756:
1589:
1965:
254:
1003:
1281:
642:
578:
1143:
98:
155:
1656:
1218:
895:
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1074:
2064:
2038:
1711:
1435:
1491:
1362:
1743:
398:
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854:
824:
786:
481:
2012:
678:
345:
516:
430:
302:
1496:
1823:
2104:
186:
907:
796:
and Hom on the right means the set of natural transformations. This is because the universal property of a colimit amounts to saying
2121:
2148:
1226:
590:
535:
1083:
2109:
46:
114:
526:
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1011:
2043:
2017:
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33:
1443:
1319:
261:
1716:
353:
1286:
829:
799:
751:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,G)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{G})}
43:
is a presheaf on the simplex category ฮ and a representable simplicial set is exactly of the form
764:
439:
1973:
315:
2117:
2099:
489:
403:
2127:
1584:{\displaystyle -\circ h_{u}:\operatorname {Hom} (h_{V},G)\to \operatorname {Hom} (h_{U},G).}
789:
584:
181:
25:
275:
2131:
2113:
17:
1960:{\displaystyle (Gu\circ \theta _{V})(y)=(Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}=(\theta _{U}\circ Fu)(y),}
40:
2142:
897:
be a natural transformation. It is a family of morphisms indexed by the objects in
249:{\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}
29:
998:{\displaystyle \alpha _{U,x}:f(U,x)=h_{U}\to \Delta _{G}(U,x)=G}
256:. For an index category over which a colimit will run, let
160:
where the colim runs over an index category determined by
1276:{\displaystyle G(U)\simeq \operatorname {Hom} (h_{U},G)}
637:{\displaystyle U\mapsto h_{U}=\operatorname {Hom} (-,U)}
573:{\displaystyle I{\overset {p}{\to }}C\to {\widehat {C}}}
104:-simplex) so the theorem says: for each simplicial set
1138:{\displaystyle \alpha _{V,y}\circ h_{u}=\alpha _{U,x}}
2046:
2020:
1976:
1826:
1751:
1719:
1664:
1607:
1499:
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1373:
1322:
1289:
1229:
1151:
1086:
1014:
910:
864:
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593:
538:
492:
442:
406:
356:
318:
278:
189:
117:
49:
93:{\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} (-,)}
1223:The Yoneda lemma says there is a natural bijection
2058:
2032:
2006:
1959:
1805:
1737:
1705:
1650:
1583:
1485:
1429:
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1212:
1137:
1068:
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750:
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572:
510:
475:
424:
392:
339:
296:
248:
149:
92:
656:denote the above diagram. To show the colimit of
1008:that satisfies the property: for each morphism
150:{\displaystyle X\simeq \varinjlim \Delta ^{n}}
1713:. This determines the natural transformation
8:
2112:. Vol. 5 (2nd ed.). New York, NY:
826:is the left adjoint to the diagonal functor
2045:
2019:
1975:
1927:
1905:
1883:
1843:
1825:
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831:
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801:
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686:
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558:
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537:
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355:
317:
277:
232:
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205:
191:
190:
188:
141:
124:
116:
54:
48:
2105:Categories for the Working Mathematician
2082:
1651:{\displaystyle \theta _{U}:F(U)\to G(U)}
1440:because, according to the Yoneda lemma,
1213:{\displaystyle f((U,x)\to (V,y))=h_{u}.}
890:{\displaystyle \alpha :f\to \Delta _{G}}
2075:
1806:{\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:U\to V}
1069:{\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:U\to V}
2059:{\displaystyle \alpha \mapsto \theta }
2033:{\displaystyle \alpha \mapsto \theta }
1706:{\displaystyle \theta _{U}(x)=g_{U,x}}
664:, we need to show: for every presheaf
1430:{\displaystyle (Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}}
7:
2066:is the requisite natural bijection.
486:It comes with the forgetful functor
965:
878:
834:
769:
736:
138:
51:
14:
1316:corresponds to a unique element
672:, there is a natural bijection:
239:
236:
233:
212:
209:
206:
1486:{\displaystyle Gu:G(V)\to G(U)}
1357:{\displaystyle g_{U,x}\in G(U)}
20:, a branch of mathematics, the
2050:
2024:
1995:
1989:
1986:
1977:
1951:
1945:
1942:
1920:
1895:
1876:
1873:
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1849:
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1797:
1782:
1770:
1767:
1764:
1752:
1738:{\displaystyle \theta :F\to G}
1729:
1681:
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702:
631:
619:
597:
583:where the second arrow is the
555:
544:
502:
461:
455:
452:
443:
416:
393:{\displaystyle (U,x)\to (V,y)}
387:
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372:
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357:
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328:
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279:
243:
216:
87:
84:
78:
69:
39:For example, by definition, a
1:
2110:Graduate Texts in Mathematics
1309:{\displaystyle \alpha _{U,x}}
2014:. Clearly, the construction
1745:; indeed, for each morphism
849:{\displaystyle \Delta _{-}.}
819:{\displaystyle \varinjlim -}
176:be a presheaf on a category
781:{\displaystyle \Delta _{G}}
268:: it is the category where
2165:
476:{\displaystyle (Fu)(y)=x.}
2085:, Ch III, ยง 7, Theorem 1.
2007:{\displaystyle (Fu)(y)=x}
1658:be the function given by
340:{\displaystyle x\in F(U)}
180:; i.e., an object of the
1283:. Under this bijection,
511:{\displaystyle p:I\to C}
425:{\displaystyle u:U\to V}
304:consisting of an object
34:representable presheaves
400:consists of a morphism
2149:Representable functors
2060:
2040:is reversible. Hence,
2034:
2008:
1961:
1807:
1739:
1707:
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752:
638:
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525:is the colimit of the
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2035:
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1808:
1740:
1708:
1653:
1593:Now, for each object
1586:
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1432:
1359:
1311:
1278:
1215:
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1071:
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892:
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639:
575:
513:
478:
427:
395:
342:
299:
297:{\displaystyle (U,x)}
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100:(called the standard
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2018:
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1749:
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276:
272:an object is a pair
262:category of elements
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36:in a canonical way.
2100:Mac Lane, Saunders
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858:For this end, let
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529:(i.e., a functor)
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1710:
1709:
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200:
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