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303:, the closeness is always less than 1/2 (in our example it is 0.15926...). A collection of numbers is a Heilbronn set if for any
1258:
1033:. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 84. Providence Rhode Island: American Mathematical Society.
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1057:(1927). "Analytischer Beweis des Satzes uber die Verteilung der Bruchteile eines ganzen Polynoms".
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has run of three zeros or three nines somewhere. This is not true for all real numbers.
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can be arbitrarily closely approximated by a fraction whose denominator is in
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Ten lectures on the
Interface Between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis
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th powers of integers are a
Heilbronn set. This follows from a result of
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is a
Heilbronn set if and only if for every real number
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is equivalent to saying that the decimal expansion of
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901:The powers of 10 are not a Heilbronn set. Take
343:in the set where the closeness tends to zero.
1079:(1948). "On the distribution of the sequence
859:has improved Heilbronn's result to show that
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323:we can always find a sequence of values for
535:The natural numbers are a Heilbronn set as
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886:may be taken arbitrarily close to 4/7.
855:may be taken arbitrarily close to 1/2.
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485:{\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}
140:. For example, for the real number
24:of natural numbers for which every
920:{\displaystyle \varepsilon =0.001}
14:
537:Dirichlet's approximation theorem
455:{\displaystyle \varepsilon >0}
72:, it is easy to find the integer
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1195:
1185:
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1101:
897:Example of a non-Heilbronn set
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566:
552:
409:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
212:. If we call the closeness of
1:
392:to the nearest integer then
32:. For any given real number
365:{\displaystyle \|\alpha \|}
1280:
641:who showed that for every
1264:Diophantine approximation
1163:(1995). "Small values of
1139:10.1093/qmath/os-19.1.249
893:is also a Heilbronn set.
879:{\displaystyle \eta _{2}}
848:{\displaystyle \eta _{2}}
681:there exists an exponent
372:denote the distance from
927:then the statement that
539:shows that there exists
346:More mathematically let
276:{\displaystyle h\theta }
1027:Montgomery, Hugh Lowell
1002:{\displaystyle \theta }
429:{\displaystyle \theta }
385:{\displaystyle \alpha }
316:{\displaystyle \theta }
260:the difference between
225:{\displaystyle \theta }
133:{\displaystyle \theta }
45:{\displaystyle \theta }
1259:Analytic number theory
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16:In mathematics, a
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