4338:
3950:
2110:
1367:
3389:
3717:
3939:
700:
4333:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.}
1823:
1093:
1073:, considered as a zero of multiplicity −1, and the remaining small terms come from the trivial zeros. This formula says that the zeros of the Riemann zeta function control the oscillations of primes around their "expected" positions. (For graphs of the sums of the first few terms of this series see
1555:
2451:
Roughly speaking, the explicit formula says the
Fourier transform of the zeros of the zeta function is the set of prime powers plus some elementary factors. Once this is said, the formula comes from the fact that the Fourier transform is a unitary operator, so that a scalar product in time domain is
2962:
903:
3459:
3728:
417:
4627:
2105:{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}
384:
1362:{\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}
3116:
2982:
of the non trivial zeros is equal to the primes power symmetrized plus a minor term. Of course, the sum involved are not convergent, but the trick is to use the unitary property of
Fourier transform which is that it preserves scalar product:
1749:
1378:
2579:
1649:
1014:
4897:
2610:
726:
4492:
3712:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.}
2414:
4926:
has gone much further into the functional-analytic background, providing a trace formula the validity of which is equivalent to such a generalized
Riemann hypothesis. A slightly different point of view was given by
2249:
221:
5320:
von
Mangoldt, Hans (1895), "Zu Riemanns Abhandlung "Ăber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"" [On Riemann's paper "The number of prime numbers less than a given magnitude"],
3934:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x).}
3320:
1828:
695:{\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}
4383:
2311:
5028:
4500:
4697:
236:
70:
5323:
3410:
2989:
2466:
5063:
3349:
2160:
2434:
1660:
3171:
3145:
1550:{\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{and}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (x-h))}
3373:
3191:
4786:, and the main correction is the sum over non-trivial zeros of the zeta function. (There is a minor technical problem in using this case, in that the function
2169:
1573:
2957:{\displaystyle {\frac {d}{du}}\left=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}
898:{\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}
934:
54:
4823:
1080:
The first rigorous proof of the aforementioned formula was given by von
Mangoldt in 1895: it started with a proof of the following formula for the
4396:
3196:
4750:
Riemann's original use of the explicit formula was to give an exact formula for the number of primes less than a given number. To do this, take
5211:
2317:
5223:
5296:(1952), "Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers" [On "explicit formulas" in the theory of prime numbers],
106:
5508:
5479:
5264:
3436:
230:
of the limit from the left and the limit from the right at discontinuities. His formula was given in terms of the related function
1567:
This series is also conditionally convergent and the sum over zeroes should again be taken in increasing order of imaginary part:
4343:
Assuming
Riemann zeta function has only simple zeros. In all cases the sum is related to the imaginary part of the Riemann zeros
74:
4799:
5467:
5432:
4911:
3414:
5534:
921:
58:
5215:
5181:
5157:
916:, but may be evaluated by taking the zeros in order of the absolute value of their imaginary part. The function
4346:
3399:
2255:
4622:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)}
3173:. At a first look, it seems to be a formula for functions only, but in fact in many cases it also works when
4970:
3418:
3403:
1081:
408:
379:{\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots }
90:
4735:
4635:
2460:
925:
25:
4949:
4944:
3450:
2972:
1036:
50:
5210:, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 30, reissued with a foreword by
4915:
4783:
4716:
3352:
3111:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}
913:
4907:
4720:
5449:
5408:
5374:
5359:
Meyer, Ralf (2005), "On a representation of the idele class group related to primes and zeros of
5033:
3325:
717:
4817:. The sum over the zeros of the explicit formula is then (at least formally) given by a trace:
5504:
5475:
5392:
5332:
5260:
5219:
5106:
4919:
4774:
and 0 elsewhere. Then the main term of the sum on the right is the number of primes less than
2979:
2145:
1778:
1744:{\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.}
2604:
Weil's explicit formula can be understood like this. The target is to be able to write that:
5514:
5485:
5441:
5416:
5384:
5340:
5309:
5282:
5270:
5237:
5096:
2600:
counted with multiplicities, so the poles at 0 and 1 are counted as zeros of order −1.
2437:
5404:
5352:
5305:
5233:
2419:
5518:
5489:
5420:
5400:
5348:
5344:
5313:
5301:
5274:
5256:
5241:
5229:
4811:
1561:
227:
3150:
3124:
4703:
turns the
Poisson summation formula into a formula involving the Mellin transform. Here
4739:
3358:
3176:
34:
5528:
5412:
5365:
5293:
5203:
3449:
The
Riemann-Weil formula can be generalized to arithmetical functions other than the
2590:
1814:
5453:
5124:
2574:{\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
4923:
1032:
42:
5388:
4902:
Development of the explicit formulae for a wide class of L-functions was given by
4734:
More generally, the
Riemann zeta function and the L-series can be replaced by the
1644:{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)}
1564:, and then converting it into the formula that Riemann himself actually sketched.
5503:, Progress in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), Boston, MA: BirkhÀuser,
5496:
3388:
1009:{\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.}
20:
5474:, Pure and Applied Mathematics, vol. 58, New York-London: Academic Press,
4892:{\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}
2452:
equal to the scalar product of the
Fourier transforms in the frequency domain.
1027:
involving the zeros of the zeta function need some care in their definition as
5427:
5248:
4932:
4807:
73:" Riemann sketched an explicit formula (it was not fully proven until 1895 by
53:. Such explicit formulae have been applied also to questions on bounding the
38:
29:
5396:
5336:
5255:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 110 (2nd ed.), New York, NY:
5110:
5101:
5084:
2589:, and the term at the end involving Ψ coming from the gamma factor (the
4731:), and the terms Ί(1) and Ί(0) disappear because the L-series has no poles.
4487:{\textstyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}
5145:
2409:{\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}
1813:
There are several slightly different ways to state the explicit formula.
5445:
5379:
4742:. The sum over primes then gets replaced by a sum over prime ideals.
2244:{\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}
4931:, who derived the explicit formula of Weil via harmonic analysis on
2140:
is a smooth function all of whose derivatives are rapidly decreasing
4967:
The original prime counting function can easily be recovered via
216:{\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left\,,}
5283:"Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"
3382:
1058:. The other terms also correspond to zeros: The dominant term
5085:"Explicit formulas for Dirichlet and Hecke $ L$ -functions"
3315:{\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left,}
4723:Ï. The sum over prime powers then gets extra factors of
77:, see below) for the normalized prime-counting function
4399:
4349:
3944:
For the Euler-Phi function the explicit formula reads
5036:
4973:
4826:
4782:(1); which turns out to be the dominant terms of the
4638:
4503:
3953:
3731:
3462:
3375:
and its Fourier transform, we get the formula above.
3361:
3328:
3199:
3179:
3153:
3127:
2992:
2613:
2469:
2455:
The terms in the formula arise in the following way.
2422:
2320:
2258:
2172:
2148:
1826:
1663:
1576:
1381:
1317:
1225:
1181:
1120:
1096:
937:
729:
420:
239:
109:
5501:
Prime numbers and computer methods for factorization
2122:
runs over the non-trivial zeros of the zeta function
71:
On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude
5057:
5022:
4891:
4691:
4621:
4486:
4377:
4332:
3933:
3711:
3379:Explicit formulae for other arithmetical functions
3367:
3343:
3314:
3185:
3165:
3139:
3110:
2956:
2573:
2428:
2408:
2305:
2243:
2154:
2104:
1743:
1643:
1549:
1372:where the LHS is an inverse Mellin transform with
1361:
1008:
897:
694:
378:
215:
4914:in this setting, as a positivity statement for a
4888:
2026:
1951:
1608:
1487:
143:
5324:Journal fĂŒr die reine und angewandte Mathematik
4715:The Riemann zeta function can be replaced by a
2459:The terms on the right hand side come from the
5430:(1977), "The first 50 million prime numbers",
3453:. For example for the Möbius function we have
2596:The left-hand side is a sum over all zeros of
920:occurring in the first term is the (unoffset)
5146:Confused about the explicit formula for Ï0(x)
912:of the Riemann zeta function. The sum is not
8:
4790:does not satisfy the smoothness condition.)
1754:The error involved in truncating the sum to
5300:(in French), Tome SupplĂ©mentaire: 252â265,
3417:. Unsourced material may be challenged and
1777:in absolute value, and when divided by the
908:involving a sum over the non-trivial zeros
4378:{\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }
2581:with the terms corresponding to the prime
5378:
5100:
5035:
4996:
4972:
4868:
4867:
4831:
4825:
4680:
4667:
4637:
4598:
4587:
4577:
4563:
4529:
4519:
4508:
4502:
4497:For the divisor function of zeroth order
4442:
4434:
4415:
4398:
4356:
4348:
4314:
4292:
4275:
4263:
4255:
4196:
4190:
4179:
4165:
4107:
4101:
4084:
4077:
4060:
4048:
4040:
4028:
4019:
3975:
3969:
3958:
3952:
3915:
3903:
3895:
3877:
3862:
3807:
3801:
3753:
3747:
3736:
3730:
3722:Also for the Liouville function we have
3690:
3671:
3643:
3635:
3599:
3593:
3582:
3538:
3532:
3484:
3478:
3467:
3461:
3437:Learn how and when to remove this message
3360:
3327:
3230:
3219:
3198:
3178:
3152:
3126:
3101:
3086:
3064:
3056:
3042:
3027:
3005:
2997:
2991:
2942:
2932:
2919:
2891:
2883:
2876:
2851:
2841:
2759:
2748:
2726:
2718:
2711:
2682:
2658:
2650:
2649:
2638:
2614:
2612:
2559:
2543:
2537:
2523:
2516:
2501:
2474:
2468:
2421:
2392:
2375:
2319:
2306:{\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}
2268:
2257:
2234:
2222:
2200:
2192:
2171:
2147:
2091:
2061:
2053:
2034:
2025:
2024:
2012:
1975:
1950:
1949:
1937:
1933:
1910:
1898:
1866:
1827:
1825:
1737:
1726:
1720:
1689:
1662:
1611:
1593:
1587:
1581:
1575:
1490:
1476:
1458:
1448:
1443:
1420:
1415:
1391:
1380:
1347:
1316:
1285:
1279:
1269:
1263:
1243:
1231:
1224:
1180:
1157:
1143:
1119:
1101:
1095:
1002:
998:
982:
971:
965:
960:
936:
856:
848:
831:
825:
820:
786:
767:
728:
670:
666:
655:
645:
629:
625:
614:
604:
588:
584:
573:
563:
547:
543:
532:
522:
491:
487:
476:
463:
453:
447:
425:
419:
357:
353:
340:
335:
325:
309:
305:
292:
287:
277:
259:
238:
209:
203:
163:
146:
132:
114:
108:
55:discriminant of an algebraic number field
5075:
5023:{\displaystyle ~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~}
4960:
1817:'s form of the explicit formula states
411:can be recovered from this function by
46:
1074:
4928:
3193:is a distribution. Hence, by setting
33:are relations between sums over the
7:
5287:Monatsberichte der Berliner Akademie
4903:
4692:{\displaystyle g(x)=f(ye^{x})e^{ax}}
3415:adding citations to reliable sources
3355:, and carefully choosing a function
5182:"the Riemann-Weil explicit formula"
5158:"the Riemann-Weil explicit formula"
4738:of an algebraic number field or a
4632:Using a test function of the form
4599:
4578:
4573:
4520:
4443:
4438:
4264:
4259:
4191:
4049:
4044:
3970:
3904:
3899:
3748:
3644:
3639:
3594:
3479:
3236:
3231:
3065:
3060:
3006:
3001:
2765:
2760:
2667:
2492:
2321:
2259:
2201:
2196:
2079:
2062:
2057:
1872:
1847:
1832:
1785:, has absolute value smaller than
1701:
1618:
1167:
1153:
826:
14:
5208:The Distribution of Prime Numbers
4906:, who first extended the idea to
1560:and the RHS is obtained from the
4910:, and formulated a version of a
4389:is related to the test function
3387:
2585:coming from the Euler factor of
1808:
64:
5089:Illinois Journal of Mathematics
4778:. The main term on the left is
1453:
1447:
1395:
1035:at 0 and 1, and are defined by
5433:The Mathematical Intelligencer
5014:
5002:
4986:
4980:
4912:generalized Riemann hypothesis
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4794:Hilbert–PĂłlya conjecture
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5389:10.1215/s0012-7094-04-12734-4
1801:divided by the distance from
922:logarithmic integral function
5298:Comm. SĂ©m. Math. Univ. Lund
1805:to the nearest prime power.
720:. Riemann's formula is then
5083:Li, Xian-Jin (April 2004).
2134:runs over positive integers
407:of a prime. The normalized
59:conductor of a number field
5551:
5281:Riemann, Bernhard (1859),
5216:Cambridge University Press
5058:{\displaystyle ~x\geq 3~.}
3344:{\displaystyle \delta (u)}
2162:is a Fourier transform of
928:of the divergent integral
65:Riemann's explicit formula
2128:runs over positive primes
4393:by a Fourier transform,
2155:{\displaystyle \varphi }
1039:in the complex variable
89:which is related to the
5472:Riemann's zeta function
5253:Algebraic number theory
4922:. More recent work by
1809:Weil's explicit formula
1769:is always smaller than
1066:comes from the pole at
409:prime-counting function
389:in which a prime power
91:prime-counting function
5102:10.1215/ijm/1258138394
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4802:, the complex zeroes
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1082:Chebyshev's function
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16:Mathematical concept
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69:In his 1859 paper "
5446:10.1007/bf03351556
5186:empslocal.ex.ac.uk
5162:empslocal.ex.ac.uk
5136:Ingham (1990) p.77
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4798:According to the
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