1337:
550:
1250:
1925:
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2033:
1458:
2339:
2408:
1538:
719:
412:
285:. It is a consequence of the theorem, also called Engel's theorem, which says that if a Lie algebra of matrices consists of nilpotent matrices, then the matrices can all be simultaneously brought to a
606:
2583:
2499:
2069:
1168:
3049:
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1957:
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1835:
1568:
1128:
446:
83:
2941:
362:
301:
of "solvable" with "nilpotent", and "upper triangular" with "strictly upper triangular", is false; this already fails for the one-dimensional Lie subalgebra of scalar matrices).
1188:
3005:
2899:
2780:
2736:
2607:
2460:
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1781:
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3453:
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1977:
3458:
1872:
94:
86:
842:
3434:
3388:
3347:
804:. (This statement is trivially equivalent to Statement 2 since it allows one to inductively construct a flag with the required property.)
1986:
1980:
1412:
3309:
2275:
1497:
678:
371:
555:
305:
2511:
3319:
2374:
3331:
2038:
1332:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}
1137:
3014:
3426:Ăśber Die Zusammensetzung Der Endlichen Continuierlichen Transformationsgruppen, Insbesondre Der Gruppen Vom Range Null
2465:
2078:
3323:
1342:
239:
3094:
2651:
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1930:
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1071:
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2785:
767:
2344:
2161:
1810:
1543:
1103:
421:
209:
58:
2904:
331:
832:
52:
20:
1173:
316:, p. 176). Engel's student K.A. Umlauf gave a complete proof in his 1891 dissertation, reprinted as (
2986:
2880:
2761:
2717:
2588:
2441:
2413:
2251:
2227:
1786:
1762:
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1710:
1680:
1652:
1624:
1463:
1047:
1020:
952:
836:
810:
642:
611:
215:
30:
545:{\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\,\operatorname {codim} V_{i}=i}
2616:
1677:, which concerns a solvable algebra.) The basic case is trivial and we assume the dimension of
3430:
3384:
3361:
3343:
3305:
3214:
3174:
1807:, which exists by finite-dimensionality. We claim it is an ideal of codimension one. For each
3379:, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Berlin, New York:
1245:{\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
3335:
3245:
3240:
1674:
1585:
732:
298:
3398:
3357:
3394:
3380:
3353:
2946:
1673:
and consists of a few steps. (Note the structure of the proof is very similar to that for
309:
1017:. Then Engel's theorem implies the following theorem (also called Engel's theorem): when
3374:
2191:
3074:
2741:
2697:
1962:
3447:
3424:
3297:
1920:{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
139:{\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},}
289:
form. Note that if we merely have a Lie algebra of matrices which is nilpotent
3339:
3365:
364:
be the Lie algebra of the endomorphisms of a finite-dimensional vector space
1484:
is nilpotent. (The converse follows straightforwardly from the definition.)
938:{\displaystyle C^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},C^{i}{\mathfrak {g}}=}
414:
a subalgebra. Then Engel's theorem states the following are equivalent:
2983:: Finish up the proof by finding a nonzero vector that gets killed by
3334:, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
1983:). Thus, by inductive hypothesis applied to the Lie subalgebra of
636:
Note that no assumption on the underlying base field is required.
2028:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})}
1453:{\displaystyle C^{i}{\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {g}}_{i}}
2334:{\displaystyle =\operatorname {ad} (X)(Y)\in {\mathfrak {h}}}
3429:, Inaugural-Dissertation, Leipzig (in German), Nabu Press,
1574:
has positive dimension, then there exists a nonzero vector
1533:{\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}
714:{\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}
407:{\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}
601:{\displaystyle {\mathfrak {g}}\cdot V_{i}\subset V_{i+1}}
2578:{\displaystyle W=\{v\in V|X(v)=0,X\in {\mathfrak {h}}\}}
2403:{\displaystyle {\mathfrak {h}}'\subset {\mathfrak {g}}}
3416:
Introduction to Lie
Algebras and Representation Theory
2462:
is an ideal of codimension one. Hence, by maximality,
3217:
3177:
3097:
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3017:
2989:
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242:
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61:
33:
2064:{\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}
1163:{\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}
3091:is a nilpotent endomorphism (by hypothesis) and so
3223:
3199:
3159:
3083:
3043:
2999:
2964:
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2454:
2426:
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356:
273:
228:
200:
138:
77:
43:
3044:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}
671:For each nonzero finite-dimensional vector space
632:are simultaneously strictly upper-triangulizable.
2494:{\displaystyle {\mathfrak {h}}'={\mathfrak {g}}}
1927:and (2) this induced map is nilpotent (in fact,
2104:{\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}
1649:The proof is by induction on the dimension of
1402:{\displaystyle \subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}
304:The theorem is named after the mathematician
27:states that a finite-dimensional Lie algebra
8:
3280:
3268:
2572:
2521:
1492:We prove the following form of the theorem:
1170:consists of nilpotent operators, then by 1.
308:, who sketched a proof of it in a letter to
274:{\displaystyle \operatorname {ad} (X)^{k}=0}
3207:is a required vector as the vector lies in
3160:{\displaystyle Y^{k}(v)\neq 0,Y^{k+1}(v)=0}
2683:{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},v\in W}
2151:{\displaystyle \operatorname {ad} (X)(v)=0}
839:of it vanishes in a finite step; i.e., for
3055:is a one-dimensional vector subspace. Let
800:This is the form of the theorem proven in
201:{\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=}
3216:
3182:
3176:
3130:
3102:
3096:
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2354:
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2255:
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2171:
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2016:
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68:
60:
35:
34:
32:
3261:
313:
1952:{\displaystyle \operatorname {ad} (X)}
1862:{\displaystyle \operatorname {ad} (X)}
1093:{\displaystyle \operatorname {ad} (X)}
1010:{\displaystyle C^{k}{\mathfrak {g}}=0}
639:We note that Statement 2. for various
317:
297:follow (i.e. the naĂŻve replacement in
3454:Representation theory of Lie algebras
3376:Emergence of the theory of Lie groups
3328:Representation theory. A first course
2870:{\displaystyle X(Y(v))=Y(X(v))+(v)=0}
1759:This is the most difficult step. Let
790:{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}.}
7:
2364:{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}
2181:{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}
1981:Jordan decomposition in Lie algebras
1830:{\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}
1783:be a maximal (proper) subalgebra of
1563:{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}
1540:is a Lie subalgebra such that every
1123:{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}
441:{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}
78:{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}
16:Theorem in Lie representation theory
3030:
3020:
2992:
2936:{\displaystyle \in {\mathfrak {h}}}
2928:
2886:
2767:
2723:
2663:
2594:
2567:
2486:
2472:
2447:
2419:
2395:
2381:
2356:
2326:
2257:
2233:
2173:
2096:
2084:
2053:
2017:
2005:
1995:
1992:
1912:
1900:
1890:
1878:
1822:
1792:
1768:
1740:
1716:
1686:
1658:
1630:
1570:is a nilpotent endomorphism and if
1555:
1516:
1513:
1503:
1469:
1439:
1428:
1382:
1362:
1351:
1312:
1289:
1272:
1261:
1234:
1224:
1221:
1208:
1152:
1115:
1053:
1026:
996:
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888:
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779:
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648:
617:
561:
433:
390:
387:
377:
357:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}
340:
337:
221:
128:
118:
70:
36:
14:
3459:Theorems in representation theory
2071:, there exists a nonzero vector
1183:{\displaystyle \Leftrightarrow }
721:, there exists a nonzero vector
3000:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2894:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2775:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2731:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2602:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2455:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2427:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2265:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
2241:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1837:, it is easy to check that (1)
1800:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1776:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
1748:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1724:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
1694:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1666:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1638:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1477:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1061:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1034:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
966:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
824:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
667:is equivalent to the statement
656:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
625:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
448:is a nilpotent endomorphism on
229:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
44:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3194:
3188:
3148:
3142:
3114:
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2959:
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1:
3423:Umlauf, Karl Arthur (2010) ,
3332:Graduate Texts in Mathematics
2438:is a Lie subalgebra in which
3302:Introduction to Lie Algebras
1068:is nilpotent if and only if
293:, then this conclusion does
3407:The Structure of Lie Groups
23:, a branch of mathematics,
3475:
3304:(1st ed.). Springer.
1190:2. applied to the algebra
807:In general, a Lie algebra
801:
3340:10.1007/978-1-4612-0979-9
2641:{\displaystyle X(v)\in W}
287:strictly upper triangular
3373:Hawkins, Thomas (2000),
3281:Fulton & Harris 1991
3269:Fulton & Harris 1991
3224:{\displaystyle \square }
3200:{\displaystyle Y^{k}(v)}
2501:. This proves the claim.
2371:. But then the subspace
608:; i.e., the elements of
55:if and only if for each
3405:Hochschild, G. (1965).
3300:; Wildon, Mark (2006).
3059:be a nonzero vector in
3414:Humphreys, J. (1972).
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3271:, Exercise 9.10..
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