17:
2938:
25:
4298:
1980:
1695:
297:
2708:
3326:
832:
4049:
1162:
5111:
2229:
1706:
4923:
1477:
2932:
3085:
602:
105:
4616:
3839:
2492:
4754:
3096:
613:
4441:
4293:{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,}
3581:
1017:
5223:
3731:
3656:
1975:{\displaystyle \psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.}
2085:
1338:
24:
4934:
16:
2937:
2777:
1690:{\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.}
2788:
2946:
462:
920:
4042:
3895:
3382:
2413:
2342:
4765:
1398:
976:
2078:
1247:
292:{\displaystyle \left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,}
3979:
3937:
3466:
3424:
2025:
1440:
2484:
454:
2703:{\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}
3742:
3321:{\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.}
827:{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,}
343:
4483:
2267:
1194:
1005:
1469:
4475:
396:
4627:
3486:
376:
4318:
2456:
2436:
90:
1157:{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,}
3494:
3981:
are real and are called the regular and irregular
Coulomb wave functions. In particular one has the following partial wave expansion for the wave function
5519:
5125:
456:
is the energy of the particle. The solution, which is the
Coulomb wave function, can be found by solving this equation in parabolic coordinates
3662:
3587:
5372:
2224:{\displaystyle {\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.}
5106:{\displaystyle \int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.}
2027:
can be obtained by rewriting the laplacian in the
Coulomb wave equation in spherical coordinates and projecting the equation on a specific
1255:
2416:
923:
57:
2719:
5233:
2927:{\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,}
3080:{\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.}
597:{\displaystyle \xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.}
5274:
Jaeger, J. C.; Hulme, H. R. (1935), "The
Internal Conversion of Îł -Rays with the Production of Electrons and Positrons",
1400:
can be expanded into partial waves (i.e. with respect to the angular basis) to obtain angle-independent radial functions
840:
3984:
4918:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')}
45:
5247:
3847:
3334:
2347:
2276:
20:
Irregular
Coulomb wave function G plotted from 0 to 20 with repulsive and attractive interactions in Mathematica 13.1
5323:
2941:
Regular
Coulomb wave function F plotted from 0 to 20 with repulsive and attractive interactions in Mathematica 13.1
1351:
97:
929:
2033:
1207:
3942:
3900:
3429:
3387:
1988:
1403:
399:
93:
2461:
5117:
405:
4308:
The radial parts for a given angular momentum are orthonormal. When normalized on the wave number scale (
3834:{\displaystyle \theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.}
1700:
A single term of the expansion can be isolated by the scalar product with a specific spherical harmonic
607:
Depending on the boundary conditions chosen, the solution has different forms. Two of the solutions are
2234:
The solutions are also called
Coulomb (partial) wave functions or spherical Coulomb functions. Putting
2273:, so Coulomb wave functions can be expressed in terms of Whittaker functions with imaginary arguments
5283:
4611:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,}
305:
5426:
5307:
5229:
2270:
2028:
61:
2237:
1170:
981:
5368:
5299:
4749:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.}
4446:
Other common normalizations of continuum wave functions are on the reduced wave number scale (
1445:
346:
53:
4449:
381:
5436:
5360:
5291:
49:
5331:
4436:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')}
3471:
5327:
352:
5287:
5276:
Proceedings of the Royal
Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences
2441:
2421:
1008:
345:
is the product of the charges of the particle and of the field source (in units of the
75:
3576:{\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,}
5513:
5116:
The continuum (or scattering) Coulomb wave functions are also orthogonal to all
33:
5364:
5218:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0}
5500:
Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory
5485:
Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory
5417:
Gaspard, David (2018), "Connection formulas between
Coulomb wave functions",
5389:
Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory
5303:
4759:
The radial wave functions defined in the previous section are normalized to
1204:
its approach of the field source at the origin, respectively. The functions
5295:
5256:
3726:{\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,}
3651:{\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,}
2782:
is called the
Coulomb phase shift. One also defines the real functions
5440:
5311:
5354:
1333:{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.}
5431:
3897:
correspond to incoming and outgoing spherical waves. The solutions
2936:
23:
15:
72:
The Coulomb wave equation for a single charged particle of mass
5472:(in Czech) (2nd ed.), Prague: Academia, pp. 128–130
2772:{\displaystyle \sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )}
28:
image of complex plot of regular Coulomb wave function added
3331:
The asymptotic behavior of the spherical Coulomb functions
4312:-scale), the continuum radial wave functions satisfy
5128:
4937:
4768:
4630:
4486:
4452:
4321:
4052:
3987:
3945:
3903:
3850:
3745:
3665:
3590:
3497:
3474:
3432:
3390:
3337:
3099:
2949:
2791:
2722:
2495:
2464:
2444:
2424:
2350:
2279:
2240:
2088:
2036:
1991:
1709:
1480:
1448:
1406:
1354:
1258:
1210:
1173:
1020:
984:
932:
843:
616:
465:
408:
384:
355:
308:
108:
78:
915:{\displaystyle M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)}
5217:
5105:
4917:
4748:
4610:
4469:
4435:
4292:
4037:{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})}
4036:
3973:
3931:
3889:
3833:
3725:
3650:
3575:
3480:
3460:
3418:
3376:
3320:
3079:
2926:
2771:
2702:
2478:
2450:
2430:
2407:
2336:
2261:
2223:
2072:
2019:
1974:
1689:
1463:
1434:
1392:
1332:
1241:
1188:
1156:
999:
970:
914:
826:
596:
448:
390:
370:
337:
291:
84:
5356:Handbook of atomic, molecular and optical physics
880:
5502:(3rd ed.), Pergamon Press, pp. 668–669
3890:{\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}
3377:{\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}
2408:{\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}
2337:{\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}
2415:. The latter can be expressed in terms of the
5353:Hill, Robert N. (2006), Drake, Gordon (ed.),
8:
1393:{\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})}
1011:. The two boundary conditions used here are
48:. They are used to describe the behavior of
5487:(3rd ed.), Pergamon Press, p. 121
5391:(3rd ed.), Pergamon Press, p. 569
2269:changes the Coulomb wave equation into the
5255:, vol. 1, McGraw-Hill, archived from
971:{\displaystyle \eta =Zmc\alpha /(\hbar k)}
5430:
5197:
5175:
5156:
5148:
5138:
5133:
5127:
5099:
5081:
5080:
5065:
5064:
5052:
5027:
5009:
5008:
4988:
4987:
4985:
4967:
4966:
4957:
4946:
4945:
4936:
4884:
4873:
4857:
4842:
4815:
4796:
4788:
4778:
4773:
4767:
4742:
4704:
4677:
4658:
4650:
4640:
4635:
4629:
4604:
4560:
4533:
4514:
4506:
4496:
4491:
4485:
4456:
4451:
4395:
4368:
4349:
4341:
4331:
4326:
4320:
4286:
4272:
4271:
4259:
4254:
4236:
4235:
4226:
4221:
4196:
4184:
4176:
4166:
4156:
4142:
4132:
4121:
4102:
4085:
4084:
4069:
4058:
4057:
4051:
4020:
4019:
4004:
3993:
3992:
3986:
3950:
3944:
3908:
3902:
3860:
3855:
3849:
3827:
3821:
3798:
3750:
3744:
3719:
3704:
3670:
3664:
3644:
3629:
3595:
3589:
3569:
3552:
3541:
3507:
3502:
3496:
3473:
3437:
3431:
3395:
3389:
3347:
3342:
3336:
3314:
3248:
3232:
3197:
3165:
3155:
3145:
3135:
3128:
3104:
3098:
3073:
3041:
3036:
3002:
2997:
2978:
2954:
2948:
2920:
2888:
2883:
2849:
2844:
2820:
2796:
2790:
2727:
2721:
2696:
2627:
2611:
2599:
2588:
2574:
2567:
2557:
2505:
2500:
2494:
2472:
2471:
2463:
2443:
2423:
2377:
2355:
2349:
2306:
2284:
2278:
2239:
2217:
2205:
2188:
2162:
2144:
2121:
2106:
2096:
2089:
2087:
2073:{\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})}
2056:
2055:
2046:
2041:
2035:
1996:
1990:
1961:
1940:
1930:
1899:
1877:
1876:
1867:
1862:
1840:
1822:
1821:
1804:
1803:
1794:
1789:
1771:
1770:
1755:
1754:
1730:
1729:
1714:
1708:
1683:
1669:
1668:
1656:
1651:
1633:
1632:
1623:
1618:
1593:
1583:
1573:
1559:
1549:
1538:
1519:
1502:
1501:
1486:
1485:
1479:
1447:
1411:
1405:
1376:
1375:
1360:
1359:
1353:
1326:
1311:
1299:
1298:
1294:
1275:
1264:
1263:
1257:
1249:are related to each other by the formula
1242:{\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}}
1227:
1216:
1215:
1209:
1175:
1174:
1172:
1150:
1127:
1126:
1112:
1111:
1094:
1093:
1079:
1078:
1074:
1053:
1052:
1037:
1026:
1025:
1019:
983:
951:
931:
885:
874:
872:
842:
820:
806:
805:
791:
790:
735:
734:
720:
719:
715:
701:
691:
649:
648:
633:
622:
621:
615:
590:
579:
568:
567:
553:
552:
537:
536:
522:
521:
494:
493:
479:
478:
464:
429:
423:
413:
407:
383:
354:
329:
319:
307:
285:
271:
270:
255:
254:
233:
223:
216:
199:
198:
183:
182:
152:
133:
127:
121:
107:
77:
5498:Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977),
5483:Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977),
5387:Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977),
5359:, Springer New York, pp. 153–155,
5345:
1196:-oriented plane-wave asymptotic states
959:
410:
220:
158:
118:
5457:, North Holland Publ. Co., p. 426
5406:, North Holland Publ. Co., p. 485
4928:as a consequence of the normalization
3974:{\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}
3932:{\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}
3461:{\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}
3419:{\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}
2020:{\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}
1435:{\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}
5228:due to being eigenstates of the same
2486:, one defines the special solutions
2479:{\displaystyle \ell \in \mathbb {Z} }
1985:The equation for single partial wave
7:
449:{\displaystyle \hbar ^{2}k^{2}/(2m)}
5320:Confluent hypergeometric functions
5139:
4779:
4641:
4497:
4332:
4304:Properties of the Coulomb function
4133:
3170:
2742:
2417:confluent hypergeometric functions
1550:
1144:
985:
666:
130:
58:confluent hypergeometric functions
14:
924:confluent hypergeometric function
5520:Special hypergeometric functions
5470:Introduction to quantum theory I
5249:Higher transcendental functions
1894:
1107:
548:
508:
56:and can be written in terms of
5236:) with different eigenvalues.
5190:
5184:
5168:
5162:
5096:
5086:
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5402:Messiah, Albert (1961),
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