1185:
2256:
952:
710:
1924:
2390:
1662:
941:
2490:
1180:{\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}
539:
1487:
1759:
1929:
2588:
826:
1266:
1306:
389:
596:
286:
257:
175:
2422:
1844:
1792:
1892:
1388:
2731:
1912:
228:
1333:
1228:
783:
349:
2251:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{a}\left&=f(a)+\mathbf {E} ^{a}\left\\&=|a|^{2}+\mathbf {E} ^{a}\left=|a|^{2}+n\mathbf {E} ^{a}.\end{aligned}}}
1698:
611:
86:
2279:
1864:
1551:
1527:
1507:
1411:
1353:
1208:
753:
733:
567:
326:
306:
195:
146:
126:
106:
83:
2726:
2287:
1559:
834:
2684:
2427:
2706:
401:
603:
44:
1419:
1703:
2498:
788:
1236:
1271:
354:
572:
262:
233:
151:
2398:
1530:
24:
1797:
1915:
1764:
1869:
1366:
2702:
2694:
2680:
2666:. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. New York: Academic Press Inc.
1897:
200:
705:{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.}
599:
1311:
1213:
761:
334:
2672:
1391:
756:
1677:
2264:
1849:
1536:
1512:
1492:
1396:
1338:
1193:
738:
718:
552:
311:
291:
180:
131:
111:
91:
68:
36:
32:
2720:
2659:
2492:
329:
54:
51:
40:
2385:{\displaystyle \mathbf {E} ^{a}\leq {\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}
1414:
1231:
20:
1657:{\displaystyle \mathbf {E} ^{a}={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}
936:{\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}-f(x)}{t}}}
1668:
2485:{\displaystyle \tau _{K}=\lim _{j\to +\infty }\sigma _{j}<+\infty }
48:
2699:
Stochastic
Differential Equations: An Introduction with Applications
785:(twice differentiable with continuous second derivative) functions
1363:
Dynkin's formula can be used to find the expected first exit time
43:. It may be seen as a stochastic generalization of the (second)
2662:; trans. J. Fabius; V. Greenberg; A. Maitra; G. Majone (1965).
534:{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left.}
1210:
is a Feller process, Dynkin's formula holds. In fact, if
1482:{\displaystyle K=\{x\in \mathbf {R} ^{n}:\,|x|\leq R\},}
2501:
2430:
2401:
2290:
2267:
1927:
1900:
1872:
1852:
1800:
1767:
1754:{\displaystyle \tau =\sigma _{j}=\min\{j,\tau _{K}\}}
1706:
1680:
1562:
1539:
1515:
1495:
1422:
1399:
1369:
1341:
1314:
1274:
1239:
1216:
1196:
955:
837:
791:
764:
741:
721:
614:
575:
555:
404:
357:
337:
314:
294:
265:
236:
203:
183:
154:
134:
114:
94:
71:
2583:{\displaystyle \mathbf {E} ^{a}=(R^{2}-|a|^{2})/n}
2582:
2484:
2416:
2384:
2273:
2250:
1906:
1886:
1858:
1838:
1786:
1753:
1692:
1656:
1545:
1521:
1501:
1481:
1405:
1382:
1347:
1327:
1300:
1260:
1222:
1202:
1179:
935:
821:{\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }
820:
777:
747:
727:
704:
590:
561:
533:
383:
343:
320:
300:
280:
251:
222:
189:
169:
140:
120:
100:
77:
1674:. The strategy is to apply Dynkin's formula with
2445:
1726:
857:
2374:
2334:
1978:
1954:
1646:
1606:
1359:Application: Brownian motion exiting the ball
1355:, without the assumption of compact support.
1091:
1070:
35:of any suitably smooth function applied to a
8:
1748:
1729:
1473:
1429:
2632:
2630:
2572:
2563:
2558:
2549:
2540:
2521:
2508:
2503:
2500:
2467:
2448:
2435:
2429:
2400:
2373:
2372:
2366:
2361:
2352:
2343:
2333:
2332:
2322:
2310:
2297:
2292:
2289:
2266:
2232:
2219:
2214:
2201:
2196:
2187:
2171:
2170:
2159:
2154:
2149:
2134:
2129:
2119:
2114:
2105:
2082:
2081:
2072:
2049:
2041:
2036:
2031:
2016:
2011:
1977:
1976:
1968:
1963:
1953:
1952:
1938:
1933:
1928:
1926:
1899:
1876:
1871:
1851:
1830:
1825:
1816:
1799:
1778:
1766:
1742:
1717:
1705:
1679:
1645:
1644:
1638:
1633:
1624:
1615:
1605:
1604:
1594:
1582:
1569:
1564:
1561:
1538:
1514:
1494:
1462:
1454:
1453:
1444:
1439:
1421:
1398:
1374:
1368:
1340:
1319:
1313:
1275:
1273:
1261:{\displaystyle B\subset \mathbf {R} ^{n}}
1252:
1247:
1238:
1215:
1195:
1156:
1148:
1142:
1124:
1117:
1096:
1090:
1089:
1082:
1069:
1068:
1056:
1042:
1021:
1003:
988:
978:
954:
900:
881:
876:
872:
860:
836:
813:
804:
799:
790:
769:
763:
740:
720:
693:
684:
683:
674:
653:
652:
643:
624:
615:
613:
582:
577:
574:
554:
515:
514:
505:
486:
481:
466:
461:
430:
411:
406:
403:
358:
356:
336:
313:
293:
272:
267:
264:
243:
238:
235:
208:
202:
182:
161:
156:
153:
133:
113:
93:
70:
2615:Øksendal (2003), Definition 7.3.1, p124.
1301:{\displaystyle \mathbf {E} <+\infty }
384:{\displaystyle \mathbf {E} <+\infty }
2732:Theorems regarding stochastic processes
2599:
1866:. The generator of Brownian motion is
1308:, then Dynkin's formula holds for all
2645:Øksendal (2003), Example 7.4.2, p127.
2636:Øksendal (2003), Theorem 7.4.1, p127.
2624:Øksendal (2003), Theorem 7.3.3, p126.
2606:Kallenberg (2021), Lemma 17.21, p383.
7:
2701:(Sixth ed.). Berlin: Springer.
259:denote expectation with respect to
2479:
2458:
2411:
2172:
2083:
2059:
1918:. Therefore, by Dynkin's formula,
1901:
1873:
1295:
1149:
1135:
1121:
1083:
1014:
1006:
685:
654:
616:
516:
378:
14:
2727:Stochastic differential equations
2677:Foundations of Modern Probability
1667:This is shown as follows. Fix an
2504:
2293:
2215:
2130:
2012:
1934:
1565:
1440:
1276:
1248:
877:
814:
800:
604:stochastic differential equation
591:{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}
578:
462:
407:
359:
281:{\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}
268:
252:{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}}
239:
170:{\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}
157:
45:fundamental theorem of calculus
2569:
2559:
2550:
2533:
2527:
2514:
2452:
2405:
2362:
2353:
2316:
2303:
2238:
2225:
2197:
2188:
2115:
2106:
2078:
2065:
2004:
1998:
1826:
1817:
1810:
1804:
1634:
1625:
1588:
1575:
1463:
1455:
1286:
1280:
1171:
1165:
1114:
1108:
1036:
1030:
1000:
994:
968:
962:
924:
918:
909:
906:
893:
887:
864:
850:
844:
810:
680:
667:
649:
636:
511:
498:
454:
448:
439:
436:
423:
417:
369:
363:
16:Theorem in stochastic analysis
1:
2664:Markov processes. Vols. I, II
2417:{\displaystyle j\to +\infty }
2679:(third ed.). Springer.
1839:{\displaystyle f(x)=|x|^{2}}
1761:, and a compactly-supported
1230:is the first exit time of a
755:is defined by its action on
715:The infinitesimal generator
2748:
1787:{\displaystyle f\in C^{2}}
2668:(See Vol. I, p. 133)
1887:{\displaystyle \Delta /2}
1383:{\displaystyle \tau _{K}}
85:be a Feller process with
23:— specifically, in
288:. Then for any function
61:Statement of the theorem
47:. It is named after the
31:is a theorem giving the
1907:{\displaystyle \Delta }
545:Example: Itô diffusions
223:{\displaystyle X_{0}=x}
87:infinitesimal generator
2584:
2486:
2418:
2386:
2275:
2252:
1908:
1888:
1860:
1840:
1788:
1755:
1694:
1658:
1547:
1523:
1503:
1483:
1407:
1384:
1349:
1329:
1302:
1262:
1224:
1204:
1181:
937:
822:
779:
749:
729:
706:
592:
563:
535:
385:
345:
322:
302:
282:
253:
224:
191:
171:
142:
128:in the state-space of
122:
102:
79:
2585:
2487:
2419:
2387:
2276:
2253:
1909:
1889:
1861:
1841:
1789:
1756:
1695:
1659:
1548:
1524:
1504:
1484:
1408:
1385:
1350:
1330:
1328:{\displaystyle C^{2}}
1303:
1263:
1225:
1223:{\displaystyle \tau }
1205:
1182:
938:
823:
780:
778:{\displaystyle C^{2}}
750:
730:
707:
593:
564:
536:
386:
346:
344:{\displaystyle \tau }
323:
303:
283:
254:
225:
192:
172:
143:
123:
103:
80:
2499:
2428:
2399:
2288:
2265:
1925:
1898:
1870:
1850:
1798:
1765:
1704:
1678:
1560:
1537:
1513:
1493:
1420:
1397:
1367:
1339:
1312:
1272:
1237:
1214:
1194:
953:
835:
789:
762:
739:
719:
612:
573:
553:
402:
355:
335:
312:
292:
263:
234:
201:
197:given initial datum
181:
152:
132:
112:
92:
69:
2166:
2048:
1693:{\displaystyle X=B}
757:compactly-supported
491:
25:stochastic analysis
2695:Øksendal, Bernt K.
2580:
2482:
2462:
2414:
2382:
2271:
2248:
2246:
2145:
2027:
1916:Laplacian operator
1904:
1884:
1856:
1836:
1784:
1751:
1690:
1654:
1543:
1519:
1509:starts at a point
1499:
1479:
1403:
1380:
1345:
1325:
1298:
1258:
1220:
1200:
1177:
1067:
983:
946:or, equivalently,
933:
871:
818:
775:
745:
725:
702:
588:
559:
531:
477:
381:
341:
318:
298:
278:
249:
220:
187:
177:denote the law of
167:
138:
118:
98:
75:
2713:(See Section 7.4)
2686:978-3-030-61870-4
2660:Dynkin, Eugene B.
2444:
2424:to conclude that
2330:
2274:{\displaystyle j}
2057:
1859:{\displaystyle K}
1602:
1546:{\displaystyle K}
1522:{\displaystyle a}
1502:{\displaystyle B}
1406:{\displaystyle B}
1348:{\displaystyle f}
1203:{\displaystyle X}
1163:
1052:
1050:
1028:
974:
931:
856:
748:{\displaystyle X}
728:{\displaystyle A}
562:{\displaystyle X}
321:{\displaystyle A}
308:in the domain of
301:{\displaystyle f}
190:{\displaystyle X}
141:{\displaystyle X}
121:{\displaystyle x}
101:{\displaystyle A}
78:{\displaystyle X}
2739:
2712:
2690:
2673:Kallenberg, Olav
2667:
2646:
2643:
2637:
2634:
2625:
2622:
2616:
2613:
2607:
2604:
2589:
2587:
2586:
2581:
2576:
2568:
2567:
2562:
2553:
2545:
2544:
2526:
2525:
2513:
2512:
2507:
2491:
2489:
2488:
2483:
2472:
2471:
2461:
2440:
2439:
2423:
2421:
2420:
2415:
2391:
2389:
2388:
2383:
2378:
2377:
2371:
2370:
2365:
2356:
2348:
2347:
2338:
2337:
2331:
2323:
2315:
2314:
2302:
2301:
2296:
2280:
2278:
2277:
2272:
2257:
2255:
2254:
2249:
2247:
2237:
2236:
2224:
2223:
2218:
2206:
2205:
2200:
2191:
2183:
2179:
2175:
2165:
2164:
2163:
2153:
2139:
2138:
2133:
2124:
2123:
2118:
2109:
2098:
2094:
2090:
2086:
2077:
2076:
2058:
2050:
2047:
2046:
2045:
2035:
2021:
2020:
2015:
1987:
1983:
1982:
1981:
1975:
1974:
1973:
1972:
1958:
1957:
1943:
1942:
1937:
1913:
1911:
1910:
1905:
1893:
1891:
1890:
1885:
1880:
1865:
1863:
1862:
1857:
1845:
1843:
1842:
1837:
1835:
1834:
1829:
1820:
1793:
1791:
1790:
1785:
1783:
1782:
1760:
1758:
1757:
1752:
1747:
1746:
1722:
1721:
1699:
1697:
1696:
1691:
1663:
1661:
1660:
1655:
1650:
1649:
1643:
1642:
1637:
1628:
1620:
1619:
1610:
1609:
1603:
1595:
1587:
1586:
1574:
1573:
1568:
1552:
1550:
1549:
1544:
1528:
1526:
1525:
1520:
1508:
1506:
1505:
1500:
1488:
1486:
1485:
1480:
1466:
1458:
1449:
1448:
1443:
1412:
1410:
1409:
1404:
1389:
1387:
1386:
1381:
1379:
1378:
1354:
1352:
1351:
1346:
1334:
1332:
1331:
1326:
1324:
1323:
1307:
1305:
1304:
1299:
1279:
1267:
1265:
1264:
1259:
1257:
1256:
1251:
1229:
1227:
1226:
1221:
1209:
1207:
1206:
1201:
1186:
1184:
1183:
1178:
1164:
1162:
1161:
1160:
1147:
1146:
1133:
1129:
1128:
1118:
1107:
1106:
1095:
1094:
1087:
1086:
1074:
1073:
1066:
1051:
1043:
1029:
1027:
1026:
1025:
1012:
1004:
993:
992:
982:
942:
940:
939:
934:
932:
927:
905:
904:
886:
885:
880:
873:
870:
827:
825:
824:
819:
817:
809:
808:
803:
784:
782:
781:
776:
774:
773:
754:
752:
751:
746:
734:
732:
731:
726:
711:
709:
708:
703:
698:
697:
688:
679:
678:
657:
648:
647:
629:
628:
619:
597:
595:
594:
589:
587:
586:
581:
568:
566:
565:
560:
540:
538:
537:
532:
527:
523:
519:
510:
509:
490:
485:
471:
470:
465:
435:
434:
416:
415:
410:
393:Dynkin's formula
390:
388:
387:
382:
362:
350:
348:
347:
342:
327:
325:
324:
319:
307:
305:
304:
299:
287:
285:
284:
279:
277:
276:
271:
258:
256:
255:
250:
248:
247:
242:
229:
227:
226:
221:
213:
212:
196:
194:
193:
188:
176:
174:
173:
168:
166:
165:
160:
147:
145:
144:
139:
127:
125:
124:
119:
107:
105:
104:
99:
84:
82:
81:
76:
29:Dynkin's formula
2747:
2746:
2742:
2741:
2740:
2738:
2737:
2736:
2717:
2716:
2709:
2693:
2687:
2671:
2658:
2650:
2649:
2644:
2640:
2635:
2628:
2623:
2619:
2614:
2610:
2605:
2601:
2596:
2557:
2536:
2517:
2502:
2497:
2496:
2463:
2431:
2426:
2425:
2397:
2396:
2360:
2339:
2306:
2291:
2286:
2285:
2263:
2262:
2261:Hence, for any
2245:
2244:
2228:
2213:
2195:
2155:
2144:
2140:
2128:
2113:
2096:
2095:
2068:
2037:
2026:
2022:
2010:
1988:
1964:
1959:
1948:
1944:
1932:
1923:
1922:
1896:
1895:
1868:
1867:
1848:
1847:
1824:
1796:
1795:
1774:
1763:
1762:
1738:
1713:
1702:
1701:
1676:
1675:
1632:
1611:
1578:
1563:
1558:
1557:
1535:
1534:
1511:
1510:
1491:
1490:
1438:
1418:
1417:
1395:
1394:
1392:Brownian motion
1370:
1365:
1364:
1361:
1337:
1336:
1315:
1310:
1309:
1270:
1269:
1246:
1235:
1234:
1212:
1211:
1192:
1191:
1152:
1138:
1134:
1120:
1119:
1088:
1078:
1017:
1013:
1005:
984:
951:
950:
896:
875:
874:
833:
832:
798:
787:
786:
765:
760:
759:
737:
736:
717:
716:
689:
670:
639:
620:
610:
609:
576:
571:
570:
551:
550:
547:
501:
476:
472:
460:
426:
405:
400:
399:
353:
352:
333:
332:
310:
309:
290:
289:
266:
261:
260:
237:
232:
231:
204:
199:
198:
179:
178:
155:
150:
149:
130:
129:
110:
109:
90:
89:
67:
66:
63:
17:
12:
11:
5:
2745:
2743:
2735:
2734:
2729:
2719:
2718:
2715:
2714:
2707:
2691:
2685:
2669:
2648:
2647:
2638:
2626:
2617:
2608:
2598:
2597:
2595:
2592:
2579:
2575:
2571:
2566:
2561:
2556:
2552:
2548:
2543:
2539:
2535:
2532:
2529:
2524:
2520:
2516:
2511:
2506:
2481:
2478:
2475:
2470:
2466:
2460:
2457:
2454:
2451:
2447:
2443:
2438:
2434:
2413:
2410:
2407:
2404:
2393:
2392:
2381:
2376:
2369:
2364:
2359:
2355:
2351:
2346:
2342:
2336:
2329:
2326:
2321:
2318:
2313:
2309:
2305:
2300:
2295:
2270:
2259:
2258:
2243:
2240:
2235:
2231:
2227:
2222:
2217:
2212:
2209:
2204:
2199:
2194:
2190:
2186:
2182:
2178:
2174:
2169:
2162:
2158:
2152:
2148:
2143:
2137:
2132:
2127:
2122:
2117:
2112:
2108:
2104:
2101:
2099:
2097:
2093:
2089:
2085:
2080:
2075:
2071:
2067:
2064:
2061:
2056:
2053:
2044:
2040:
2034:
2030:
2025:
2019:
2014:
2009:
2006:
2003:
2000:
1997:
1994:
1991:
1989:
1986:
1980:
1971:
1967:
1962:
1956:
1951:
1947:
1941:
1936:
1931:
1930:
1903:
1883:
1879:
1875:
1855:
1833:
1828:
1823:
1819:
1815:
1812:
1809:
1806:
1803:
1781:
1777:
1773:
1770:
1750:
1745:
1741:
1737:
1734:
1731:
1728:
1725:
1720:
1716:
1712:
1709:
1689:
1686:
1683:
1665:
1664:
1653:
1648:
1641:
1636:
1631:
1627:
1623:
1618:
1614:
1608:
1601:
1598:
1593:
1590:
1585:
1581:
1577:
1572:
1567:
1553:, is given by
1542:
1518:
1498:
1478:
1475:
1472:
1469:
1465:
1461:
1457:
1452:
1447:
1442:
1437:
1434:
1431:
1428:
1425:
1402:
1377:
1373:
1360:
1357:
1344:
1322:
1318:
1297:
1294:
1291:
1288:
1285:
1282:
1278:
1255:
1250:
1245:
1242:
1219:
1199:
1188:
1187:
1176:
1173:
1170:
1167:
1159:
1155:
1151:
1145:
1141:
1137:
1132:
1127:
1123:
1116:
1113:
1110:
1105:
1102:
1099:
1093:
1085:
1081:
1077:
1072:
1065:
1062:
1059:
1055:
1049:
1046:
1041:
1038:
1035:
1032:
1024:
1020:
1016:
1011:
1008:
1002:
999:
996:
991:
987:
981:
977:
973:
970:
967:
964:
961:
958:
944:
943:
930:
926:
923:
920:
917:
914:
911:
908:
903:
899:
895:
892:
889:
884:
879:
869:
866:
863:
859:
855:
852:
849:
846:
843:
840:
816:
812:
807:
802:
797:
794:
772:
768:
744:
724:
713:
712:
701:
696:
692:
687:
682:
677:
673:
669:
666:
663:
660:
656:
651:
646:
642:
638:
635:
632:
627:
623:
618:
585:
580:
558:
546:
543:
542:
541:
530:
526:
522:
518:
513:
508:
504:
500:
497:
494:
489:
484:
480:
475:
469:
464:
459:
456:
453:
450:
447:
444:
441:
438:
433:
429:
425:
422:
419:
414:
409:
380:
377:
374:
371:
368:
365:
361:
340:
317:
297:
275:
270:
246:
241:
219:
216:
211:
207:
186:
164:
159:
137:
117:
108:. For a point
97:
74:
62:
59:
37:Feller process
33:expected value
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
2744:
2733:
2730:
2728:
2725:
2724:
2722:
2710:
2708:3-540-04758-1
2704:
2700:
2696:
2692:
2688:
2682:
2678:
2674:
2670:
2665:
2661:
2657:
2656:
2655:
2654:
2642:
2639:
2633:
2631:
2627:
2621:
2618:
2612:
2609:
2603:
2600:
2593:
2591:
2577:
2573:
2564:
2554:
2546:
2541:
2537:
2530:
2522:
2518:
2509:
2494:
2493:almost surely
2476:
2473:
2468:
2464:
2455:
2449:
2441:
2436:
2432:
2408:
2402:
2379:
2367:
2357:
2349:
2344:
2340:
2327:
2324:
2319:
2311:
2307:
2298:
2284:
2283:
2282:
2268:
2241:
2233:
2229:
2220:
2210:
2207:
2202:
2192:
2184:
2180:
2176:
2167:
2160:
2156:
2150:
2146:
2141:
2135:
2125:
2120:
2110:
2102:
2100:
2091:
2087:
2073:
2069:
2062:
2054:
2051:
2042:
2038:
2032:
2028:
2023:
2017:
2007:
2001:
1995:
1992:
1990:
1984:
1969:
1965:
1960:
1949:
1945:
1939:
1921:
1920:
1919:
1917:
1881:
1877:
1853:
1831:
1821:
1813:
1807:
1801:
1779:
1775:
1771:
1768:
1743:
1739:
1735:
1732:
1723:
1718:
1714:
1710:
1707:
1687:
1684:
1681:
1673:
1670:
1651:
1639:
1629:
1621:
1616:
1612:
1599:
1596:
1591:
1583:
1579:
1570:
1556:
1555:
1554:
1540:
1532:
1516:
1496:
1476:
1470:
1467:
1459:
1450:
1445:
1435:
1432:
1426:
1423:
1416:
1400:
1393:
1375:
1371:
1358:
1356:
1342:
1320:
1316:
1292:
1289:
1283:
1253:
1243:
1240:
1233:
1217:
1197:
1174:
1168:
1157:
1153:
1143:
1139:
1130:
1125:
1111:
1103:
1100:
1097:
1079:
1075:
1063:
1060:
1057:
1053:
1047:
1044:
1039:
1033:
1022:
1018:
1009:
997:
989:
985:
979:
975:
971:
965:
959:
956:
949:
948:
947:
928:
921:
915:
912:
901:
897:
890:
882:
867:
861:
853:
847:
841:
838:
831:
830:
829:
805:
795:
792:
770:
766:
758:
742:
722:
699:
694:
690:
675:
671:
664:
661:
658:
644:
640:
633:
630:
625:
621:
608:
607:
606:
605:
601:
600:Itô diffusion
583:
556:
544:
528:
524:
520:
506:
502:
495:
492:
487:
482:
478:
473:
467:
457:
451:
445:
442:
431:
427:
420:
412:
398:
397:
396:
394:
375:
372:
366:
338:
331:
330:stopping time
315:
295:
273:
244:
217:
214:
209:
205:
184:
162:
135:
115:
95:
88:
72:
60:
58:
56:
55:Eugene Dynkin
53:
52:mathematician
50:
46:
42:
41:stopping time
38:
34:
30:
26:
22:
2698:
2676:
2663:
2652:
2651:
2641:
2620:
2611:
2602:
2590:as claimed.
2394:
2260:
1914:denotes the
1671:
1666:
1489:which, when
1362:
1189:
945:
714:
602:solving the
548:
392:
64:
28:
18:
1415:closed ball
1232:bounded set
1190:Since this
21:mathematics
2721:Categories
2594:References
1335:functions
328:, and any
230:, and let
2547:−
2519:τ
2495:, and so
2480:∞
2465:σ
2459:∞
2453:→
2433:τ
2412:∞
2406:→
2350:−
2320:≤
2308:σ
2230:σ
2157:σ
2147:∫
2060:Δ
2039:σ
2029:∫
1966:σ
1902:Δ
1874:Δ
1772:∈
1740:τ
1715:σ
1708:τ
1622:−
1580:τ
1468:≤
1436:∈
1413:from the
1372:τ
1296:∞
1284:τ
1244:⊂
1218:τ
1150:∂
1136:∂
1122:∂
1084:⊤
1080:σ
1076:σ
1054:∑
1015:∂
1007:∂
976:∑
913:−
865:↓
811:→
665:σ
488:τ
479:∫
432:τ
379:∞
367:τ
339:τ
2697:(2003).
2675:(2021).
2395:Now let
1894:, where
1531:interior
598:-valued
27:—
2653:Sources
1669:integer
1529:in the
569:be the
395:holds:
49:Russian
2705:
2683:
148:, let
1794:with
1390:of a
1268:with
351:with
39:at a
2703:ISBN
2681:ISBN
2474:<
1290:<
549:Let
373:<
65:Let
2446:lim
1846:on
1727:min
1533:of
858:lim
828:as
735:of
19:In
2723::
2629:^
2281:,
1700:,
391:,
57:.
2711:.
2689:.
2578:n
2574:/
2570:)
2565:2
2560:|
2555:a
2551:|
2542:2
2538:R
2534:(
2531:=
2528:]
2523:K
2515:[
2510:a
2505:E
2477:+
2469:j
2456:+
2450:j
2442:=
2437:K
2409:+
2403:j
2380:.
2375:)
2368:2
2363:|
2358:a
2354:|
2345:2
2341:R
2335:(
2328:n
2325:1
2317:]
2312:j
2304:[
2299:a
2294:E
2269:j
2242:.
2239:]
2234:j
2226:[
2221:a
2216:E
2211:n
2208:+
2203:2
2198:|
2193:a
2189:|
2185:=
2181:]
2177:s
2173:d
2168:n
2161:j
2151:0
2142:[
2136:a
2131:E
2126:+
2121:2
2116:|
2111:a
2107:|
2103:=
2092:]
2088:s
2084:d
2079:)
2074:s
2070:B
2066:(
2063:f
2055:2
2052:1
2043:j
2033:0
2024:[
2018:a
2013:E
2008:+
2005:)
2002:a
1999:(
1996:f
1993:=
1985:]
1979:)
1970:j
1961:B
1955:(
1950:f
1946:[
1940:a
1935:E
1882:2
1878:/
1854:K
1832:2
1827:|
1822:x
1818:|
1814:=
1811:)
1808:x
1805:(
1802:f
1780:2
1776:C
1769:f
1749:}
1744:K
1736:,
1733:j
1730:{
1724:=
1719:j
1711:=
1688:B
1685:=
1682:X
1672:j
1652:.
1647:)
1640:2
1635:|
1630:a
1626:|
1617:2
1613:R
1607:(
1600:n
1597:1
1592:=
1589:]
1584:K
1576:[
1571:a
1566:E
1541:K
1517:a
1497:B
1477:,
1474:}
1471:R
1464:|
1460:x
1456:|
1451::
1446:n
1441:R
1433:x
1430:{
1427:=
1424:K
1401:B
1376:K
1343:f
1321:2
1317:C
1293:+
1287:]
1281:[
1277:E
1254:n
1249:R
1241:B
1198:X
1175:.
1172:)
1169:x
1166:(
1158:j
1154:x
1144:i
1140:x
1131:f
1126:2
1115:)
1112:x
1109:(
1104:j
1101:,
1098:i
1092:)
1071:(
1064:j
1061:,
1058:i
1048:2
1045:1
1040:+
1037:)
1034:x
1031:(
1023:i
1019:x
1010:f
1001:)
998:x
995:(
990:i
986:b
980:i
972:=
969:)
966:x
963:(
960:f
957:A
929:t
925:)
922:x
919:(
916:f
910:]
907:)
902:t
898:X
894:(
891:f
888:[
883:x
878:E
868:0
862:t
854:=
851:)
848:x
845:(
842:f
839:A
815:R
806:n
801:R
796::
793:f
771:2
767:C
743:X
723:A
700:.
695:t
691:B
686:d
681:)
676:t
672:X
668:(
662:+
659:t
655:d
650:)
645:t
641:X
637:(
634:b
631:=
626:t
622:X
617:d
584:n
579:R
557:X
529:.
525:]
521:s
517:d
512:)
507:s
503:X
499:(
496:f
493:A
483:0
474:[
468:x
463:E
458:+
455:)
452:x
449:(
446:f
443:=
440:]
437:)
428:X
424:(
421:f
418:[
413:x
408:E
376:+
370:]
364:[
360:E
316:A
296:f
274:x
269:P
245:x
240:E
218:x
215:=
210:0
206:X
185:X
163:x
158:P
136:X
116:x
96:A
73:X
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.