2771:
2795:
2807:
2819:
2843:
2783:
3557:
2747:
2759:
2735:
777:
31:
3549:
2831:
1207:
1550:
461:
1868:
77:
Using a Chua's circuit, this shape is viewed on an oscilloscope using the X, Y, and Z output signals of the circuit. This chaotic attractor is known as the double scroll because of its shape in three-dimensional space, which is similar to two saturn-like rings connected by swirling lines.
2499:
2150:
1852:
2713:
1534:
330:
988:
2572:
2223:
669:
1191:
1290:
1382:
1080:
761:
422:
872:
2770:
556:
208:
1450:
2229:
1880:
1621:
100:
Numerical analysis of the double-scroll attractor has shown that its geometrical structure is made up of an infinite number of fractal-like layers. Each cross section appears to be a
1627:
2794:
2746:
3846:
89:
chaotic circuit which became known as Chua's circuit. The double-scroll attractor from the Chua circuit was rigorously proven to be chaotic through a number of
3676:
70:). The double-scroll system is often described by a system of three nonlinear ordinary differential equations and a 3-segment piecewise-linear equation (see
2806:
2842:
2782:
2818:
3556:
3316:
2578:
3509:
3456:
3789:
3831:
3519:
1459:
4024:
214:
3706:
878:
2503:
2154:
562:
1089:
74:). This makes the system easily simulated numerically and easily manifested physically due to Chua's circuits' simple design.
3524:
3514:
449:
3779:
1219:
3871:
3644:
1296:
994:
675:
336:
789:
1856:
params := e = .25, gamma = .14+(1/20)i, m0 = -0.845e-1, m1 = .66, omega = 1; c := (.14+(1/20)i)，i=-25...25;
476:
128:
3784:
2758:
1388:
3851:
2830:
3309:
2734:
2494:{\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=1/3((c-a-z(t))x(t)-(a+1)y(t))+((2(a-1))x(t)y(t)+(a+c-z(t))(x(t)^{2}-y(t)^{2}))}
2145:{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=1/3*(-(a+1)x(t)+a-c+z(t)y(t))+((1-a)(x(t)^{2}-y(t)^{2})+(2(a+c-z(t)))x(t)y(t))}
3899:
1847:{\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=-m_{1}x(t)-(1/2(m_{0}-m_{1}))(|x(t)+1|-|x(t)-1|)-ey(t)+\gamma \cos(\omega t)}
3603:
3548:
3256:"A new reliable numerical method for computing chaotic solutions of dynamical systems: the Chen attractor case"
3008:
1565:
448:-scroll attractor include the Lu Chen attractor, the modified Chen chaotic attractor, PWL Duffing attractor,
3764:
3529:
3436:
115:(陈关荣) and Ueta proposed another double scroll chaotic attractor, called the Chen system or Chen attractor.
3804:
3416:
3194:
4123:
3954:
3659:
3486:
3421:
3396:
3302:
3716:
3964:
3794:
3616:
3461:
3267:
3186:
3138:
3074:
3023:
2979:
2938:
3199:
3924:
3881:
3866:
3711:
3664:
3649:
3634:
3534:
3466:
3441:
3426:
3411:
4102:
3969:
3799:
3686:
3681:
3573:
3451:
3353:
3283:
427:
105:
86:
3989:
3974:
3939:
3929:
3826:
3446:
3368:
3090:
3048:
Chen G., Ueta T. Yet another chaotic attractor. Journal of
Bifurcation and Chaos, 1999 9:1465.
71:
59:
51:
3171:
3123:
4082:
3994:
3944:
3841:
3769:
3721:
3598:
3583:
3578:
3373:
3275:
3204:
3146:
3082:
3031:
2987:
2946:
2885:
2870:
63:
39:
776:
4014:
3909:
3836:
3669:
3481:
3471:
468:
An extended Chen system with multiscroll was proposed by Jinhu Lu (吕金虎) and
Guanrong Chen
4004:
3949:
3255:
90:
67:
3271:
3190:
3142:
3078:
3027:
2983:
2942:
30:
4097:
4064:
4059:
4054:
3856:
3746:
3741:
3639:
3588:
3504:
3378:
2904:
17:
1206:
4117:
4092:
4049:
4039:
4034:
3934:
3914:
3774:
3696:
3593:
3401:
112:
3287:
452:, modified Chua chaotic attractor, that is, multiple scrolls in a single attractor.
4044:
4009:
3919:
3876:
3731:
3726:
3325:
3035:
1549:
55:
3691:
4029:
4019:
3904:
3654:
3476:
3383:
460:
94:
81:
The attractor was first observed in simulations, then realized physically after
3172:"Generating Multiscroll Chaotic Attractors: Theories, Methods and Applications"
3124:"Generating Multiscroll Chaotic Attractors: Theories, Methods and Applications"
3062:
1867:
4087:
3984:
3431:
3279:
3248:
3208:
3150:
3086:
2992:
2967:
2951:
2926:
3094:
2889:
1195:
params := a = 35, c = 28, b = 3, d0 = 1, d1 = 1, d2 = -20..20, tau = .2
3999:
3959:
3701:
3363:
3348:
1538:
params := alpha = 10.82, beta = 14.286, a = 1.3, b = .11, c = 7, d = 0
82:
3736:
3406:
3358:
104:
at all scales. Recently, there has also been reported the discovery of
101:
3979:
2708:{\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=1/2(3x(t)^{2}y(t)-y(t)^{3})-bz(t)}
2752:
parameters a = 35, c = 27, b = 2.8,x(0) = -.1, y(0) = .3, z(0) = -.6
1866:
1548:
1205:
775:
459:
93:
of the attractor explicitly derived by way of compositions of the
2903:
Chua, Leon; Motomasa Komoru; Takashi
Matsumoto (November 1986).
2881:
2776:
Maple plot of N scroll attractor based on Chen with sine and tau
3298:
3294:
1529:{\displaystyle h:=-b\sin \left({\frac {\pi x(t)}{2a}}+d\right)}
1214:
In 2001, Tang et al. proposed a modified Chua chaotic system
325:{\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=(c-a)x(t)-x(t)z(t)+cy(t)}
983:{\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=(c-a)x(t)-x(t)f+cy(t),}
2567:{\displaystyle {\frac {1}{3{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}
2218:{\displaystyle {\frac {1}{3{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}
664:{\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=x(t)-x(t)z(t)+cy(t)+u}
436:
initial conditions: x(0) = -0.1, y(0) = 0.5, z(0) = -0.6
1186:{\displaystyle f=d0z(t)+d1z(t-\tau )-d2\sin(z(t-\tau ))}
1875:
Miranda & Stone proposed a modified Lorenz system:
1557:
Aziz Alaoui investigated PWL Duffing equation in 2000:
27:
Strange attractor connected by two 2-dimensional rings
2581:
2506:
2232:
2157:
1883:
1630:
1568:
1462:
1391:
1299:
1222:
1092:
997:
881:
792:
678:
565:
479:
339:
217:
131:
3007:
Leonov G.A.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V. (2011).
768:
initial conditions：x(0) = .1, y(0) = .3, z(0) = -.6
4073:
3890:
3817:
3755:
3625:
3612:
3564:
3495:
3339:
3332:
2800:
xy plot of 9 scroll modified Chua chaotic attractor
2720:initial conditions： x(0) = -8, y(0) = 4, z(0) = 10
1285:{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\alpha (y(t)-h)}
2707:
2566:
2493:
2217:
2144:
1846:
1615:
1528:
1444:
1377:{\displaystyle {\frac {dy(t)}{dt}}=x(t)-y(t)+z(t)}
1376:
1284:
1185:
1075:{\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}
1074:
982:
866:
756:{\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}
755:
663:
550:
417:{\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=x(t)y(t)-bz(t)}
416:
324:
202:
2968:"Fractal Geometry of the Double-Scroll Attractor"
867:{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t)),}
426:Plots of Chen attractor can be obtained with the
551:{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t))}
203:{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=a(y(t)-x(t))}
1445:{\displaystyle {\frac {dz(t)}{dt}}=-\beta y(t)}
3260:International Journal of Bifurcation and Chaos
3249:The double-scroll attractor and Chua's circuit
3179:International Journal of Bifurcation and Chaos
3131:International Journal of Bifurcation and Chaos
3067:International Journal of Bifurcation and Chaos
3310:
765:parameters：a = 36, c = 20, b = 3, u = -15.15
8:
3061:CHEN, GUANRONG; UETA, TETSUSHI (July 1999).
1198:initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 14
1541:initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0
3622:
3336:
3317:
3303:
3295:
3107:阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》第17页 SCIENCEP 2007年
3009:"Localization of hidden Chua's attractors"
3198:
2991:
2950:
2912:IEEE Transactions on Circuits and Systems
2878:IEEE Transactions on Circuits and Systems
2871:"A Chaotic Attractor from Chua's Circuit"
2678:
2644:
2617:
2582:
2580:
2553:
2531:
2516:
2507:
2505:
2479:
2457:
2268:
2233:
2231:
2204:
2182:
2167:
2158:
2156:
2064:
2042:
1919:
1884:
1882:
1794:
1771:
1763:
1740:
1725:
1712:
1697:
1670:
1631:
1629:
1569:
1567:
1486:
1461:
1392:
1390:
1300:
1298:
1223:
1221:
1091:
998:
996:
882:
880:
793:
791:
679:
677:
566:
564:
480:
478:
340:
338:
218:
216:
132:
130:
34:Double-scroll attractor from a simulation
2788:9 scroll modified Chua chaotic attractor
2717:parameters： a = 10, b = 8/3, c = 137/5;
1616:{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=y(t)}
29:
2861:
2730:
2848:Rabinovich Fabrikant attractor xy plot
123:The Chen system is defined as follows
2812:PWL Duffing chaotic attractor xy plot
7:
3254:Lozi, R.; Pchelintsev, A.N. (2015).
3117:
3115:
3113:
3056:
3054:
2869:Matsumoto, Takashi (December 1984).
54:observed from a physical electronic
3457:Measure-preserving dynamical system
444:Multiscroll attractors also called
2824:PWL Duffing chaotic attractor plot
1859:initv := x(0) = 0, y(0) = 0;
433:parameters: a = 40, c = 28, b = 3
97:of the 3-dimensional state space.
25:
4025:Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky
3170:Chen, Guanrong; Jinhu Lu (2006).
3122:Chen, Guanrong; Jinhu Lu (2006).
3555:
3547:
2841:
2829:
2817:
2805:
2793:
2781:
2769:
2757:
2745:
2733:
3063:"Yet Another Chaotic Attractor"
1202:Modified Chua chaotic attractor
3790:Rabinovich–Fabrikant equations
3036:10.1016/j.physleta.2011.04.037
2702:
2696:
2684:
2675:
2668:
2659:
2653:
2641:
2634:
2625:
2597:
2591:
2550:
2543:
2528:
2521:
2488:
2485:
2476:
2469:
2454:
2447:
2441:
2438:
2435:
2429:
2411:
2405:
2399:
2393:
2387:
2381:
2378:
2366:
2360:
2357:
2351:
2348:
2342:
2336:
2324:
2318:
2312:
2306:
2303:
2297:
2279:
2276:
2248:
2242:
2201:
2194:
2179:
2172:
2139:
2136:
2130:
2124:
2118:
2112:
2109:
2106:
2100:
2082:
2076:
2070:
2061:
2054:
2039:
2032:
2026:
2023:
2011:
2008:
2002:
1999:
1993:
1987:
1981:
1960:
1954:
1948:
1936:
1930:
1899:
1893:
1863:Modified Lorenz chaotic system
1841:
1832:
1817:
1811:
1799:
1795:
1785:
1779:
1772:
1764:
1754:
1748:
1741:
1737:
1734:
1731:
1705:
1691:
1685:
1679:
1646:
1640:
1610:
1604:
1584:
1578:
1501:
1495:
1439:
1433:
1407:
1401:
1371:
1365:
1356:
1350:
1341:
1335:
1315:
1309:
1279:
1270:
1264:
1258:
1238:
1232:
1180:
1177:
1165:
1159:
1141:
1129:
1114:
1108:
1069:
1063:
1051:
1045:
1039:
1033:
1013:
1007:
974:
968:
953:
947:
938:
932:
926:
914:
897:
891:
858:
855:
849:
840:
834:
828:
808:
802:
750:
744:
732:
726:
720:
714:
694:
688:
652:
646:
634:
628:
622:
616:
607:
601:
581:
575:
545:
542:
536:
527:
521:
515:
495:
489:
450:Rabinovich Fabrikant attractor
411:
405:
393:
387:
381:
375:
355:
349:
319:
313:
301:
295:
289:
283:
274:
268:
262:
250:
233:
227:
197:
194:
188:
179:
173:
167:
147:
141:
1:
1545:PWL Duffing chaotic attractor
3525:Poincaré recurrence theorem
4140:
3520:Poincaré–Bendixson theorem
2905:"The Double-Scroll Family"
780:Lu Chen Attractor modified
772:Modified Lu Chen attractor
108:within the double scroll.
3872:Swinging Atwood's machine
3545:
3515:Krylov–Bogolyubov theorem
3392:
3280:10.1142/S0218127415501874
3209:10.1142/s0218127406015179
3151:10.1142/s0218127406015179
3087:10.1142/s0218127499001024
2993:10.4249/scholarpedia.1488
2952:10.4249/scholarpedia.1488
2836:modified Lorenz attractor
3780:Lotka–Volterra equations
3604:Synchronization of chaos
3407:axiom A dynamical system
2890:10.1109/TCS.1984.1085459
471:Lu Chen system equation
3765:Double scroll attractor
3530:Stable manifold theorem
3437:False nearest neighbors
3266:(13): 1550187–1550412.
44:double-scroll attractor
18:Double scroll attractor
3805:Van der Pol oscillator
3785:Mackey–Glass equations
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38:In the mathematics of
35:
3955:Svetlana Jitomirskaya
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3645:Complex quadratic map
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91:Poincaré return maps
58:circuit (generally,
46:(sometimes known as
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3867:Population dynamics
3852:Hénon–Heiles system
3712:Irrational rotation
3665:Dynamical billiards
3650:Coupled map lattice
3510:Liouville's theorem
3442:Hausdorff dimension
3427:Conservative system
3412:Bifurcation diagram
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3143:2006IJBC...16..775L
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2943:2007SchpJ...2.1488C
2925:Chua, Leon (2007).
4103:Santa Fe Institute
3970:Aleksandr Lyapunov
3800:Three-body problem
3687:Gingerbreadman map
3574:Bifurcation theory
3452:Lyapunov stability
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3813:
3812:
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3543:
3542:
3447:Invariant measure
3369:Lyapunov exponent
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3016:Physics Letters A
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106:hidden attractors
52:strange attractor
40:dynamical systems
16:(Redirected from
4131:
4083:Butterfly effect
3995:Itamar Procaccia
3945:Brosl Hasslacher
3842:Elastic pendulum
3770:Duffing equation
3717:Kaplan–Yorke map
3635:Arnold's cat map
3623:
3599:Stability theory
3584:Dynamical system
3579:Control of chaos
3559:
3551:
3535:Takens's theorem
3467:Poincaré section
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