6331:
5879:
6326:{\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}
7189:
6788:
6976:
4450:
6963:
4194:
6533:
7184:{\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {g}{\ell }} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}\underbrace {\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)} _{\text{Rest of the correction}}}
2670:
4201:
6806:
6783:{\displaystyle {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx 1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}-{\frac {1}{18}}\left({\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}+\cdots }
4001:
5696:
319:
of the mass of the spring and is independent of the direction of the spring-mass system (i.e., horizontal, vertical, and oblique systems all have the same effective mass). This is because external acceleration does not affect the period of motion around the equilibrium point.
5471:
2815:
1883:
1755:
3236:
924:
3125:
2500:
4445:{\displaystyle {\mathcal {L}}(y,{\dot {y}})={\frac {1}{2}}\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right){\dot {y}}^{2}-{\frac {1}{2}}ky^{2}-\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}
5222:
3344:
5795:
5562:
6958:{\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {k}{m_{\mathrm {bob} }}} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {spring} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}}
700:
3989:
1018:
2828:
As seen above, the effective mass of a spring does not depend upon "external" factors such as the acceleration of gravity along it. In fact, for a non-uniform heavy spring, the effective mass solely depends on its linear density
2940:
2283:
544:
2004:
3028:
4189:{\displaystyle 0\leqslant m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}\lambda (s)\;\mathrm {d} s=m}
2118:
774:
781:
The velocity of each mass element of the spring is directly proportional to length from the position where it is attached (if near to the block then more velocity, and if near to the ceiling then less velocity), i.e.
5872:
3840:
6523:
1324:
1115:
5567:
4767:
2342:
6460:
2411:
1450:
455:
3905:
1385:
5344:
4583:
593:
5307:
4914:
1168:
3609:
4692:. This unexpected behavior of the effective mass can be explained in terms of the elastic after-effect (which is the spring's not returning to its original length after the load is removed).
1525:
2174:
3388:
2681:
1761:
3665:
2485:
3561:
1621:
4690:
3517:
3131:
1218:
3765:
3429:
825:
167:
4525:
2447:
6403:
6368:
5126:
5091:
4860:
250:
5339:
4986:
4833:
2039:
1562:
2665:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\ddot {y}}&=&-\omega ^{2}(y-y_{\mathrm {eq} })\\{\dot {y}}(0)&=&{\dot {y}}_{0}\\y(0)&=&y_{0}\end{matrix}}\right.}
5251:
833:
4657:
4610:
4488:
1245:
317:
3470:
3034:
346:
6462:. Also notice that initially it has the same structure as the spring-mass system: the product of the ideal case and a correction (with Rayleigh's value). Notice that for
4797:
2856:
3694:
5131:
3251:
5056:
5033:
4934:
395:
3724:
1613:
1589:
from the spring's unstretched position (taking the upwards direction as positive, ignoring constant potential terms and setting the origin of potential energy at
5701:
5476:
5006:
4954:
4630:
1908:
1587:
621:
613:
366:
270:
207:
187:
119:
99:
79:
59:
2452:
So the effective mass of the spring added to the mass of the load gives us the "effective total mass" of the system that must be used in the standard formula
3911:
932:
2866:
2182:
470:
7293:
1916:
2946:
2047:
281:
1252:
706:
7279:
7267:
7288:
5800:
3779:
6465:
5691:{\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}}\ell }
1910:
here is the acceleration of gravity along the spring. By differentiation of the equation with respect to time, the equation of motion is:
1264:
1026:
460:
In order to find the spring's total kinetic energy, it requires adding all the mass elements' kinetic energy, and requires the following
4706:
2294:
6408:
2357:
1391:
403:
5466:{\displaystyle (m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })r_{\mathrm {CM} }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}
3846:
7298:
1330:
323:
The effective mass of the spring can be determined by finding its kinetic energy. For a differential mass element of the spring
4530:
552:
7319:
5256:
4865:
1123:
7294:
https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics-effective-mass-of-spring-40942.htm
3566:
2810:{\displaystyle y(t)=(y_{0}-y_{\text{eq}})\cos(\omega t)+{\frac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\sin(\omega t)+y_{\text{eq}}}
1878:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(M+{\frac {m}{3}}\right)v^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+\left(M+{\frac {m}{2}}\right)gy}
1456:
2126:
3352:
1750:{\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}+{\frac {1}{2}}Mv^{2}+{\frac {1}{2}}ky^{2}+{\frac {1}{2}}mgy+Mgy}
5038:
Consider a system made of a homogeneous rod swinging from one end, and having attached bob at the other end. Let
4463:
of the spring does not depend on its length. However, this is not the case for real springs. For small values of
3771:
To find the corresponding
Lagrangian, one must find beforehand the potential gravitational energy of the spring:
3616:
3431:
occurring in the case of an unphysical spring whose mass is located purely at the end farthest from the support.
2455:
3524:
4662:
3231:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)v^{2}}
3475:
7289:
https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
4799:
is the natural frequency of oscillations (and the angular frequency for small oscillations). The parameter
1180:
7200:
3729:
3393:
785:
288:
The effective mass of the spring in a spring-mass system when using a heavy spring (non-ideal) of uniform
132:
31:
4497:
2419:
6373:
6338:
5096:
5061:
4838:
4632:, the effective mass of a spring in a vertical spring-mass system becomes smaller than Rayleigh's value
2491:
919:{\displaystyle K={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\mathrm {d} s}
220:
5312:
4959:
4802:
2012:
1531:
3120:{\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\lambda (s)\;\mathrm {d} s}
7235:
5227:
3697:
7276:
7264:
4635:
4588:
4466:
1223:
295:
4491:
3440:
326:
17:
5217:{\displaystyle \lambda (s)=m_{\mathrm {bob} }\delta (s-\ell )+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{\ell }}}
7226:
Ueda, Jun-Ichi; Sadamoto, Yoshiro (1997). "A Measurement of the
Effective Mass of Coil Springs".
4775:
2832:
3670:
3339:{\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\,\mathrm {d} s}
3563:
is the homogeneous case (uniform spring) where
Rayleigh's value appears in the equation, i.e.,
7243:
5035:
is the moment of inertia of the system with respect to an axis that goes through the pivot.
280:
5790:{\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}
5557:{\displaystyle \int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,{\big (}s-r_{\mathrm {CM} })\;\mathrm {d} s=0}
5041:
5011:
4919:
2416:
Which is bigger than the ideal spring. Both formulae reduce to the ideal case in the limit
1258:
To find the gravitational potential energy of the spring, one follows a similar procedure:
7283:
7271:
4460:
1569:
Using this result, the total energy of system can be written in terms of the displacement
695:{\displaystyle K=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {m}{y}}\right)\mathrm {d} s}
371:
35:
5473:
by definition of centre-of-mass (this would be an integral equation in the general case,
3703:
1592:
7239:
4991:
4939:
4615:
3984:{\displaystyle =\left(\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}
1893:
1572:
1174:
1013:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\int _{0}^{y}s^{2}\,\mathrm {d} s}
598:
351:
289:
255:
192:
172:
122:
104:
84:
64:
44:
7324:
7313:
2935:{\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}
2278:{\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-k{\bar {y}}=-k(y-y_{\mathrm {eq} })}
539:{\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}
549:
If one assumes a homogeneous stretching, the spring's mass distribution is uniform,
7206:
2348:
1999:{\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-ky-\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}
3023:{\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\!(s)\,\lambda (s)\;\mathrm {d} s}
5008:(the point the pendulum is suspended from) to the pendulum's centre-of-mass, and
5698:. The moment of inertia of the system is the sum of the two moments of inertia,
6335:
Notice how the final expression is not a function on both the mass of the bob,
5564:,but it simplifies to this in the homogeneous case), whose solution is give by
2288:
This is the equation for a simple harmonic oscillator with angular frequency:
2113:{\displaystyle y_{\mathrm {eq} }=-{\frac {\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}{k}}}
7306:"Effective Mass of an Oscillating Spring" The Physics Teacher, 45, 100 (2007)
769:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}u^{2}\mathrm {d} s}
210:
7303:"The Effective Mass of an Oscillating Spring" Am. J. Phys., 38, 98 (1970)
461:
7247:
5867:{\displaystyle I_{O}=\int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,s^{2}\;\mathrm {d} s}
615:
is the length of the spring at the time of measuring the speed. Hence,
3835:{\displaystyle U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,g\,s}
6518:{\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}
1319:{\displaystyle U=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,gs}
1110:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\left_{0}^{y}}
279:
61:. Since not all of the spring's length moves at the same velocity
7277:
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350
7265:
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180
4762:{\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\omega _{0}}^{2}\sin \theta =0}
2337:{\displaystyle \omega ={\sqrt {{\frac {k}{M+{\frac {m}{3}}}}\,}}}
6455:{\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}
2406:{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {{\frac {M+{\frac {m}{3}}}{k}}\,}}}
1445:{\displaystyle =mg\,{\frac {1}{y}}\int _{0}^{y}s\;\mathrm {d} s}
450:{\displaystyle \mathrm {d} K={\frac {1}{2}}\mathrm {d} m\,u^{2}}
39:
5797:(once again in the general case the integral equation would be
3900:{\displaystyle =\int _{0}^{y}\lambda (s)\,g\,s\;\mathrm {d} s}
1380:{\displaystyle =\int _{0}^{y}{\frac {m}{y}}gs\;\mathrm {d} s}
121:, at the other end of the spring, is not moving at all), its
4207:
2659:
3998:
Due to the monotonicity of the integral, it follows that:
5128:
the mass of the bob, thus the linear density is given by
4578:{\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {4}{\pi ^{2}}}m}
588:{\displaystyle \mathrm {d} m={\frac {m}{y}}\mathrm {d} s}
5253:
Dirac's delta function. The total mass of the system is
4585:. Jun-ichi Ueda and Yoshiro Sadamoto have found that as
3472:
is the idealised case where the spring has no mass, and
3700:, is the extreme case when all the mass is located at
2509:
101:(for example the point completely opposed to the mass
7299:
http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
6979:
6809:
6536:
6468:
6411:
6376:
6341:
5882:
5803:
5704:
5570:
5479:
5347:
5315:
5302:{\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}
5259:
5230:
5134:
5099:
5064:
5044:
5014:
4994:
4962:
4942:
4922:
4868:
4841:
4805:
4778:
4709:
4665:
4638:
4618:
4591:
4533:
4500:
4469:
4204:
4004:
3914:
3849:
3782:
3732:
3706:
3673:
3619:
3569:
3527:
3478:
3443:
3396:
3355:
3254:
3134:
3037:
2949:
2869:
2835:
2684:
2503:
2458:
2422:
2360:
2347:
Thus, it has a smaller angular frequency than in the
2297:
2185:
2129:
2050:
2015:
1919:
1896:
1764:
1624:
1595:
1575:
1534:
1459:
1394:
1333:
1267:
1226:
1183:
1126:
1029:
935:
836:
788:
709:
624:
601:
555:
473:
406:
374:
354:
329:
298:
258:
223:
195:
175:
135:
107:
87:
67:
47:
6525:, the last correction term can be approximated by:
4909:{\displaystyle {\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}}
252:, is defined as the mass that needs to be added to
7183:
6957:
6782:
6517:
6454:
6397:
6362:
6325:
5866:
5789:
5690:
5556:
5465:
5333:
5301:
5245:
5216:
5120:
5085:
5050:
5027:
5000:
4980:
4948:
4928:
4908:
4854:
4827:
4791:
4761:
4684:
4651:
4624:
4604:
4577:
4519:
4482:
4444:
4188:
3983:
3899:
3834:
3759:
3718:
3688:
3659:
3603:
3555:
3511:
3464:
3423:
3382:
3338:
3230:
3119:
3022:
2934:
2850:
2809:
2664:
2479:
2441:
2405:
2336:
2277:
2168:
2112:
2041:can be found by letting the acceleration be zero:
2033:
1998:
1902:
1877:
1749:
1607:
1581:
1556:
1519:
1444:
1379:
1318:
1239:
1212:
1163:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}}
1162:
1109:
1012:
918:
819:
768:
694:
607:
587:
538:
449:
389:
360:
340:
311:
264:
244:
201:
181:
161:
113:
93:
73:
53:
3604:{\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {m}{3}}}
2988:
272:to correctly predict the behavior of the system.
4659:and eventually reaches negative values at about
1520:{\displaystyle =mg\,{\frac {1}{y}}\left_{0}^{y}}
4490:, the displacement is not so large as to cause
2169:{\displaystyle {\bar {y}}=y-y_{\mathrm {eq} }}
5510:
4700:Consider the pendulum differential equation:
3383:{\displaystyle m_{\mathrm {eff} }\leqslant m}
1220:the effective mass of spring in this case is
8:
3660:{\displaystyle \lambda (s)=m\,\delta (s-y)}
2480:{\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}
5874:). Thus the expression can be simplified:
5855:
5539:
4421:
4311:
4171:
4132:
4083:
3960:
3888:
3556:{\displaystyle \lambda (s)={\frac {m}{y}}}
3204:
3108:
3011:
2923:
1433:
1368:
527:
7175:
7150:
7149:
7132:
7131:
7125:
7115:
7102:
7095:
7073:
7072:
7055:
7054:
7048:
7038:
7025:
7018:
7003:
6993:
6986:
6981:
6978:
6949:
6927:
6926:
6900:
6899:
6893:
6883:
6870:
6863:
6844:
6843:
6833:
6823:
6816:
6811:
6808:
6768:
6749:
6748:
6731:
6730:
6724:
6709:
6691:
6690:
6673:
6672:
6666:
6656:
6628:
6627:
6606:
6605:
6599:
6575:
6574:
6553:
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6535:
6494:
6493:
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6475:
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6467:
6437:
6436:
6419:
6418:
6412:
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6381:
6375:
6347:
6346:
6340:
6304:
6303:
6282:
6281:
6275:
6251:
6250:
6229:
6228:
6222:
6213:
6203:
6179:
6178:
6172:
6156:
6155:
6131:
6130:
6124:
6108:
6107:
6100:
6090:
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6061:
6060:
6046:
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6020:
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5982:
5981:
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5957:
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5934:
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5889:
5884:
5881:
5856:
5849:
5844:
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5821:
5808:
5802:
5781:
5764:
5763:
5749:
5740:
5723:
5722:
5709:
5703:
5669:
5668:
5648:
5647:
5628:
5627:
5613:
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5596:
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5569:
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5265:
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5154:
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4710:
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4470:
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4326:
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4275:
4269:
4264:
4239:
4222:
4221:
4206:
4205:
4203:
4172:
4153:
4148:
4133:
4110:
4104:
4099:
4084:
4063:
4053:
4047:
4041:
4036:
4016:
4015:
4003:
3977:
3961:
3938:
3932:
3927:
3913:
3889:
3884:
3880:
3862:
3857:
3848:
3828:
3824:
3816:
3794:
3793:
3781:
3738:
3737:
3731:
3705:
3672:
3638:
3618:
3591:
3575:
3574:
3568:
3543:
3526:
3484:
3483:
3477:
3442:
3402:
3401:
3395:
3361:
3360:
3354:
3328:
3327:
3307:
3297:
3291:
3285:
3280:
3260:
3259:
3253:
3222:
3205:
3184:
3174:
3168:
3162:
3157:
3138:
3133:
3109:
3090:
3072:
3056:
3050:
3045:
3036:
3012:
2998:
2982:
2968:
2962:
2957:
2948:
2924:
2917:
2903:
2881:
2880:
2868:
2834:
2801:
2765:
2754:
2753:
2750:
2720:
2707:
2683:
2649:
2616:
2605:
2604:
2576:
2575:
2558:
2557:
2538:
2513:
2512:
2508:
2502:
2465:
2457:
2423:
2421:
2400:
2384:
2375:
2373:
2359:
2331:
2318:
2306:
2304:
2296:
2262:
2261:
2228:
2227:
2197:
2184:
2156:
2155:
2131:
2130:
2128:
2086:
2072:
2056:
2055:
2049:
2021:
2020:
2014:
1978:
1931:
1918:
1895:
1854:
1834:
1817:
1808:
1789:
1768:
1763:
1716:
1707:
1690:
1681:
1664:
1655:
1641:
1631:
1623:
1594:
1574:
1538:
1533:
1511:
1506:
1491:
1485:
1470:
1469:
1458:
1434:
1424:
1419:
1405:
1404:
1393:
1369:
1352:
1346:
1341:
1332:
1309:
1301:
1279:
1278:
1266:
1227:
1225:
1201:
1184:
1182:
1154:
1140:
1130:
1125:
1101:
1096:
1081:
1075:
1064:
1052:
1043:
1033:
1028:
1002:
1001:
995:
985:
980:
970:
958:
949:
939:
934:
908:
902:
884:
872:
867:
853:
843:
835:
804:
787:
758:
752:
742:
737:
723:
713:
708:
684:
670:
660:
646:
640:
635:
623:
600:
577:
567:
556:
554:
528:
521:
507:
485:
484:
472:
441:
436:
428:
418:
407:
405:
373:
353:
330:
328:
299:
297:
257:
229:
228:
222:
194:
174:
153:
136:
134:
106:
86:
66:
46:
7228:Journal of the Physical Society of Japan
4685:{\displaystyle {\frac {M}{m}}\approx 38}
2487:to determine the period of oscillation.
7218:
4459:The above calculations assume that the
3434:Three special cases can be considered:
3512:{\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m=0}
3245:So the effective mass of a spring is:
7201:Simple harmonic motion (SHM) examples
4988:is the distance from the pivot point
1213:{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2},}
368:(dummy variable) moving with a speed
7:
3760:{\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}
3424:{\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}
820:{\displaystyle u(s)={\frac {s}{y}}v}
162:{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}
4520:{\displaystyle {\frac {M}{m}}\ll 1}
2820:Which is a simple harmonic motion.
2442:{\displaystyle {\frac {m}{M}}\to 0}
1173:Comparing to the expected original
18:Effective mass (spring-mass system)
7157:
7154:
7151:
7139:
7136:
7133:
7080:
7077:
7074:
7062:
7059:
7056:
6934:
6931:
6928:
6916:
6913:
6910:
6907:
6904:
6901:
6851:
6848:
6845:
6756:
6753:
6750:
6738:
6735:
6732:
6698:
6695:
6692:
6680:
6677:
6674:
6635:
6632:
6629:
6613:
6610:
6607:
6582:
6579:
6576:
6560:
6557:
6554:
6501:
6498:
6495:
6483:
6480:
6477:
6444:
6441:
6438:
6426:
6423:
6420:
6398:{\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}
6389:
6386:
6383:
6363:{\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}
6354:
6351:
6348:
6311:
6308:
6305:
6289:
6286:
6283:
6258:
6255:
6252:
6236:
6233:
6230:
6186:
6183:
6180:
6163:
6160:
6157:
6138:
6135:
6132:
6115:
6112:
6109:
6068:
6065:
6062:
6027:
6024:
6021:
5989:
5986:
5983:
5965:
5962:
5959:
5923:
5920:
5857:
5771:
5768:
5765:
5730:
5727:
5724:
5676:
5673:
5670:
5655:
5652:
5649:
5635:
5632:
5629:
5604:
5601:
5598:
5580:
5577:
5541:
5530:
5527:
5447:
5444:
5441:
5423:
5420:
5417:
5402:
5399:
5384:
5381:
5378:
5363:
5360:
5357:
5325:
5322:
5293:
5290:
5287:
5272:
5269:
5266:
5203:
5200:
5197:
5162:
5159:
5156:
5121:{\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}
5112:
5109:
5106:
5086:{\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}
5077:
5074:
5071:
4972:
4969:
4887:
4884:
4855:{\displaystyle {\frac {g}{\ell }}}
4546:
4543:
4540:
4423:
4313:
4173:
4134:
4085:
4023:
4020:
4017:
3962:
3890:
3817:
3810:
3807:
3804:
3801:
3798:
3795:
3745:
3742:
3739:
3582:
3579:
3576:
3491:
3488:
3485:
3409:
3406:
3403:
3368:
3365:
3362:
3329:
3267:
3264:
3261:
3206:
3110:
3013:
2925:
2897:
2894:
2891:
2888:
2885:
2882:
2562:
2559:
2266:
2263:
2176:, the equation of motion becomes:
2160:
2157:
2060:
2057:
2025:
2022:
1435:
1370:
1302:
1295:
1292:
1289:
1286:
1283:
1280:
1003:
909:
759:
685:
578:
557:
529:
501:
498:
495:
492:
489:
486:
429:
408:
331:
245:{\displaystyle m_{\mathrm {eff} }}
236:
233:
230:
25:
5334:{\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}
4981:{\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}
4956:is the total mass of the system,
4828:{\displaystyle {\omega _{0}}^{2}}
2034:{\displaystyle y_{\mathrm {eq} }}
1557:{\displaystyle ={\frac {m}{2}}gy}
7097:Correction with Rayleigh's value
6951:Correction with Rayleigh's value
2351:. Also, its period is given by:
5246:{\displaystyle \delta (\cdot )}
4936:is the length of the pendulum,
5841:
5835:
5536:
5504:
5498:
5390:
5348:
5240:
5234:
5183:
5171:
5144:
5138:
4916:in a compound pendulum, where
4652:{\displaystyle {\frac {m}{3}}}
4605:{\displaystyle {\frac {M}{m}}}
4483:{\displaystyle {\frac {M}{m}}}
4418:
4412:
4308:
4302:
4233:
4212:
4168:
4162:
4129:
4123:
4080:
4074:
3957:
3951:
3877:
3871:
3683:
3677:
3654:
3642:
3629:
3623:
3537:
3531:
3453:
3447:
3324:
3318:
3201:
3195:
3105:
3099:
3008:
3002:
2995:
2989:
2845:
2839:
2791:
2782:
2744:
2735:
2726:
2700:
2694:
2688:
2635:
2629:
2593:
2587:
2568:
2544:
2433:
2272:
2248:
2233:
2136:
1240:{\displaystyle {\frac {m}{3}}}
798:
792:
384:
378:
312:{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1:
3465:{\displaystyle \lambda (s)=0}
2490:Finally, the solution to the
341:{\displaystyle \mathrm {d} m}
27:Parameter in physics problems
6795:Let's compare both results:
3349:This result also shows that
276:Uniform spring (homogeneous)
6799:For the spring-mass system:
6370:, and the mass of the rod,
4792:{\displaystyle \omega _{0}}
4198:With the Lagrangian being:
2851:{\displaystyle \lambda (s)}
284:vertical spring-mass system
7341:
6405:, but only on their ratio,
5058:be the length of the rod,
4862:in an ideal pendulum, and
3689:{\displaystyle \delta (x)}
1247:. This result is known as
397:, its kinetic energy is:
189:cannot be simply added to
5093:the mass of the rod, and
4696:Comparision with pendulum
827:, from which it follows:
4527:, the effective mass is
213:of oscillation, and the
7185:
7177:Rest of the correction
6959:
6784:
6519:
6456:
6399:
6364:
6327:
5868:
5791:
5692:
5558:
5467:
5335:
5303:
5247:
5218:
5122:
5087:
5052:
5029:
5002:
4982:
4950:
4930:
4910:
4856:
4829:
4793:
4763:
4686:
4653:
4626:
4606:
4579:
4521:
4484:
4446:
4190:
3985:
3901:
3836:
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