543: 3533: 3520: 3497: 3487: 3468: 3406: 3383: 3373: 3346: 3290: 3280: 3259: 3249: 3221: 3195: 3185: 3162: 3144: 3137: 3132: 3090: 3080: 3072: 2993: 2963: 2945: 2938: 2933: 2840: 2810: 2792: 2785: 2765: 2710: 2700: 2690: 2679: 2647: 2620: 2602: 2595: 2590: 2558: 2548: 2538: 2527: 2457: 2451: 2314: 2308: 2295: 2276: 2268: 2262: 2231: 2221: 2211: 2200: 2184: 2142: 1918:For most combinations of real or complex 1706: 1664: 1587: 1558: 1388: 1355: 1337: 1330: 1325: 1277: 1250: 1208: 1196: 1157: 1112: 1100: 1066: 1048: 1041: 1029: 1023: 978: 957: 896: 866: 856: 854: 841: 808: 691: 619: 613: 576: 570: 519: 509: 507: 482: 470: 454: 447: 441: 430: 397: 267: 240: 222: 215: 210: 7533:is a Bessel polynomial (see lower down). 3460:is a solution to Kummer's equation with 2379:is an integer less than 1. In this case 10259:Higher transcendental functions. Vol. I 10224:NIST Handbook of Mathematical Functions 9966: 8369:is a non-positive integer, this equals 3678:confluent hypergeometric limit function 2443:A second solution is then of the form: 1531: 143: 10353:Annali di Matematica Pura ed Applicata 5679:(and their higher derivatives), where 4491:and to the other side of the poles of 386: 103: 1015:then the differential equation gives 202:Kummer's equation may be written as: 7: 7862:{\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.} 5037:. The first term is not needed when 2080:then it exists but is a multiple of 2021:is not a non-positive integer, then 795:hypergeometric differential equation 377:Kummer's function of the first kind 55:hypergeometric differential equation 10400:Funzioni ipergeometriche confluenti 10215:"Confluent hypergeometric function" 10197:"Confluent hypergeometric function" 9503:By applying a limiting argument to 7895:. For example, in the special case 7883:and many related functions such as 325:and an irregular singular point at 10459:Confluent Hypergeometric Functions 10327:Confluent hypergeometric functions 9499:Application to continued fractions 9490:can be chosen by multiplying with 9288: 9146: 9038: 8620:and related functions such as the 8424: 8421: 8418: 8121: 7329: 7309: 7179: 7159: 6997: 6944: 6855: 6586: 6581: 6574: 6544: 6528: 6503: 6464: 4978: 4933: 4885: 4424: 4404: 4389: 4381: 4373: 4347: 4333: 4142: 4117: 3910: 3898: 3884: 3844:can be represented as an integral 2925:, which converts the equation to: 2539: 2315: 2272: 2212: 1860: 1687: 1667: 1610: 1590: 848: 779: 442: 53:, which is a degenerate form of a 25: 10106:10.1090/S0002-9947-1956-0076937-0 8217:second transformation. Similarly 7471:{\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}} 4796:generalized hypergeometric series 383:generalized hypergeometric series 318:with a regular singular point at 51:confluent hypergeometric equation 10492:Special hypergeometric functions 5690:There are similar relations for 4272:They can also be represented as 3064:. Next we use the substitution: 2130:is a positive integer less than 1005:{\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)} 10471:Tricomi hypergeometric function 10213:Daalhuis, Adri B. Olde (2010), 7099:generalized Laguerre polynomial 4223: 3564: 108:Kummer's differential equation 18:Confluent hypergeometric series 10473:on the Wolfram Functions site 10465:Kummer hypergeometric function 10398:Tricomi, Francesco G. (1954). 10227:, Cambridge University Press, 10021:. Cambridge University Press. 9883: 9871: 9868: 9856: 9808: 9796: 9793: 9781: 9727: 9715: 9712: 9700: 9652: 9640: 9579: 9561: 9553: 9523: 8886: 8880: 8735: 8729: 8434: 8428: 8345: 8331: 8250: 8229: 7962: 7941: 7843: 7831: 7825: 7807: 7776: 7767: 7761: 7749: 7737: 7725: 7719: 7710: 7697:Using the contiguous relation 7666: 7641: 7629: 7611: 7588: 7569: 7563: 7545: 7516: 7489: 7449: 7425: 7400: 7370: 7344: 7332: 7324: 7312: 7277: 7253: 7228: 7210: 7200: 7182: 7174: 7162: 7131: 7113: 7080: 7062: 7006: 7000: 6992: 6974: 6959: 6947: 6939: 6921: 6829: 6811: 6793:{\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}} 6774: 6756: 6726: 6708: 6678: 6660: 6423: 6417: 6412: 6400: 6383: 6377: 6367: 6361: 6332: 6319: 6226: 6193: 6105: 6093: 6075: 6048: 6015: 6002: 5975: 5963: 5948: 5930: 5822: 5804: 5780: 5753: 5733: 5715: 5697: 5562: 5553: 5547: 5535: 5516: 5498: 5492: 5483: 5477: 5465: 5452: 5443: 5434: 5428: 5425: 5413: 5400: 5391: 5382: 5376: 5363: 5345: 4993: 4981: 4964: 4954: 4942: 4936: 4894: 4888: 4879: 4861: 4781: 4749: 4619: 4601: 4455: 4445: 4439: 4427: 4419: 4407: 4401: 4392: 4356: 4350: 4342: 4336: 4306: 4288: 4245: 4224: 4192: 4179: 4126: 4120: 4105: 4087: 3988: 3975: 3925: 3913: 3907: 3901: 3893: 3887: 3875: 3857: 3779: 3773: 3730: 3724: 3707: 3701: 3646: 3640: 3430: 3424: 3077: 3031: 3016: 2990: 2975: 2878: 2863: 2837: 2822: 2782: 2767: 2644: 2632: 2508: 2472: 2365:A similar problem occurs when 2292: 2282: 2254:= 0 we can alternatively use: 2165: 2147: 2017:is a non-positive integer and 1968:is a non-positive integer, so 1757: 1721: 1696: 1690: 1682: 1670: 1658: 1640: 1631: 1613: 1605: 1593: 1581: 1563: 1429: 1411: 1385: 1367: 1243: 1231: 1184: 1172: 1150: 1138: 1093: 1081: 999: 993: 968: 962: 904: 872: 845: 831: 813: 728:. Considered as a function of 688: 670: 664: 652: 649: 637: 626: 620: 583: 577: 543: 525: 489: 483: 461: 455: 420: 402: 264: 252: 1: 10467:on the Wolfram Functions site 9996:10.1016/s0377-0427(00)00706-8 5133:but can also be expressed as 2911:by using the substitution of 2013:as a second solution. But if 1534:), and sometimes denoted by 10202:Encyclopedia of Mathematics 8646:Parabolic cylinder function 7522:{\displaystyle U(-n,-2n,z)} 5079:goes to positive infinity. 10513: 9505:Gauss's continued fraction 7905:the function reduces to a 7283:{\displaystyle U(c-n,c,z)} 6906:is a non-positive integer) 6738:{\displaystyle U(0,c,z)=1} 6690:{\displaystyle M(0,b,z)=1} 4813:is also valid for complex 2375:is a negative integer and 600:{\displaystyle a^{(0)}=1,} 10355:. Series 4 (in Italian). 8652:Poisson–Charlier function 8636:Incomplete gamma function 7529:for non-negative integer 7144:for non-positive integer 7093:for non-positive integer 5230:are called contiguous to 5071:is finite, that is, when 4522:, then the power must be 3801:As noted below, even the 2122:and any positive integer 1807:at zero. For example, if 1503:is a solution so long as 1480:is a solution so long as 1317:and simplifying, becomes 1311:which, upon dividing out 10487:Hypergeometric functions 10297:10.1515/crll.1837.17.228 10195:Chistova, E.A. (2001) , 7137:{\displaystyle U(n,c,z)} 7086:{\displaystyle M(n,b,z)} 5049:is finite, that is when 4067:with positive real part 3809:Integral representations 2043:. In that case as well, 1964:are independent, and if 1913:#Kummer's transformation 197: 146:), sometimes denoted by 7413:when the latter exists. 7241:when the latter exists. 5911:multiplication theorems 5698:Kummer's transformation 5599:In the notation above, 4071:can be obtained by the 4057:characteristic function 1866:Note that the solution 799:hypergeometric function 332:. It has two (usually) 172:Edmund Taylor Whittaker 57:where two of the three 46:hypergeometric function 9940: 9476: 9001: 8850: 8595: 8355: 8203: 7863: 7791: 7688: 7523: 7472: 7407: 7284: 7235: 7138: 7087: 7045: 6896: 6794: 6739: 6691: 6616: 6440: 6240: 5905:Multiplication theorem 5894: 5787: 5590: 5008: 4788: 4714: 4474: 4252: 4023: 3792: 3656: 3581: 3440: 3329: 3115: 3047: 2905:regular singular point 2894: 2734: 2695: 2568: 2543: 2329: 2241: 2216: 1859:goes to zero. But see 1767: 1445: 1302: 1006: 911: 699: 601: 553: 446: 309: 183:Coulomb wave functions 114:bearing the same name. 35: 10431:. Springer New York. 10345:Tricomi, Francesco G. 9941: 9507:it can be shown that 9477: 9002: 8851: 8608:Coulomb wave function 8596: 8356: 8204: 7864: 7797:we get, for example, 7792: 7689: 7524: 7473: 7408: 7285: 7236: 7139: 7088: 7046: 6897: 6795: 6740: 6692: 6617: 6441: 6241: 5895: 5788: 5591: 5195:, the four functions 5009: 4789: 4715: 4475: 4253: 4024: 3793: 3657: 3582: 3441: 3330: 3116: 3048: 2895: 2735: 2675: 2569: 2523: 2330: 2242: 2196: 1768: 1528:Francesco Tricomi 1446: 1303: 1007: 912: 700: 602: 554: 426: 310: 188:Coulomb wave equation 186:are solutions to the 140:Francesco Tricomi 63:irregular singularity 59:regular singularities 33: 10275:Kummer, Ernst Eduard 10094:Trans. Am. Math. Soc 9951:meromorphic function 9514: 9031: 8861: 8710: 8690:Whittaker's equation 8641:Laguerre polynomials 8626:logarithmic integral 8618:Exponential integral 8613:Cunningham functions 8414: 8223: 7919: 7801: 7701: 7539: 7483: 7419: 7302: 7247: 7152: 7107: 7056: 6912: 6805: 6750: 6702: 6654: 6638:elementary functions 6461: 6265: 6256:Laguerre polynomials 5920: 5798: 5709: 5296: 5172:Contiguous relations 4855: 4811:asymptotic expansion 4727: 4595: 4581:expansion, valid as 4282: 4081: 3851: 3687: 3597: 3467: 3345: 3131: 3071: 2932: 2764: 2589: 2450: 2347:exponential integral 2261: 2141: 1557: 1324: 1022: 956: 807: 612: 569: 396: 334:linearly independent 209: 176:Whittaker's equation 174:) are solutions to 106:), is a solution to 9988:2001JCoAM.137..177C 9899: 9838: 9824: 9757: 9743: 9682: 9668: 9619: 9605: 9593: 8662:Whittaker functions 8648:(or Weber function) 8631:Hermite polynomials 8466: 8404:can be expressed as 6859: 6596: 6448:Erdélyi et al. 1953 6416: 4800:formal power series 4507:Asymptotic behavior 4385: 4146: 3945: 3056:with new values of 2398:doesn't exist, and 2281: 788:Laguerre polynomial 167:Whittaker functions 49:is a solution of a 10366:10.1007/bf02415375 10219:Olver, Frank W. 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