7007:
3418:
3408:
3398:
3454:
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3510:
3562:
3552:
7520:
122:
7400:
6463:
6421:
3388:
25:
3483:
3442:
3350:
6416:
6396:
3320:
7412:
6406:
6386:
6376:
3540:
261:
6483:
6473:
6453:
6432:
5132:
the table for three-dimensional crystal classes. The latter means, that enantiomorphic point groups describe chiral (enantiomorphic) structures. In the current table, "enantiomorphic" means that a group itself (considered as a geometric object) is enantiomorphic, like enantiomorphic pairs of three-dimensional space groups P3
5131:
The relation between four-dimensional crystal families, crystal systems, and lattice systems is shown in the following table. Enantiomorphic systems are marked with an asterisk. The number of enantiomorphic pairs is given in parentheses. Here the term "enantiomorphic" has a different meaning than in
3262:
There are seven different kinds of lattice systems, and each kind of lattice system has four different kinds of centerings (primitive, base-centered, body-centered, face-centered). However, not all of the combinations are unique; some of the combinations are equivalent while other combinations are
247:
that exist in three dimensions, most are assigned to only one lattice system, in which case both the crystal and lattice systems have the same name. However, five point groups are assigned to two lattice systems, rhombohedral and hexagonal, because both exhibit threefold rotational symmetry. These
256:
A crystal family is determined by lattices and point groups. It is formed by combining crystal systems that have space groups assigned to a common lattice system. In three dimensions, the hexagonal and trigonal crystal systems are combined into one hexagonal crystal family.
3706:
of the lattice itself, viewed as a collection of points; there are 14 Bravais lattices in three dimensions; each belongs to one lattice system only. They represent the maximum symmetry a structure with the given translational symmetry can have.
281:
Five of the crystal systems are essentially the same as five of the lattice systems. The hexagonal and trigonal crystal systems differ from the hexagonal and rhombohedral lattice systems. These are combined into the hexagonal crystal family.
161:
are classified into crystal systems according to their point groups, and into lattice systems according to their
Bravais lattices. Crystal systems that have space groups assigned to a common lattice system are combined into a
2738:
2641:
2551:
2201:
2100:
2010:
1680:
1578:
1488:
2389:
2297:
1920:
3229:. A polar axis can occur only in non-centrosymmetric structures. There cannot be a mirror plane or twofold axis perpendicular to the polar axis, because they would make the two directions of the axis equivalent.
3221:. A polar crystal possesses a unique polar axis (more precisely, all polar axes are parallel). Some geometrical or physical property is different at the two ends of this axis: for example, there might develop a
1123:
1037:
948:
7277:
7272:
2810:
3147:
2947:
2461:
1752:
1398:
1196:
7328:
3069:
3004:
2872:
1823:
1326:
1264:
863:
798:
730:
663:
3154:
The point symmetry of a structure can be further described as follows. Consider the points that make up the structure, and reflect them all through a single point, so that (
7450:
3186:. Still, even in the non-centrosymmetric case, the inverted structure can in some cases be rotated to align with the original structure. This is a non-centrosymmetric
207:
Crystals can be classified in three ways: lattice systems, crystal systems and crystal families. The various classifications are often confused: in particular the
7146:
7333:
7058:
6248:
7224:
6516:
6329:
550:
The 7 crystal systems consist of 32 crystal classes (corresponding to the 32 crystallographic point groups) as shown in the following table below:
3749:
Two dimensional space has the same number of crystal systems, crystal families, and lattice systems. In 2D space, there are four crystal systems:
2684:
2587:
2497:
2147:
7323:
7315:
2046:
1956:
1626:
1524:
1434:
2335:
2243:
1866:
7376:
7354:
6232:
6181:
6137:
7369:
7219:
6885:
6750:
6599:
1076:
990:
901:
6253:
7359:
7257:
6953:
6606:
3211:
if its two-directional senses are geometrically or physically different. A symmetry direction of a crystal that is polar is called a
7381:
7239:
7209:
7138:
108:
7091:
224:
3417:
3407:
3397:
7436:
7364:
7287:
7161:
6760:
42:
7121:
2771:
285:
The relation between three-dimensional crystal families, crystal systems and lattice systems is shown in the following table:
193:. Informally, two crystals are in the same crystal system if they have similar symmetries (though there are many exceptions).
7495:
7199:
3108:
2908:
2422:
1713:
1359:
231:
are grouped into seven lattice systems: triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, rhombohedral, hexagonal, and cubic.
89:
46:
3453:
3178:). This is the 'inverted structure'. If the original structure and inverted structure are identical, then the structure is
61:
7443:
7214:
7204:
6509:
6986:
6258:
1164:
573:
7338:
6611:
6589:
6354:
5124:, with exception for names of the crystal families 9, 13, and 22. The names for these three families according to Brown
545:
534:
Note: there is no "trigonal" lattice system. To avoid confusion of terminology, the term "trigonal lattice" is not used.
300:
244:
146:
7016:
6890:
3359:
7549:
6644:
6539:
6391:
954:
379:
212:
178:
68:
6293:
7006:
7416:
7247:
6544:
6322:
3190:
structure. If the inverted structure cannot be rotated to align with the original structure, then the structure is
35:
7262:
7191:
6649:
6639:
6401:
6381:
3729:
1202:
736:
404:
347:
182:
174:
6775:
3561:
3551:
75:
7569:
7554:
7404:
7128:
7024:
6897:
6860:
6654:
6634:
6502:
6411:
6370:
6315:
3466:
1758:
603:
429:
322:
186:
170:
6812:
3717:
For convenience a
Bravais lattice is depicted by a unit cell which is a factor 1, 2, 3, or 4 larger than the
3263:
not possible due to symmetry reasons. This reduces the number of unique lattices to the 14 Bravais lattices.
7252:
7096:
7041:
6790:
6755:
6129:
208:
6948:
57:
7559:
7459:
6765:
6077:
6030: – Group of crystals formed in an open space with form determined by their internal crystal structure
3586:
3075:
568:
6870:
3509:
7485:
7305:
7101:
7063:
6822:
6556:
3245:
3241:
2967:
2835:
2484:
2227:
1943:
1783:
1421:
1224:
977:
758:
625:
3387:
239:
A crystal system is a set of point groups in which the point groups themselves and their corresponding
3045:
2980:
2848:
1799:
1302:
1240:
839:
774:
706:
639:
7029:
6902:
6738:
6629:
6426:
6039:
3526:
3281:
3222:
2816:
481:
190:
130:
3266:
The distribution of the 14 Bravais lattices into 7 lattice systems is given in the following table.
7564:
7505:
7490:
7046:
7034:
6909:
6875:
6855:
6458:
6082:
3754:
3032:
3010:
2671:
2322:
1613:
1289:
360:
356:
3441:
3349:
7470:
7295:
7106:
7051:
6594:
5148:
22. Starting from four-dimensional space, point groups also can be enantiomorphic in this sense.
3722:
1044:
215:, and the term "crystal system" is sometimes used to mean "lattice system" or "crystal family".
3482:
7544:
7229:
7068:
6996:
6976:
6696:
6566:
6478:
6228:
6187:
6177:
6173:
6143:
6133:
6044:
6033:
3762:
3233:
3217:
2843:
2574:
2230:
2033:
1786:
1511:
1227:
1063:
826:
761:
628:
578:
7500:
7267:
7073:
6991:
6981:
6780:
6713:
6684:
6677:
6302:
6220:
6087:
1071:
985:
896:
869:
583:
154:
82:
7524:
7156:
7151:
7116:
6936:
6835:
6770:
6733:
6728:
6579:
6525:
6448:
6349:
6297:
6216:
6215:. International Tables for Crystallography. Vol. A (5th ed.). Berlin, New York:
6027:
3750:
3733:
3593:
3578:
3257:
3226:
3098:
3040:
2975:
2898:
2761:
2412:
2134:
1853:
1703:
1349:
1154:
888:
693:
591:
310:
228:
138:
6259:
all cubic crystal classes, forms, and stereographic projections (interactive java applet)
3319:
6966:
6931:
6919:
6914:
6880:
6850:
6840:
6799:
6743:
6667:
6468:
3758:
3718:
3589:
2679:
2582:
2492:
2142:
2041:
1951:
1621:
1519:
1429:
315:
121:
6281:
6272:
6263:
5120:
The names here are given according to
Whittaker. They are almost the same as in Brown
3539:
16:
Classification of crystalline materials by their three-dimensional structural geometry
7538:
7475:
7111:
6924:
6723:
6169:
126:
3732:
in 1842, who found that there were 15 Bravais lattices. This was corrected to 14 by
6817:
6807:
6701:
6584:
3711:
3374:
2330:
2238:
1861:
1794:
1297:
1235:
834:
769:
701:
596:
449:
6036: – Ordered arrangement of atoms, ions, or molecules in a crystalline material
3813:). The following conditions for the lattice parameters define 23 crystal families
6285:
6276:
6267:
6224:
7300:
6971:
6845:
6672:
6462:
6420:
3703:
562:
305:
240:
202:
158:
24:
6865:
6551:
3428:
3336:
6191:
6164:
Brown, H.; Bülow, R.; Neubüser, J.; Wondratschek, H.; Zassenhaus, H. (1978).
6147:
387:
3 twofold axes of rotation or 1 twofold axis of rotation and 2 mirror planes
6574:
3306:
3192:
1130:
6091:
6415:
6395:
6290:
2733:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
2636:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
2546:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
2196:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
7428:
7171:
6941:
6689:
3574:
2095:{\displaystyle \mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
2005:{\displaystyle \mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
1675:{\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
1573:{\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
1483:{\displaystyle \mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}}
265:
6212:
2384:{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}
2292:{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}
1915:{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}
7181:
6405:
6385:
3671:
3237:
6375:
6125:
223:
A lattice system is a group of lattices with the same set of lattice
6122:
3599:
Such symmetry groups consist of translations by vectors of the form
1118:{\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}
1032:{\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}
943:{\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}
260:
149:(a group of geometric symmetries with at least one fixed point). A
7176:
6494:
6307:
6291:
Conversion
Primitive to Standard Conventional for VASP input files
6068:
Flack, Howard D. (2003). "Chiral and
Achiral Crystal Structures".
259:
120:
3773:The four-dimensional unit cell is defined by four edge lengths (
6482:
6472:
6452:
6431:
7432:
6498:
6311:
3721:. Depending on the symmetry of a crystal or other pattern, the
18:
3714:) must, by definition, fit into one of these arrangements.
248:
point groups are assigned to the trigonal crystal system.
7278:
7273:
6210:
3207:
A direction (meaning a line without an arrow) is called
2805:{\displaystyle \mathbb {D} _{12}\times \mathbb {Z} _{2}}
3142:{\displaystyle \mathbb {S} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}
2942:{\displaystyle \mathbb {A} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}
2456:{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}}
1747:{\displaystyle \mathbb {D} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}}
1393:{\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}}
7166:
3111:
3048:
2983:
2911:
2851:
2774:
2687:
2590:
2500:
2425:
2338:
2246:
2150:
2049:
1959:
1869:
1802:
1716:
1629:
1527:
1437:
1362:
1305:
1243:
1167:
1079:
993:
904:
842:
777:
709:
642:
6049:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
7347:
7314:
7286:
7238:
7190:
7137:
7084:
7015:
6798:
6789:
6712:
6620:
6565:
6532:
6441:
6363:
1191:{\displaystyle \mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}}
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
3141:
3063:
2998:
2941:
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1190:
1117:
1031:
942:
857:
792:
724:
657:
6166:Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space
6047: – symmetry in geometry and crystallography
3244:space groups (biological molecules are usually
7444:
6510:
6323:
8:
3215:. Groups containing a polar axis are called
243:are assigned to a lattice system. Of the 32
6115:
6113:
7451:
7437:
7429:
7344:
6795:
6617:
6562:
6517:
6503:
6495:
6330:
6316:
6308:
6081:
3710:All crystalline materials (not including
3133:
3129:
3128:
3118:
3114:
3113:
3110:
3055:
3051:
3050:
3047:
2990:
2986:
2985:
2982:
2933:
2929:
2928:
2918:
2914:
2913:
2910:
2858:
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2853:
2850:
2796:
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2781:
2777:
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2432:
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2375:
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2360:
2356:
2355:
2345:
2341:
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2337:
2283:
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2056:
2052:
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203:Space group § Classification systems
109:Learn how and when to remove this message
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552:
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3695:are three non-coplanar vectors, called
297:Required symmetries of the point group
3702:These lattices are classified by the
3728:The Bravais lattices were studied by
3725:is again smaller, up to a factor 48.
3240:structures) can only occur in the 65
2815:
1201:
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602:
7:
7411:
6751:Phase transformation crystallography
6286:Online Dictionary of Crystallography
6277:Online Dictionary of Crystallography
6268:Online Dictionary of Crystallography
6104:
5482:Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G
4480:Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic
47:adding citations to reliable sources
7258:Journal of Chemical Crystallography
5570:Ditetragonal monoclinic P*, S*, D*
133:, with a repeated two-atom pattern.
5905:Complex diisohexagonal orthogonal
5311:Orthogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
4260:Ditrigonal (dihexagonal) diclinic
14:
5874:Simple diisohexagonal orthogonal
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23:
5991:
5780:Cubic orthogonal P, I, Z, F, U
5604:Crypto-ditetragonal orthogonal
504:
34:needs additional citations for
7200:Bilbao Crystallographic Server
5678:Crypto-ditrigonal orthogonal*
5593:Ditrigonal monoclinic P*, RR*
5456:Inverse tetragonal orthogonal
169:The seven crystal systems are
1:
5889:Diisohexagonal orthogonal RR
5630:Ditetragonal orthogonal P, Z
5487:Proper tetragonal orthogonal
3817:Crystal families in 4D space
3789:) and six interaxial angles (
489:4 threefold axes of rotation
437:1 threefold axis of rotation
245:crystallographic point groups
129:belongs to the face-centered
6355:Crystallographic point group
6254:Mineral galleries – Symmetry
6225:10.1107/97809553602060000100
6120:Whittaker, E. J. W. (1985).
5900:Diisohexagonal orthogonal P
5274:Monoclinic P, S, S, I, D, F
5152:Crystal systems in 4D space
3524:
3497:
3464:
3426:
3372:
3334:
3304:
546:Crystallographic point group
412:1 fourfold axis of rotation
211:is often confused with the
7248:Crystal Growth & Design
6540:Timeline of crystallography
5522:Hexagonal orthogonal R, RS
5348:Tetragonal monoclinic P, I
470:1 sixfold axis of rotation
213:rhombohedral lattice system
7588:
7059:Nuclear magnetic resonance
5871:Diisohexagonal orthogonal
5743:Dihexagonal orthogonal RR
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5619:Ditetragonal orthogonal D
5533:Hexagonal orthogonal P, S
5128:are given in parentheses.
4948:Diisohexagonal orthogonal
3255:
3200:and its symmetry group is
1757:
543:
200:
7514:
7466:
7394:
7263:Journal of Crystal Growth
7003:
6345:
6249:Overview of the 32 groups
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458:
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433:
428:
127:diamond crystal structure
7129:Single particle analysis
6987:Hermann–Mauguin notation
6412:trigonal & hexagonal
6303:Learning Crystallography
6209:Hahn, Theo, ed. (2002).
5754:Simple cubic orthogonal
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5601:Ditetragonal orthogonal
4558:Ditetragonal orthogonal
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268:crystal, with threefold
7253:Crystallography Reviews
7097:Isomorphous replacement
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1290:non-centrosymmetric
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3182:. Otherwise it is
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