2956:
2509:
2951:{\displaystyle \alpha ={\frac {p}{q}}+{\frac {\theta }{q^{2}}}={\frac {p_{n}}{q_{n}}}+{\frac {1}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {(p_{n}q_{n-1}+1)+\omega p_{n}q_{n}}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {p_{n-1}q_{n}+\omega p_{n}q_{n}}{q_{n}(q_{n-1}+\omega q_{n})}}={\frac {p_{n-1}+\omega p_{n}}{q_{n-1}+\omega q_{n}}},}
1969:
408:
says that, for algebraic irrational numbers, the exponent of 2 in the corollary to
Dirichlet’s approximation theorem is the best we can do: such numbers cannot be approximated by any exponent greater than 2. The Thue–Siegel–Roth theorem uses advanced techniques of number theory, but many simpler
1707:
1542:
1371:
1762:
255:
691:
384:
2217:
2090:
1565:
613:
2433:
2282:
2504:
1408:
2296:
as a finite continued fraction , where due to the fact that each rational number has two distinct representations as finite continued fractions differing in length by one (namely, one where
508:
1190:
1096:
860:
454:
284:
926:
1005:
170:
1156:
811:
3099:
1964:{\displaystyle S=\left\{(x,y_{1},\dots ,y_{d})\in \mathbb {R} ^{1+d}:-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},|\alpha _{i}x-y_{i}|\leq {\frac {1}{N^{1/d}}}\right\}.}
741:
98:
52:
1182:
178:
958:
887:
1400:
1031:
717:) and by naming the principle (in German) popularized its use, though its status in textbook terms comes later. The method extends to simultaneous approximation.
314:, showing that any real number has a sequence of good rational approximations: in fact an immediate consequence is that for a given irrational α, the inequality
1750:
1730:
1116:
978:
761:
528:
308:
138:
118:
72:
3204:
1756:
establishes the existence of a non-trivial point with integral coordinates. This proof extends naturally to simultaneous approximations by considering the set
618:
3231:
2124:
320:
3257:
1702:{\displaystyle S=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},\vert \alpha x-y\vert \leq {\frac {1}{N}}\right\}.}
2154:
2027:
3062:
that can occur for an injudicious choice of public and private keys (specifically, this attack succeeds if the prime factors of the public key
3327:
3300:
533:
2372:
3104:
3376:
3371:
2234:
405:
2438:
710:
1537:{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {m_{j}-m_{i}}{j-i}}\right|<{\frac {1}{(j-i)N}}\leq {\frac {1}{\left(j-i\right)^{2}}}}
3166:
3161:
467:
1118:
intervals. Therefore, by the pigeonhole principle, at least two of them are in the same interval. We can call those
311:
1366:{\displaystyle |(j-i)\alpha -(m_{j}-m_{i})|=|j\alpha -m_{j}-(i\alpha -m_{i})|=|x_{j}-x_{i}|<{\frac {1}{N}}}
3237:
1036:
3114:
1753:
1556:
816:
3180:
1995:
398:
3156:
415:
263:
892:
706:
983:
3280:
143:
3333:
3059:
1999:
1985:
1121:
766:
464:
The simultaneous version of the
Dirichlet's approximation theorem states that given real numbers
3055:
250:{\displaystyle \left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{\lfloor N\rfloor +1}}<{\frac {1}{N}}.}
3323:
3296:
1998:
derives a necessary and sufficient condition for a rational number to be a convergent of the
726:
77:
37:
3315:
3288:
1161:
931:
865:
1379:
1010:
3351:
1735:
1715:
1101:
963:
746:
513:
293:
123:
103:
57:
3365:
3337:
3109:
714:
20:
3227:
2133:
410:
287:
32:
713:
who proved the result used the same principle in other contexts (for example, the
3223:
2129:
686:{\displaystyle \left|\alpha _{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|\leq {\frac {1}{qN}}.}
3355:
3292:
379:{\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}
3252:
2212:{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}
2085:{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}
1555:
Another simple proof of the
Dirichlet's approximation theorem is based on
456:
can be much more easily verified to be inapproximable beyond exponent 2.
3199:
3319:
608:{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{d},q\in \mathbb {Z} ,1\leq q\leq N^{d}}
3314:. Lecture Notes in Mathematics book series. Vol. 1467. Springer.
2428:{\displaystyle \omega :={\frac {1}{\theta }}-{\frac {q_{n-1}}{q_{n}}}}
2002:
of a given real number. A consequence of this criterion, often called
3143:
3200:"On a theorem of Legendre in the theory of continued fractions"
2277:{\displaystyle \alpha -{\frac {p}{q}}={\frac {\theta }{q^{2}}}}
16:
Any real number has a sequence of good rational approximations
3012:> 1, we conclude that the continued fraction expansion of
2499:{\displaystyle \theta ={\frac {q_{n}}{q_{n-1}+\omega q_{n}}}}
2369:
be the convergents of this continued fraction expansion. Set
3287:. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 785. Springer.
3016:
must be , where is the continued fraction expansion of
2006:
within the study of continued fractions, is as follows:
2512:
2441:
2375:
2237:
2157:
2030:
1765:
1738:
1718:
1568:
1411:
1382:
1193:
1164:
1124:
1104:
1039:
1013:
986:
966:
934:
895:
868:
819:
769:
749:
729:
621:
536:
516:
470:
418:
323:
296:
266:
181:
146:
126:
106:
80:
60:
40:
3312:
2950:
2498:
2427:
2276:
2211:
2084:
1963:
1744:
1724:
1701:
1536:
1394:
1365:
1176:
1150:
1110:
1090:
1025:
999:
972:
952:
920:
881:
854:
805:
755:
735:
685:
607:
522:
502:
448:
378:
302:
278:
249:
164:
132:
112:
92:
66:
46:
25:Dirichlet's theorem on Diophantine approximation
503:{\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}}
3100:Dirichlet's theorem on arithmetic progressions
1979:
3253:"Cryptanalysis of short RSA secret exponents"
3198:Barbolosi, Dominique; Jager, Hendrik (1994).
3042:is a convergent of the continued fraction of
2100:is a convergent of the continued fraction of
8:
1675:
1660:
397:. This shows that any irrational number has
273:
267:
219:
213:
3187:(in French). Paris: Duprat. pp. 27–29.
3205:Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
2107:
2936:
2914:
2902:
2880:
2873:
2858:
2836:
2823:
2811:
2801:
2785:
2769:
2762:
2747:
2725:
2712:
2700:
2690:
2659:
2649:
2639:
2624:
2602:
2589:
2579:
2568:
2558:
2552:
2541:
2532:
2519:
2511:
2487:
2465:
2454:
2448:
2440:
2417:
2401:
2395:
2382:
2374:
2266:
2257:
2244:
2236:
2200:
2187:
2169:
2156:
2073:
2060:
2042:
2029:
1980:Legendre's theorem on continued fractions
1941:
1937:
1928:
1920:
1914:
1898:
1889:
1876:
1851:
1827:
1823:
1822:
1809:
1790:
1764:
1737:
1717:
1681:
1647:
1622:
1604:
1600:
1599:
1567:
1526:
1501:
1471:
1443:
1430:
1423:
1410:
1381:
1353:
1345:
1339:
1326:
1317:
1309:
1300:
1275:
1257:
1249:
1240:
1227:
1194:
1192:
1163:
1142:
1129:
1123:
1103:
1082:
1057:
1044:
1038:
1012:
987:
985:
965:
933:
906:
894:
873:
867:
846:
833:
818:
768:
748:
728:
665:
646:
640:
631:
620:
599:
576:
575:
560:
541:
535:
515:
494:
475:
469:
438:
428:
417:
389:is satisfied by infinitely many integers
368:
359:
341:
322:
295:
265:
234:
207:
180:
145:
125:
105:
79:
59:
39:
3233:An Introduction to the Theory of Numbers
2125:An Introduction to the Theory of Numbers
3258:IEEE Transactions on Information Theory
3127:
3117:(generalization of Dirichlet's theorem)
2110:
3146:for a number of historical references.
1091:{\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{N}}
705:This theorem is a consequence of the
7:
855:{\displaystyle k\alpha =m_{k}+x_{k}}
3058:, a polynomial-time exploit of the
310:. This is a fundamental result in
14:
3352:Dirichlet's Approximation Theorem
3105:Hurwitz's theorem (number theory)
3054:This theorem forms the basis for
2958:where we have used the fact that
701:Proof by the pigeonhole principle
449:{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}
279:{\displaystyle \lfloor N\rfloor }
29:Dirichlet's approximation theorem
3185:Essai sur la théorie des nombres
3144:http://jeff560.tripod.com/p.html
3000:Now, this equation implies that
2024:are positive integers such that
1992:Essai sur la théorie des nombres
921:{\displaystyle 0\leq x_{k}<1}
3004:= . Since the fact that 0 <
2314:to be even. (In the case where
2122:. We follow the proof given in
3265:(3): 553–558 – via IEEE.
2864:
2829:
2753:
2718:
2677:
2642:
2630:
2595:
1921:
1890:
1815:
1777:
1592:
1580:
1489:
1477:
1346:
1318:
1310:
1306:
1284:
1258:
1250:
1246:
1220:
1211:
1199:
1195:
1000:{\displaystyle {\frac {1}{N}}}
947:
935:
928:. One can divide the interval
711:Peter Gustav Lejeune Dirichlet
435:
419:
1:
3310:Schmidt, Wolfgang M. (1991).
3212:(1): 81–94 – via JSTOR.
980:smaller intervals of measure
165:{\displaystyle 1\leq q\leq N}
1551:Proof by Minkowski's theorem
743:be an irrational number and
3251:Wiener, Michael J. (1990).
3162:Encyclopedia of Mathematics
3134:Schmidt, page 27 Theorem 1A
1547:And we proved the theorem.
1151:{\displaystyle x_{i},x_{j}}
806:{\displaystyle k=0,1,...,N}
3393:
3060:RSA cryptographic protocol
1983:
3377:Theorems in number theory
3372:Diophantine approximation
3293:10.1007/978-3-540-38645-2
3285:Diophantine approximation
763:be an integer. For every
312:Diophantine approximation
3240:. pp. 140–141, 153.
530:then there are integers
406:Thue–Siegel–Roth theorem
3238:Oxford University Press
1550:
1376:Dividing both sides by
736:{\displaystyle \alpha }
100:, there exist integers
93:{\displaystyle 1\leq N}
47:{\displaystyle \alpha }
3181:Legendre, Adrien-Marie
3008:< 1/2 implies that
2952:
2500:
2429:
2278:
2213:
2086:
1965:
1746:
1726:
1703:
1538:
1396:
1367:
1178:
1177:{\displaystyle i<j}
1152:
1112:
1092:
1027:
1001:
974:
954:
922:
883:
856:
807:
757:
737:
687:
609:
524:
504:
450:
380:
304:
280:
251:
166:
134:
114:
94:
68:
48:
31:, states that for any
3020:, and therefore that
2953:
2501:
2430:
2279:
2214:
2087:
2016:is a real number and
1996:Adrien-Marie Legendre
1966:
1747:
1727:
1704:
1539:
1397:
1368:
1179:
1153:
1113:
1093:
1028:
1002:
975:
955:
953:{\displaystyle [0,1)}
923:
884:
882:{\displaystyle m_{k}}
857:
808:
758:
738:
688:
610:
525:
510:and a natural number
505:
451:
399:irrationality measure
381:
305:
281:
252:
167:
135:
115:
95:
69:
49:
3082:and the private key
2510:
2439:
2373:
2310:≠1), we may choose
2235:
2231:. Then we may write
2155:
2028:
1763:
1736:
1716:
1712:Since the volume of
1566:
1409:
1380:
1191:
1162:
1122:
1102:
1037:
1011:
984:
964:
932:
893:
866:
817:
767:
747:
727:
707:pigeonhole principle
619:
534:
514:
468:
460:Simultaneous version
416:
409:numbers such as the
321:
294:
264:
179:
144:
124:
104:
78:
58:
38:
3281:Schmidt, Wolfgang M
3157:"Dirichlet theorem"
3115:Kronecker's theorem
2288:< 1/2. We write
1754:Minkowski's theorem
1559:applied to the set
1557:Minkowski's theorem
1395:{\displaystyle j-i}
1026:{\displaystyle N+1}
3320:10.1007/BFb0098246
3086:is less than (1/3)
2948:
2496:
2425:
2326:, we would choose
2303:= 1 and one where
2274:
2219:, and assume that
2209:
2082:
2004:Legendre's theorem
2000:continued fraction
1986:Continued fraction
1961:
1742:
1722:
1699:
1534:
1392:
1363:
1174:
1148:
1108:
1088:
1023:
997:
970:
950:
918:
889:is an integer and
879:
852:
803:
753:
733:
683:
605:
520:
500:
446:
376:
300:
276:
247:
162:
130:
110:
90:
64:
44:
3329:978-3-540-47374-9
3302:978-3-540-38645-2
3051:
3050:
2943:
2868:
2757:
2634:
2574:
2547:
2527:
2494:
2423:
2390:
2272:
2252:
2207:
2177:
2080:
2050:
1951:
1884:
1859:
1745:{\displaystyle 4}
1725:{\displaystyle S}
1689:
1655:
1630:
1532:
1496:
1461:
1361:
1111:{\displaystyle N}
995:
973:{\displaystyle N}
756:{\displaystyle n}
678:
655:
523:{\displaystyle N}
433:
374:
349:
303:{\displaystyle N}
242:
229:
133:{\displaystyle q}
113:{\displaystyle p}
67:{\displaystyle N}
3384:
3341:
3306:
3267:
3266:
3248:
3242:
3241:
3220:
3214:
3213:
3195:
3189:
3188:
3177:
3171:
3170:
3153:
3147:
3141:
3135:
3132:
2957:
2955:
2954:
2949:
2944:
2942:
2941:
2940:
2925:
2924:
2908:
2907:
2906:
2891:
2890:
2874:
2869:
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