1037:
1527:
449:
706:
674:
222:
1112:
233:
1032:{\displaystyle \;_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}.}
480:
77:
1795:
1522:{\displaystyle \;_{4}\varphi _{3}\left={\frac {(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_{\infty }}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_{\infty }}}}
1790:
1800:
1764:
693:
1805:
444:{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}}
1099:
1555:
52:
474:, p. 156). The sum on the left can be written as the terminating well-poised hypergeometric series
1553:(1891), "On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion by the binomial theorem",
44:
1575:
1550:
1103:
1068:
40:
48:
36:
1760:
1725:
1679:
1630:
1770:
1741:
1715:
1695:
1669:
1646:
1622:
1599:
1591:
1564:
1080:
1737:
1691:
1642:
1774:
1745:
1733:
1699:
1687:
1650:
1638:
1603:
1568:
669:{\displaystyle {b+c \choose b-a}{c+a \choose c-a}{}_{3}F_{2}(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)}
217:{\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.}
1784:
1674:
1626:
1610:
1752:
16:
On finite sums of products of three binomial coefficients, and a hypergeometric sum
20:
1660:; Stanton, Dennis (1985), "Short proofs of Saalschütz's and Dixon's theorems",
1595:
1657:
1729:
1720:
1683:
1634:
1079:
at −1. Dixon's theorem can be deduced from the evaluation of the
467:
1579:
683:
tends to an integer) of Dixon's theorem evaluating a well-poised
227:
A generalization, also sometimes called Dixon's identity, is
35:) is any of several different but closely related identities
55:, and can now be routinely proved by computer algorithms (
1140:
1706:
Ward, James (1991), "100 years of Dixon's identity",
1115:
709:
483:
236:
80:
1521:
1031:
668:
443:
216:
43:, some involving finite sums of products of three
1613:(1990), "A very short proof of Dixon's theorem",
554:
525:
516:
487:
382:
353:
344:
315:
306:
277:
154:
128:
679:and the identity follows as a limiting case (as
51:. These identities famously follow from the
8:
1759:(2nd ed.), Boston, MA: Academic Press,
1117:
711:
1719:
1673:
1662:Journal of Combinatorial Theory, Series A
1615:Journal of Combinatorial Theory, Series A
1510:
1489:
1479:
1475:
1455:
1451:
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248:
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99:
85:
79:
1098:-analogue of Dixon's formula for the
697:
68:
56:
7:
471:
1708:Irish Mathematical Society Bulletin
1511:
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132:
14:
694:generalized hypergeometric series
1071:for the hypergeometric function
1067:tends to −∞ it reduces to
1580:"Summation of a certain series"
1507:
1407:
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172:
115:
105:
1:
1796:Factorial and binomial topics
67:The original identity, from (
1675:10.1016/0097-3165(85)90026-3
1627:10.1016/0097-3165(90)90014-N
1100:basic hypergeometric series
1822:
1791:Enumerative combinatorics
1801:Hypergeometric functions
1721:10.33232/BIMS.0027.46.54
1596:10.1112/plms/s1-35.1.284
1556:Messenger of Mathematics
47:, and some evaluating a
1806:Mathematical identities
1757:Generatingfunctionology
1584:Proc. London Math. Soc.
53:MacMahon Master theorem
1523:
1042:This holds for Re(1 +
1033:
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104:
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49:hypergeometric sum
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1170:
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1132:
1123:
1122:
1102:in terms of the
1081:Selberg integral
1069:Kummer's formula
1051:
1050:
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1038:
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25:Dixon's identity
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33:Dixon's formula
29:Dixon's theorem
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